重温高考经典问题，体会模型化思想方法

浙江省金华市汤溪高级中学 郭 增 张拥军

重温高考经典问题，体会模型化思想方法

浙江省金华市汤溪高级中学 郭 增 张拥军

翻折问题是立体几何动态问题中的一类常见问题。翻折问题都可以理解为圆锥或圆锥的组合体。在圆锥的背景下理解翻折问题，可以揭示它们的命题背景，看清数学本质，尽显数学之美。

动态问题；翻折问题；圆锥；数学本质

作为高中数学的重要组成部分，立体几何在培养学生空间想象能力、锻炼学生思维、引导学生认识事物本质这一层面有着不可替代的作用。高中立体几何部分内容不多，所涉及的公理、定理与性质也不太难理解，需重点掌握的证明与计算都有现存模型，但还是有不少学生对立体几何问题无所适从，特别是对动态问题更是望而生畏。其实，立体几何问题，特别是动态问题，一般都可以通过改变视角，或平面化，或寻找变化过程的不变因素，从而把问题化归到最本质的定理、性质、现有结论或简单的几何模型中。

翻折问题是动态问题中的一类最常见问题，学生对翻折过程缺乏深刻认识而导致缺乏足够的空间位置把握能力，加之求解策略也比较匮乏，因此对求解空间翻折问题总感到力不从心。鉴于此，笔者拟结合浙江省2010年高考试题中的立体几何问题的分析与思考，力求梳理求解空间翻折问题的策略，供读者参考。

空间翻折问题的本质是一个局部旋转问题，其旋转轴即为翻折的折线，因此它具备旋转的特点，从几何体的视角看翻折问题，它实质上是圆锥或圆锥组合，或是圆台的部分。这些几何体中的几何元素的位置关系与数量关系将有助于更深刻地理解翻折问题，更好地把握翻折问题中的不变量与不变关系，从而形成有效的求解策略。

一、问题展示

（2010年浙江省高考数学理科卷第20题节选）如图1，在矩形BCD中，点E，F分别在线段AB,AD上，AE=EB=FD=4。沿直线F将△AEF翻折成AE'EF，使平面A'EF⊥平面BEF。点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使与A重合，求线段FM的长。

二、求解策略分析

显然，直线MN是旋转轴，如果以直线MN为旋转轴旋转一周，那么点C与点D的轨迹都是圆，它们的半径是点C与点D到直线MN的距离。线段MD是以M为顶点D的轨迹为底面圆的圆锥的母线，同理可以分析NC，CD在旋转过程中形成的几何量。

1.利用圆锥母线等长分析翻折问题

反思：借助于圆锥的模型分析翻折过程，利用母线长相等一下子抓住了问题的本质与关键。

2.利用圆锥的旋转轴垂直于底面这一简单的性质分析翻折问题

反思：圆锥母线等长是圆锥模型中的一个核心关系，它还有另一个核心关系：旋转轴垂直于底面，它同样是把握翻折问题的一个关键。

3.利用圆锥的母线与旋转轴所成的角相等分析翻折问题

反思：母线与旋转轴所成的角相等与母线等长本质上是一致的，只是转换一下看问题的角度，并无本质上的差别。

4.利用圆锥的底面半径长度不变性质分析翻折问题

如图4，作CH⊥MN于点H，延长CH交于点G，连接A1H，A1G，则A1H，CH就是圆锥底面圆的半径。所以，因为MN⊥A1H，MN⊥GH，所以MN⊥平面A1GH，所以A1G⊥MN，即G为EF的中点。

综上所述，尽管空间翻折问题变化多端，灵活多样，但是在让人眼花缭乱的表象中我们还是可以总结出解决问题的规律——找出圆锥的模型，利用圆锥中基本的相等与垂直关系，从而有效地把握翻折后的空间位置，将翻折问题顺利解决。

[1]郑日锋.特色依然，再现波澜—2016年浙江省高考试题评析[J].中学教研(数学)，2016(8)，32-35.

[2]蔡小雄.更高更妙的高中数学思想与方法(第三版)[J].杭州：浙江大学出版社.