以三角函数为载体的综合题型探究

蔡艳

[摘 要] 三角函数问题是高考考查的热点，题型综合性较强，难度较高，一方面需要充分应用三角函数自身的性质，另一方面还要注重与其他知识点的结合延伸. 本文就一道高考三角函数真题进行赏析，提出了相应的教学反思，以期抛砖引玉.

[关键词] 三角函数；导数；单调性

三角函数为背景的综合考查是高考考查的新趋势，高考命题在三角函数性质的基础上，进行知识的综合变式.利用三角函数的特殊性可以简化问题，在对定义域以及值域的分析中可以对复合性问题进行定性分析，对学生的综合能力要求较强，这也是今后教学的重点.

[?] 真题再现

[?] 试题点拨及评析

1. 思路点拨

（1）第（1）问证明f（x）<0，则是证明函数的最大值小于等于0，利用导数的性质即可判定.

3. 试题评析

本題目是一道典型的结合了导数的考查三角函数的综合题，除了需要熟练使用导数运算之外，还需要充分利用三角函数的基本性质. 对三角函数单调性和奇偶性的判断是解题的基础，分类讨论是解此类题的主要方法. 三角函数是基础知识，对学生的基础运算能力和综合推理能力要求较高. 合理地在掌握三角函数的基础上与其他知识进行综合是高考对三角函数内容的考查要求.

[?] 试题变式与拓展

三角函数在高考题和模拟考题中出现的概率很高，考查的知识点也比较综合，下面我们对两道相似的题型进行赏析.

上述两题都是对三角函数的考查，求解三角函数题型都必须准确地把握函数的定义域和单调性，在此基础上对函数进行值域的分析，结合导数的特殊性有助于对函数的单调性进行研究，对于证明题，则可以对结论进行适当的缩放和变形，在三角函数性质的基础上进行求解.

[?] 教学反思

1. 结合教材，对接高考

笔者对历年高考题的研读发现，高考的命题来源于教材，注重基础知识，即使是综合题也是基础知识的结合. 教材是教学的根本，也是思想方法培养的载体，高考中题型难度较大的考题也是对基础知识的组合、拓展，然后赋予了新颖的数学背景. 高考题是最具有代表性、最为严谨的考题，每道题都经过了命题组的反复推敲和检验，对于师生教学和学习具有极大的帮助. 复习中将高考题和课本教材进行结合使用，可以引导学生发展变式思维，在不变的基础知识下进行知识的重整和拓展，为高中的复习增添新的活力，也可以提升教师的教学水平.

2. 能力优先，强调综合

高考是一次选拔性的考试，在注重基础的前提下也注意对学生综合能力的考查，本题目就考查了三角函数的基本性质以及函数求导的值域判断，综合能力较强，可以检验学生的真实水平，解题的关键是从基础入手，从简单的变形到复杂的推理运算，符合学生的思维变式. 三角函数问题有基础知识的考查，也有综合知识的考查，若学生没有扎实的基础则会很难推进. 教学中也是一致的，必须注重学生基础知识的学习，在扎实的基础下开展综合能力的培养，引导学生从简单问题中探究基本概念和规律，然后进行重点知识综合拓展，稳步提升学生的能力水平.

3. 强化研究，发展变式

中学知识学习的目的是为了使学生的思维更加活跃，培养自我探究能力，在兴趣培养中提升整体素质，教师在这个过程中是为了更好地启发、引导学生，学习的主体还是学生. 教学中要强调研究性，而不是简单地向学生灌输知识. 根据已知的条件，让学生去探究未知的发展，没有思维定式的教学才是好的教学方式，这样既可以加深学生对知识的理解，也可以在延伸拓展中获得新知.