计及剪切变形的复合材料薄壁梁的阻尼分析模型

任勇生，朱 帅，张玉环，田继爽

(山东科技大学 机械电子工程学院,山东 青岛 266590)

计及剪切变形的复合材料薄壁梁的阻尼分析模型

任勇生，朱 帅，张玉环，田继爽

(山东科技大学 机械电子工程学院,山东 青岛 266590)

为精确描述阻尼对复合材料薄壁结构动力学特性的影响，提出一个计及剪切变形的复合材料薄壁梁的结构阻尼分析模型。基于改进的变分渐进法(VAM)描述复合材料薄壁梁的位移和应变，采用Hamilton原理导出Timoshenko梁的自由振动偏微分方程，采用Galerkin法将偏微分方程化为常微分方程，通过求解复特征值问题得到梁的模态阻尼。将阻尼计算结果与现有文献的有限元阻尼计算结果进行比对，验证了本文模型的有效性。通过算例分析得到圆截面薄壁复合材料梁的阻尼数值计算结果。研究表明，不考虑剪切变形将会得到偏高的阻尼预测结果。此外，采用的铺层方式不同，产生最大阻尼的纤维铺层角也将有所不同。

模态阻尼；复合材料薄壁梁；剪切变形；伽辽金法；纤维铺层角

复合材料在风力机和汽车部件的轻量化设计中有着广阔的应用前景[1-2]，而性能优良的风力机叶片和汽车传动轴通常具有复合材料薄壁梁或轴的结构形式[3-4]，建立精确的复合材料薄壁结构的阻尼预测模型，对于揭示阻尼对复合材料薄壁结构动力学特性的作用机理和影响规律，具有重要的指导意义。

为研究复合材料薄壁结构的阻尼，人们采用不同理论与计算方法进行结构动力学建模。Suresh 等[5]基于经典层合薄板有限单元法对复合材料薄壁箱形梁进行离散化，采用弹性-黏弹性对应原理对复合材料阻尼进行描述。Saravanos等[6]建立了一个复合材料空心梁的阻尼分析有限元模型。Chortis等[7]研究了弹性耦合对复合材料阻尼的影响。任勇生等[8]基于变分渐进法(variational asymptotically method，VAM)[9]复合材料薄壁梁理论，考虑了扭转翘曲、轴向拉伸和横向弯曲翘曲等耦合变形的影响，建立了复合材料薄壁梁的结构阻尼分析模型。

迄今为止，基于传统的VAM复合材料薄壁梁理论的振动特性研究，绝大多数均未考虑横向剪切效应[8, 10-11]。为更准确地揭示复合材料薄壁梁的动力学和阻尼特性，将横向剪切变形引入传统的VAM复合材料薄壁梁理论显得尤为重要。为此，任勇生等[12]以旋转复合材料薄壁梁为研究对象，通过考虑横向剪切变形，对传统的VAM的复合材料薄壁梁理论进行改进，建立了具有剪切变形的旋转复合材料薄壁梁的动力学模型，研究了剪切变形对旋转复合材料薄壁梁的固有振动特性的影响。

本文在现有工作基础上，进一步提出具有剪切变形的复合材料薄壁梁的结构阻尼分析模型。采用改进的VAM[12]复合材料薄壁梁理论描述结构的位移和应变，分别导出薄壁梁的应变能、耗散能和动能表达式。 基于Hamilton原理建立Timoshenko梁的运动方程。联合采用Galerkin法和复特征值法确定复合材料薄壁梁的模态阻尼。并将阻尼预测结果与现有文献的有限元计算结果[6]以及不计剪切变形的阻尼计算结果进行对比，验证了本文模型的正确性。采用本文模型与方法获得两端固支、简支和悬臂圆形截面复合材料薄壁梁，在两种不同截面铺层方式下的阻尼计算结果，揭示了纤维铺层角、铺层方式、边界条件、薄壁梁长径比以及剪切变形对阻尼性能的影响。

1 薄壁梁动力学模型

1.1 位移场和应变场

基于改进的VAM复合材料薄壁梁理论[10]描述位移场和应变场。复合材料薄壁梁如图1所示，其中L、h和r分别表示梁的长、壁厚和中面曲率半径。取下列坐标系：整体坐标系 (x,y,z)，原点在梁的固定端；局部坐标系 (x,s,ξ),s指向梁中面切线方向，逆时针为正，ξ指向梁中面法线方向，局部坐标系和横截面如图2所示。

图1 坐标系与薄壁梁

图2 局部坐标系与横截面

薄壁梁的位移场为[12]

(1)

