具有曲率和惯性非线性以及材料内阻的旋转复合材料轴的主共振1)

任勇生姚东辉

(山东科技大学机械电子工程学院，山东青岛266590)

动力学与控制

具有曲率和惯性非线性以及材料内阻的旋转复合材料轴的主共振1)

任勇生2)姚东辉

(山东科技大学机械电子工程学院，山东青岛266590)

旋转复合材料轴作为一类典型的转子动力学系统，在先进直升机和汽车动力驱动系统中有着广阔的应用前景.研究旋转复合材料轴的非线性振动特性具有重要的理论与实用价值.然而，目前有关旋转轴的非线性振动研究仅限于各向同性金属材料轴，很少考虑材料内阻的影响.本文研究具有材料内阻的旋转非线性复合材料轴的主共振.非线性来源于不可伸长复合材料轴的大变形引起的非线性曲率和非线性惯性，材料内阻来源于复合材料的黏弹性.动力学建模计入转动惯量和陀螺效应.基于扩展的Hamilton原理，导出具有偏心激励的旋转复合材料轴的弯--弯耦合非线性振动偏微分方程组.采用Galerkin法将偏微分方程离散化为常微分方程，采用多尺度法对常微分方程进行摄动分析，导出主共振响应的解析表达式.对内阻、外阻、铺层角、长径比、铺层方式和偏心距进行数值分析，研究上述参数对旋转非线性复合材料轴的稳态受迫振动响应行为的影响.研究发现，角铺设复合材料轴的内阻系数随着铺层角的增大而增大；内阻对主共振响应特性的影响主要体现在对抑制振幅和改变频率响应的稳定性方面；发生在正进动固有频率附近的主共振响应具有典型的硬弹簧非线性特性.本文提出的模型能够用于描述旋转复合材料轴的主共振特性，是对不可伸长旋转金属轴非线性动力学模型的重要推广.

主共振，旋转复合材料轴，材料内阻，不可伸长梁，多尺度法

引言

复合材料由于密度小，抗振降噪性能好，在直升机尾传动轴[1]以及汽车传动轴的结构[2]中已经发挥出越来越重要的作用.对复合材料转子系统的动力学特性做出精确分析和预测，将有助于进一步推进先进复合材料在航空和汽车等尖端技术领域中的应用.

Zinberg等[3]基于等效模量梁理论建立了复合材料轴临界转速分析模型，并且将分析结果与实验结果进行了对比.Singh等[4]分别基于等效模量梁理论和分层梁理论建立了复合材料轴的动力学模型，并对两种模型得到的临界转速进行对比.Kim等[5]采用壳的一阶近似理论推出了薄壁复合材料传动轴的运动微分方程，并且计算了不同类型的复合材料传动轴的临界转速.Bert[6]采用Bernoulli-Euler梁理论建立了复合材料传动轴的动力学方程，该模型考虑了陀螺效应和弯扭耦合的影响.Chang等[7]基于一阶剪切梁理论提出了一个复合材料轴系统的有限元动力学模型，该模型除了轴还包含了刚盘以及轴承.Song等[8]基于Rehfie[9]的复合材料薄壁梁理论，建立了复合材料轴的振动微分方程，研究了矩形截面轴和圆形截面轴的固有频率和稳定性.任勇生等[1011]基于变分渐进法[12]，提出了旋转复合材料薄壁轴的动力学分析模型，其中引入了横向剪切变形，并且考虑了刚盘以及轴承的影响.

然而，由于复合材料相比金属材料具有更大的阻尼，在超临界旋转状态下，旋转复合材料轴受到内阻的影响，更容易产生大振幅失稳问题.因此，在复合材料转子系统的动力学分析中考虑非线性因素的影响，对于深入揭示高速复合材料转子系统的动力学行为，最终实现对其动力学性能的优化设计是十分必要的[13].

