基于“统整理念”的高中数学概念课教学策略分析

顾海荣

[摘 要] 概念是数学知识大厦的根基，概念教学的质量关系到学生数学核心素养水平的高低，基于统整理念的高中数学概念课教学应该对概念本身有多维度的认识，

[关键词] 整体性；高中数学；概念课教学

高中数学教学的质量如何提升？笔者认为，应该从整体上关注数学概念的教学，尤其是“核心概念”的教学. 从数学概念出发引导学生抓住数学对象的本质属性，是帮助学生准确地、系统地领悟高中数学知识的重要源泉，是提升学生数学核心素养水平的重要抓手. 那么，如何统整？如何优化我们的高中数学概念课教学呢？本文就该话题进行简单的分析.

[?] 多维度对数学概念进行分析

数学概念学习困难在哪里？从教学实践经验来看，相当一部分学生存在着对数学概念的定义理解不全面，虽然能够从感性的认识角度对概念有初步的认识，能够记住概念的文字表征，但是概念本质属性的理解不到位，难以站到整个数学概念系统之中去联系着上、下位关系去分析数学概念，找不准其在知识结构中所处的位置，这些认知上的缺失导致了学生在应用概念解决实际问题时出现了障碍. 笔者认为，我们在概念学习过程中，应该对概念有多个维度的分析与认识.

1. 抓住核心概念这一知识主线

从高中数学知识的整体性来看，我们的概念并非零散的，彼此之间存在着联系，而能够将多个概念凝聚在一起的那些概念，我们称之为核心概念. 核心概念是高中数学知识的“控制中心”，是高中数学知识的主要生长点，抓住核心概念由此向外发散可以渗透数学思想和方法，同时体验知识转化、规律发现的过程.

例如，“函数”这个数学概念显然是中学数学阶段的核心概念，我们以此为主线可以将多个概念和数学思想“统整”过来，从上、下位关系来看，在“函数”这个核心数学概念下，幂函数、对数函数、三角函数、指数函数等多个具体的下位函数概念. 我们在课堂教学中，对于具体的下位概念如何展开教学，可以从上位概念“函数”的定义出发，思考该下位概念所涉及的具体情境，从而引导学生根据其所具有的特征对具体的函数类型进行归纳.

除了上、下位关系外，我们在教学过程中还应该关注概念本身所具有的本质特征，如该概念具有怎样的特点？数学思想方法如何？能否向外延展和转化？仍以“函数”为例，“变化”是函数最为本真的性质之一，我们在教学过程中完全可以引导学生从“变化”的思想入手对数学对象进行观察、分析，找寻“不变”和“变”，最终在实现“不变”到“变”的转变过程中认识和理解“单调性”“奇偶性”等函数性质.

2. 抓住核心概念之间的关联

在不具备上、下位关系的概念之间也是可以有关联的，甚至于在高中数学教学中的多个核心概念之间也可以具有关联. 在教学过程中注重核心概念之间的关联性，能够深化理解概念，同时体验建模这一数学化过程.

比如，“函数”这个核心概念与高中课程中的多个核心概念有着关联，如“数列”这个概念，我们在教学过程中如果将其视作为一个特殊的函数，我们就可以将函数的思想方法迁移过来，深化理解数列的通项公式，同时很多的数列问题也都可以借助于函数的思想方法来分析、处理和解决.

[?] 从整体的视角厘清概念的发展脉络

既然我们站在整体的角度来学习数学概念，那么认识概念的上、下位关系，找到概念之间的关联就不能浮于表面，应该站在整体的角度，以关联性为起点对概念间的整体联系有一个结构性的分析.

例如，我们在和学生一起学习向量的时候，就可以以“三角函数”与“向量”这两个概念之间的关联性作为教学研究的起点. 那么，他们之间存在着怎样的关联呢？

关联1：数学思想方法的统一. “三角函数”这个概念，学生在初中就有所涉及，從数学思想方法来看，初中在定义锐角三角函数时借助于“长度的比值”，其本质即为“互化”——长度与角度的互化，到了高中阶段是如何深入研究的呢？借助于坐标系，任意角的三角函数得以推广和刻画. 这种数学思想方法在向量的研究中同样被应用，向量的概念是“方向”“大小”这两个要素，那么在向量的研究中是如何展开对这两个要素的研究的呢？同样可以引入“坐标系”，借助于坐标的多维度性质来刻画向量，从而感受数学思想方法的统一.