其中：U1(x,t),U2(x,t),U3(x,t)为横截面沿x,y,z的刚体位移；θy(x,t),θz(x,t),φ(x,t)为横截面绕y、z和x轴的转角。g(s,x,t)为薄壁梁的翘曲函数，表示如下：

(2)

等号右端的函数分别代表扭转、拉伸、绕z和y轴弯曲翘曲函数。

横截面绕y、z轴的转角为

(3)

与位移场(1)相对应的应变场如下

(4)

1.2 复合材料薄壁梁的应变能

复合材料薄壁梁横截面应变能为

(5)

其中：

(6)

将式(6)代入(5)，沿厚度积分，可得

(7)

其中：

(8)

hk、hk-1分别为第k层的上、下表面坐标，N为总层数。

假设薄壁梁的环向正应力和剪应力很小，可以忽略不计，即

Nss=0, Nξs=0，

(9)

可得

(10)

将式(10)代入(7)消去γss和γξs，得

(11)

其中：

(12)

复合材料薄壁梁的应变能为

(13)

利用应变-位移关系(4)，得位移和扭转角表示应变能为

(14)

(15)

1.3 复合材料薄壁梁的耗散能

复合材料薄壁梁横截面耗散能表示为

(16)

其中：ηij是偏轴阻尼系数。

由式(16)积分，得

(17)

其中：

(18)

其中：[ηij]=[R]T[ηl][R]。[R]表示坐标变换矩阵，[ηl]=diag(ηl1,ηl2,ηl4,ηl5,ηl6)表示正轴阻尼矩阵。

类似地，利用式(10)对上式进行简化，得

(19)

其中：

(20)

复合材料薄壁梁的耗散能为

(21)

利用应变-位移关系(4)，得位移和扭转角表示耗散能为

(22)

其中：C为复合材料薄壁梁横截面的6×6阻尼矩阵，其矩阵元素表达式类似于式(14)中刚度矩阵K，只要将A(s)、B(s)、C(s)、D(s)替换为Ad(s)、Bd(s)、Cd(s)、Dd(s)即可得到具体表达式。

1.4 复合材料薄壁梁的动能

复合材料薄壁梁动能可由式(23)确定

(23)

2 复合材料薄壁梁的自由振动方程及模态阻尼求解

按照Hamilton原理，有

(24)

由此推导出不计阻尼梁的自由振动方程

(25)

其中：Fx是轴向力，Qy、Qz是横向剪力，My、Mz是弯矩，Mx是扭矩。具体表达式见文献[12]，Ii(i=1,…,6)由动能变分得到，具体表达式可由文献[12]中的公式，令转速Ω=0得到。

将复合材料薄壁梁内力表达式代入方程(24),可得到位移表示的运动方程组，为了节省篇幅，此处不再列出。

假设位移具有如下形式

(26)

其中：αj(x)、ψj(x)、θj(x)表示轴的振型函数，满足给定的位移边界条件。

她讲话的大概意思是，欢迎同学们的到来，你们从祖国的四面八方来到美丽的燕园，实属不易。你们个个朝气蓬勃，正是人生学习的黄金时期，在这里，你们可以获得无价的知识和智慧，你们崭新的人生之路将从这里开启，你们美好的未来正在向你们招手，期待你们从当下这一刻行动起来……

由Galerkin法，可得

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

由方程(27)导出复合材料薄壁梁的特征方程

(33)

其中：{Xm}是复合材料薄壁梁的振型向量。

考虑复合材料薄壁梁的阻尼，则有

(34)

(35)

