基于Duane曲线的可靠性增长模型

刘俊荣，陈卫卫，李 星

（中国电子科技集团公司电子科学研究院，北京 100041）

基于Duane曲线的可靠性增长模型

刘俊荣，陈卫卫，李 星

（中国电子科技集团公司电子科学研究院，北京 100041）

在阐述复杂武器装备系统在研制中，通常要经过实验——分析——改进的过程，即可靠性增长过程。由于产品处于改进阶段，每个阶段的产品的寿命所对应的总体就是不同的。因此估计最后阶段的可靠度及其置信限就有了一定的困难，讨论基于Duane曲线的指数可靠性增长模型——ERG模型。完全寿命方案下，给出了利用枢轴量构建置信限的推断方法，并证明了构建的置信限具有最优性。

可靠性增长；可靠度；置信限；样本空间排序

引言

一个复杂武器装备系统在研制中，通常有若干个阶段，即采取对产品进行实验——分析——改进的方法，每一个阶段都是在前面几个阶段上基础上在设计、材料、工艺等方面有所改进，使得系统的可靠性得以增长，进而改进系统的过程（test-analyze-and-fix，简称TAAF过程），这种增长过程可以用可靠性增长模型来表示。在过去的四十多年里，可靠性增长模型在高技术复杂产品的研制过程中得到了越来越广泛的应用，并在应用中逐步完善。其中基于杜安曲线的模型（以下简称Duane模型）是比较有代表性的可靠性增长模型，本文所研究的ERG模型即为基于杜安曲线的一种模型。

1 Duane模型的发展历程

1.1 杜安曲线

1964年，杜安（Duane）通过对一些工业系统的失效数据的研究，得到了杜安曲线性质（Duane Learning Curve Property）：即经验累积失效率与累积试验时间分别取对数后呈近似的线性关系。

1.2 PLP模型

1974年，Crow 将杜安的理论改进为：一个新的系统在改进过程中的失效数服从非齐次泊松过程，且具有威布尔形式的强度函数，

由于此模型的强度函数的形式具有特殊性，我们通常称之为Power Law Process，简称为PLP过程。PLP过程模型时满足杜安学习曲线性质的，这是因为，记

则由非其次Poisson过程的定义知：

从而有：

所以：

两边取对数得：

其中：

然而，PLP模型有下述的缺陷：

第一：由于系统的改进只发生在某些时刻，故其强度函数不可能是时间t的连续变化函数；

第二，在可靠性增长的情形下（即δ<1）,当t趋于零时，PLP模型的强度函数趋于无穷，这是不合实际的。

1.3 ERG模型

针对PLP模型的上述缺点，后来很多学者对其进行了讨论并加以改进，Sen和Bhattacharyya（1993）将其进一步改进为一个逐步加强的模型（Step-Intensity Model），模型描述如下：

记0 < T1< T2< ……为所研究系统的相继失效的时间，Ti - Ti-1相互独立且服从参数为λi的指数分布，即：

其中i = 1，2，……，T0= 0

λi的表达式为：

通常，我们把这个模型称为指数可靠性增长模型（Exponential Reliabity Growth Model），简称ERG模型。此模型将PLP模型中的强度函数化成了离散的形式，这更符合实际情况。

2 问题提出

可靠度的点估计及置信下限的寻求在可靠性理论及实际应用中是一个很重要的问题。一般来说，我们最关心的是最后阶段结束时产品的可靠度及置信下限的大小。这里提出的与初等统计学不同的问题是：因为实验设计有了变化，各个阶段的样本实际上是来自不同的母体，即变母体的样本，而我们感兴趣的只是最后阶段的样本所对应的母体。由于设备处于改进阶段，每个阶段的实验数据都是非常有限的，如何综合利用有限的数据对最后结束阶段的可靠度（或者其他等价的可靠性指标）做统计推断，并根据结果决定是否还要改进是一个很值得探讨的问题。

