导数中的“设而不求”

江苏 陈燕青

(作者单位：江苏省新海高级中学)

导数中的“设而不求”

在遇到与一元二次方程的根有关的问题的时候，为了便于解决问题，解题常常采用的策略是不求根而用根与系数满足的关系式代入目标问题整体运算，即采用“设而不求”的方法.

在解一些导数问题时，注意到极值点是f′(x0)=0的根，我们也可以借用这种思想方法，不求极值点x0的值，而用x0满足的代数式整体代入目标问题，解决求极值的问题.

【解】依题得y=f′(x)=x2-2x+a=0 ①有两个不相等的实数根，即Δ=4-4a>0,∴a<1，

设方程①的两个根为x1,x2，

将(*)代入迭代降幂

所以f′(x)在(0，+∞)上单调递增，

∵f′(a)>0，又当x→0时f′(x)→-∞,

又由此式取对数得lnx0=lna-ln2-2x0(*)，

且当x∈(0,x0)时，f′(x0)<0;当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0，

故f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增.

所以当x=x0时，f(x)取得最小值，且f(x)min=f(x0)=e2x0-alnx0.将(*)代入f(x0)，

(作者单位：江苏省新海高级中学)