通过求解方程(34)得到复特征值，从而得到复合材料薄壁梁的模态阻尼。

3 数值结果与讨论

首先检验本文提出的计及剪切变形的复合材料薄壁梁的阻尼模型结果的正确性。表1和表2分别表示圆形和箱形截面悬臂复合材料梁，截面铺层分别为[02/902/452/-452]8和[45/-45]8的结构阻尼预测结果，并与文献[6]的有限元以及不考虑剪切变形的结果进行比较，圆形和箱形截面复合材料薄壁梁的几何尺寸和材料性能见文献[6]。表1所示为复合材料圆管型梁不同铺层方式的模态频率，其中包括了考虑剪切变形、不考虑剪切变形以及文献[6]中求解的固有频率值和损耗系数值。在截面铺层方式为[02/902/452/-452]8条件下，考虑剪切变形模型结果与文献[6]计算结果的差值要小于不考虑剪切变形的模型结果与文献[6]中计算结果的差值。以一阶挥舞模态为例，考虑剪切变形模型的固有频率为2.488 8 Hz，不考虑剪切变形模型的固有频率为2.539 1 Hz，与文献[6]中的固有频率值2.4 Hz相比，考虑剪切变形的模型与其差值0.088 8 Hz小于不考虑剪切变形模型与其差值0.139 1 Hz。同样地，考虑剪切变形的模型损耗系数1.457 6%与不考虑剪切变形的模型损耗系数1.527 7%相比较，也更接近文献[6]中的损耗系数1.44%。在截面铺层方式为[45/-45]8条件下，同样以一阶挥舞模态为例，考虑剪切变形模型的固有频率2.070 4 Hz与文献[6]中的固有频率2.0 Hz差值为0.070 4 Hz，不考虑剪切变形模型的固有频率2.302 5 Hz与文献中的固有频率2.0 Hz差值为0.102 5 Hz。考虑剪切变形模型的损耗系数2.471 2%与文献[6]中的损耗系数2.45%差值为0.021 2%，不考虑剪切变形模型的损耗系数2.609 1%与文献中的损耗系数2.45%差值为0.159 1%。经过对比分析，无论固有频率还是损耗系数，考虑剪切变形模型都比不考虑剪切变形模型的结果更为精确，更接近文献[6]中的计算结果。表2所示为复合材料圆管型梁不同铺层方式的模态频率，采取和表1同样的对比分析方法，对各铺层方式、各阶模态的固有频率、损耗系数一一对比，发现考虑剪切变形模型的结果更精确，更接近文献[6]中的计算结果。

表1 复合材料圆管型梁不同铺层方式的模态频率 (L/d=26)

表2 复合材料箱型梁不同铺层方式的模态(L/a=14.36, a/b=5)

在圆截面薄壁复合材料的模态阻尼数值计算中，分别考虑[θ]16(铺层方式一)和[θ/-θ]8(铺层方式二)，2种复合材料铺层方式，铺层数为16层。选取3种支承条件的梁：两端固支梁，简支梁和悬臂梁。梁的几何尺寸为：圆截面直径d=0.352 m，单层厚度为0.000 635 m，复合材料性能参数如表3所示。

表3 复合材料性能参数

4 结论

通过与现有文献的有限元模型进行结果对比，验证了本模型的正确性。针对具有2种不同铺层方式以及3种不同边界条件的圆截面薄壁复合材料梁，进行阻尼计算。结果表明：

1) 计及剪切变形的阻尼模型能更加准确地预测复合材料薄壁梁的阻尼，不计剪切变形将导致对梁阻尼的估计偏高，考虑剪切变形的影响对模态阻尼的预测则更为准确和精确。

2) 铺层角对阻尼具有明显的影响，在[θ]16和[θ/-θ]82种铺层方式下的弯曲模态阻尼分别发生在铺层角θ=40°和θ=50°的附近。

3) 在几何尺寸与铺层方式不变的前提下，悬臂梁的阻尼最小，两端固支梁的阻尼最大，简支梁的阻尼大小介于悬臂梁和两端固支梁的阻尼之间。

图4 具有铺层方式[θ/-θ]8和三种边界条件的圆截面复合材料薄壁梁的模态阻尼

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(责任编辑：高丽华)

Analytic Model of Modal Damping for Thin-walled Composite Beams with Shear Deformation

REN Yongsheng, ZHU Shuai, ZHANG Yuhuan, TIAN Jishuang

(College of Mechanical and Electronic Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qingdao, Shandong 266590，China)

In order to accurately predict the effect of damping on the dynamical behavior of composite thin-walled beams, this paper presents an analytic model of modal damping for thin-walled composite beams with shear deformation. The displacement and strain of the beams were firstly described by using a modified variational asymptotically method (VAM) and the partial differential equations of Timoshenko beam’s free motion were derived by using Hamilton’s principle. Then the partial differential equations were transformed into ordinary differential equations by using Galerkin method and the modal damping was obtained by solving the complex eigenvalues of the system. The effectiveness of the model was verified by comparing the damping computation results with those available in current literature and the numerical results of damping were presented for circular cross-section composite thin-walled beams by analysis of examples. The study shows that higher damping will be predicted without taking shear deformation into consideration and that different laminate configurations yield different fiber laminate angles for the largest damping.

modal damping; composite thin-walled beam; shear deformation; Galerkin method; fiber orientation

2017-01-07

国家自然科学基金项目(11272190)；山东科技大学研究生科技创新基金项目(SDKDYC170220)

任勇生(1956—)，男，山西太原人，教授，博士生导师，主要从事机械系统动力学、非线性振动、复合材料力学、振动控制的研究.E-mail：renys@sdust.edu.cn

TK83

A

1672-3767(2017)05-0097-10

10.16452/j.cnki.sdkjzk.2017.05.014