高中生的圆锥曲线认知水平及教学建议

李盛林��

[摘要]高中生在解答圆锥曲线问题时常常会因为认知不足而感到困惑.对高中生的圆锥曲线认知水平进行分析，是教好这部分内容的关键.

[关键词]高中生；圆锥曲线；认知水平；教学建议

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2017）20001801

圆锥曲线是高中解析几何的重点内容，也是高考重点考查的内容之一.但是，圆锥曲线问题往往较为复杂，在学生认知水平不高的情况下，学生很难求解.因此，有必要对高中生的圆锥曲线认知水平进行分析.

一、高中生的圆锥曲线认知水平分析

1.对圆锥曲线概念认知不足

在解答圆锥曲线问题时，有时可以运用圆锥曲线的概念解题.但是，一些高中生缺乏对圆锥曲线概念的认知，在面对求取圆锥曲线方程的问题时，总是从圆锥曲线方程运算的角度进行思考和分析，需要花费大量时间完成方程的简化和整理.甚至由于受运算能力的限制，一些学生在求取曲线方程的过程中半途而废.

2.对圆锥曲线解题模式认知不足

圆锥曲线与直线的综合题是高中常见的题目，拥有固有的解题模式，采取这种模式能够轻松完成题目的解答.从解题思路来看，解答该类问题可采用两种方法.一是基于韦达定理的通法模式；二是设而不求的解析几何运算模式.采取前一种方法，能够将问题转化为方程间的关系问题，然后通过求解方程完成问题求解.采用后一种模式，就是设置一些过渡量，但不进行这些量的求解，仅仅利用这些量的关系完成问题解答.而由于学生缺乏对圆锥曲线解题模式的充分认知，他们无法较好地掌握这些解题模式，所以难以顺利完成直线与圆锥曲线问题的解答.

3.对圆锥曲线几何性质认知不足

作为平面图形的一种，圆锥曲线拥有几何图形的性质.利用圆锥曲线上的点，能够进行三角形或平行四边形等平面图形的构建，然后利用不同几何图形的性质解决问题.但由于学生对圆锥曲线几何性质的认知不足，很多高中生在解答圆锥曲线问题时想不起与之有关的平行四边形或三角形的性质.

二、圆锥曲线的教学建议

1.圆锥曲线概念的教学建议

在

讲解

圆锥曲线问题时，教师应重点强调其概念的重要性，并进行有关概念的变式练习，从而使学生形成运用概念定义解题的思维.比如在解答轨迹问题时，就要从点的轨迹是否满足圆锥曲线定义的条件入手.

【例1】运动的点M（x，y）满足x2+（y+3）2+x2+（y-3）2=10，求点M的轨迹方程.

在解答该例题时，结合椭圆定义和方程的几何意义，就可以较快解答问题.根据该关系式可知，点M到定点F1（0，-3）和F2（0，3）的距离和为10，其比两定点距离大，所以可以判断出点M的轨迹以两个定点为焦点且长轴长为10的椭圆，轨迹方程则为y225+x216=1.

2.圆锥曲线解题模式的教学建议

针对高中生对圆锥曲线解题模式认知水平不高的情况，教师在进行圆锥曲线题目讲解的过程中，重点进行解题步骤和过程的讲述，以确保学生能够对解题模式有一定的领悟.教师还要教会学生进行圆锥曲线和直线方程的联立，然后利用已知条件找寻参数与参数及参数与已知量之间的关系.结合图形将图形转换为不等式，则可以简化问题.此外，教师还要引导学生多进行这类题目的练习，并加強对该类题目解题过程的总结.

【例2】已知点M（2，1）在椭圆y225+x216=1内，过该点引一条弦，该弦被点M平分，求弦所在直线的方程.

解答该问题可以采用设而不求的方法.由题目可知，求解这一直线方程的问题与弦的中点有关，所以可以采用“点差法”进行计算.具体来讲，就是假设弦与椭圆相交的两个端点分别为A（x1，y2）和B（x2，y1），其中点为M（x0，y0）.通过将点A、B坐标代入椭圆方程，然后进行作差，则能发现中点M与弦斜率的关系.采取该种解题方法，能够使问题的解答化繁为简.

3.圆锥曲线几何性质的教学建议

针对学生无法运用圆锥曲线几何性质的情况，教师在讲解例题的过程中强调平面图形性质的应用.在学生平常的练习过程中，教师也要指导学生利用几何性质解题.

【例3】已知抛物线y2=2px（p>0），一直线过其焦点F与抛物线相交于A、B，与抛物线准线相交于点C，并满足|BC|=2|BF|，|AF|=3，求抛物线的方程.

在解答该问题时，如果从求点坐标的角度解题，容易在利用距离关系计算点坐标时出现错误.但是如果将图形画出，然后从图形几何性质角度进行分析，则可以利用几何性质和抛物线定义完成方程求解.

通过分析可以发现，高中生在解答圆锥曲线问题时，由于缺乏对圆锥曲线定义、解题模式和几何性质的充分认识，所以容易感到困难.针对这些情况，教师还要在平时教学中重点进行这些内容的强调和讲述，以确保学生对这些知识的认知水平能够得到提高，进而找到圆锥曲线问题求解的突破口.

（责任编辑黄桂坚）