μ，δ是未知的参数，μ>0，δ≥1。可见只需要找出λn+1的点估计和置信上限。

3 对于ERG模型的统计推断

3.1 点估计

极大似然估计是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，刘礼（2000）[9]严格证明了（μ，δ）的极大似然估计存在且唯一。而且是方程（5）的唯一解。

由此知λn+1的极大似然估计为：

3.2 置信限的构建

Ananda Sen（1998）[1]对ERG模型进行了研究，指出：的分布与μ，δ无关，即Q是枢轴量，所以可以用Q来构造λn+1的置信上限。

给定置信水平1-r，设q(r)是Q的分布的1-r分位数，则有：

故λn+1的1-r水平的置信上限为：

3.3 置信限的最优性定理

在3.2节中，利用枢轴量方法得到置信限或者置信区间是比较简单的。但是由此得到的置信限有何优良的性质并不清楚，下文中证明了：上述的是所有关于单调递增的置信上限中最小的。从而可靠度的1-r水平置信下限是所有的关于极大似然估计值单调增的置信下限中最大的，即这样的置信限具有最优性。

下面我们证明：

但是

故

为证明式（12）成立，先证明以下引理：

将方程（5）中的xi用Ui来代替，得到下面的方程：

注意，方程（14）的左端不依赖于μ。

令

由于（U1，U2，…，U_n）与（x1，x2，…，xn）同分布，所以同分布。而

于是：

引理证毕。

证明：由引理1和（11）知：

这里：

且β（r）只与置信水平1-r和样本量n有关。故

从式（15）可知

证毕。

但是我们永远可令：

这从定理的证明过程中适当的修改即可得到。

4 应用实例

对于枢轴量的方法，Q分布的分位数可以用Monte Carlo模拟的得到，表1是Anada Sen（1998）[1]中给出的在r = 0.05，0.025，0.005时的分位数q（1-r）的值。

下面我们给出数值例子：

例1：设某产品在改进的过程中产生的样本x1，…，xn依次为：6.571 3，3.059 2，14.337 6，9.809 5，37.826 3，8.632 4，27.212 5，4.825 9，5.696 2，20.864 5，30.802 9，5.069 6，10.216 2，24.564 1，12.055 5，26.570 9，72.966 1，89.195 0，81.723 2，50.176 9，26.768 5，103.265 8，16.205 4，54.288 6，99.313 5，36.687 9，65.241 8，90.714 4，42.278 1，57.111 0，请根据得到的样本数据，预测下一阶断失效率的点估计及其置信水平分别为0.95，0.975，0.995的置信上限。

解：

1）求点估计。

因此可以求解δ。而

2）求置信限

由表1中的数据可以计算λn+1的置信水平为0.95，0.975，0.995的置信上限分别为：

表1 分位数 q（1-r）

5 结论

本文讨论了一种基于杜安学习曲线的可靠性增长模型——ERG模型，在完全寿命方案下，在极大似然估计存在且唯一的基础上，利用枢轴量的方法给出了可靠度置信限的构建方法，然后利用样本空间排序的方法证明了构造的置信限的优良性,可应用于武器装备可靠性增长过程的评价。

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Reliability Growth Model Based on Duane Curve

LIU Jun-rong, CHEN Wei-wei, LI Xing
(CAEIT, China Electronics Technology Group Corporation, Beijing 100041)

During the complex weapon equipment development, the process including experiment, analysis, and improvement is a must, that is TAAF (test, analyze, and fix). Because the product is in the advanced stage, the population is different corresponding to product life in each sage. Therefore, there’s difficult in evaluating the reliability and its confidence limits in the final stage. This paper discusses the exponential reliability growth model-ERG based on the Duane curve. In the complete life scheme, the deduced method for the confidence limits using the pivotal quantity is proposed, and the priority of the confidence limit is proven in this paper.

reliability growth; reliability; confidence limit; sample space sequence

V21

A

1004-7204（2017）03-0043-05

刘俊荣（1976-），山东招远人，高级工程师，主要研究方向为系统可靠性设计及验证技术。