关联2：代数、几何间的桥梁式关联性. 从所用的思想方法上，上面两者均在研究时有统一性，如果我们从思维科学角度来进行分析，不难发现两者是联系代数和几何的桥梁，有了两者人们对相关数学内容的研究实现了从定性到定量的进一步深化，同时两者交汇之处促成了向量、坐标、复数三个重要的概念构成一体，提升了相关运算技巧，而且长度与角度的转化与联系变得更为明晰. 在几何研究中，直线的斜率、曲线与方程等问题的研究越来越接近于数学规律的本质，“三角函数、向量”作为数与形之间转化的桥梁，让两者学习时更具统一性.

[?] 从应用的视角归纳解决问题的方法

在数学学习过程中不可回避“解题”和“应试”，解题和应试的过程是学生应用数学概念解决问题的过程，透过这个窗口，我们可以将数学概念与数学方法统整到一起.

例如，“导数零点问题”是我们学生在解题和应试时往往会遇到障碍的一类数学问题，这里涉及的就是“导数”这个数学概念的具体应用. 在应用过程中，根据不同的设问涉及多种数学思想方法，在平时的教学过程中要抓住典型问题与学生一起进行解决数学问题方法的归纳，那么涉及哪些方法呢？直接求根法，此类函数的导函数零点是学生常见的方程，导数零点可直接通过解方程获得；利用重要的函数不等式，教材中的例题和习题也常常会涉及这个方法，同时在平时教材习题的解决中所用到的经验和方法可以拿来作为基础性结论为新问题的解决提供思路. 数形结合法，回避导函数的零点，这种方法的应用能够将学生所掌握的常见函数的图像及其性质等数学知识很好地应用到问题的解决中来，有助于学生基本功的强化. 在学生认知水平提升到一定程度后，我们还可以渗透设而不求法，虚拟设根，整体代换，以及巧妙分离函数法、特殊值代入法等.

在提供了典型的问题，学生解决完后，我们还应该引导学生站在“统整”的视角，对相关方法进行客观的评价与归纳，比如“导函数零点”的问题求解涉及哪些呈现形式？对应着我们可以运用哪些方法去求解？有这样的思考，学生分析问题、解决问题的能力才会得到真正意义上的提升. 从呈现形式上看，这类问题主要有可求零点、不可求零点和无零点的三种呈现方式. 对于“可求零点”这种形式的数学问题，在方法的选择上我们可以选择直接求解，也可以选择用特殊值法代入求解；对于“不可求零点”这种形式的问题，在方法的选择上一般采用的是“设而不求”的解决办法；对一些含超越方程形式的导函数零点问题，我们会发现选择“等价转化”这种解决问题的方法能够起到很好的化简运算的作用.

一言以概之，我们在概念的应用和习题讲评环节，如果我们能够引导学生对遇到的数学问题及其解决问题的方法加以整理与概括，学生的视角会高于知识本身，站在解决某一类数学问题涉及的方法的顶端，达到“不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层”的境界.

[?] 结语

基于“统整理念”的高中数学概念课教学需要我们从多维度着眼，从整体的角度思考，从多种解决问题的方法着手，那么，我们的学生如何实现呢？笔者结合多年的教育教学经验归纳出如下两点.

1. 充分掌握课本上的知识点

教材是我们教学资源之本. 高中数学课本本身就是我们学习知识的基础知识点，也是我们解答的基础，同时也是我们在解题过程中获取思路的重要途径，也是我们学习数学概念、思想方法的基础，因而我们首先应该对课本上的内容进行深度地挖掘，才能搞清楚整个数学教材的结构、脉络，知道哪些概念属于核心概念、基础概念，找准概念间的联系，意识到复杂的、难的知识点也是在基础知识点上发展起来的.

2. 从题型中找到概念的应用

正如前文所述，概念的应用过程是统整理念应用于数学学习的一个重要方面，当我们学习完概念之后，只有在练习的过程中，才能加深我们对数学概念、数学方法的理解，同时应用概念也能帮助学生进一步记忆概念的多维表征. 在解题的过程中，我们学习掌握其他的思维方式，重要的也是对解答思路的分析，涉及的多种数学思想方法在解题后反思的过程中得以归纳、统整.