Shaw等[14]研究具有内阻的黏弹性材料旋转轴的非线性受迫振动，采用中心流理论分析轴的后临界动力学特性.Cveticanin[15]研究了考虑材料非线性弹性特性的转子系统的主共振，并将转子简化为二自由度系统，采用平均法进行求解.Ishida等[16]研究了质量连续分布转子非线性受迫振动，非线性是由于转子中心线可伸长产生的.研究表明，主共振响应曲线具有硬弹簧特性，并且存在某些组合共振.Hosseini等[17]采用多尺度法研究了具有轴向可伸长的旋转轴的非线性受迫振动，其中考虑了外阻的影响.Khadem等[18]研究轴向不可伸长的大变形旋转轴两模态组合共振，采用谐波平衡法进行求解，得到组合共振近似解析解.Shahgholi等[19]采用多尺度法研究了主轴质量惯性矩和刚度系数不相等的非对称轴主共振和参数共振，非线性来源于轴向不可伸长的大变形.Shad等[20]采用多尺度法研究了考虑高阶弯曲变形的非线性转子系统的主共振，转子系统是由带有刚盘和刚性支承的简支弹性轴构成.Hosseini等[21]采用多尺度法研究了具有曲率和惯性非线性的旋转轴的非线性自由振动与受迫振动.

然而，上述研究或者针对简单的二自由度系统，或者针对各向同性材料旋转轴.Ren等[22]采用多尺度法研究了旋转复合材料轴的质量不平衡主共振，非线性采用Von Karman大变形进行描述并且没有考虑复合材料内阻的影响.但上述模型仅适合于薄壁复合材料轴.

复合材料轴的内阻来源于材料内部的能量耗散.Saravanos等[23]提出了一个预测各向异性复合材料空心梁模态阻尼的有限元模型，但它仅适用于非旋转的复合材料梁或者叶片.Sino等[24]基于简化的均匀梁有限元模型(SHBT)，研究带有刚盘和弹性支承的旋转复合材料轴的动力学特性，其中采用黏弹性复合材料本构关系描述内阻特性.Ren等[25]基于变分渐进法建立了复合材料薄壁轴转子系统的动力学模型，采用单层--截面--轴的多尺度阻尼分析方法对复合材料内阻进行建模.然而，上述研究由于均未考虑非线性因素的影响，仅适合于对旋转复合材料轴进行线性振动分析.

本文研究两端简支不可伸长旋转复合材料轴的非线性受迫振动，其中考虑复合材料内阻和非线性曲率和惯性的影响，内阻来源于复合材料的黏弹性，剪切变形的影响不予考虑.从复合材料应力--应变本构关系和应变--位移关系出发，在导出复合材料轴的应变能、动能和阻尼耗散能的基础上，采用扩展的Hamilton原理建立了运动微分方程.采用Galerkin法对弯曲振动非线性偏微分方程组进行离散化，采用多尺度法导出具有偏心质量激励的旋转轴的弯曲主共振稳态响应表达式,研究纤维铺层角、铺层方式、长径比、偏心距和外阻等参数以及材料内阻对旋转复合材料轴主共振特性的影响.

1 运动方程

图1所示为长度为L的复合材料轴，轴的两端简支，直角坐标系(X,Y,Z)为惯性坐标系；(X0,Y0,Z0)为旋转坐标系，(x,y,z)为局部坐标系，惯性坐标轴与复合材料轴的横截面主轴一致，坐标原点位于变形轴的中心线上的x点处.变形轴上x点沿X,Y和Z方向的位移分别为u(x,t),v(x,t)和w(x,t)，扭转角为φ(x,t).

假定复合材料轴绕X轴以定常角速度Ω旋转；复合材料轴为细长杆，剪切变形可以忽略不计；由于支承点O是固定的，而支承点O′在X方向不受约束，因此复合材料轴的中心线是不可伸长的；除了考虑复合材料的内阻，也同时考虑外阻尼的影响.

图1 旋转复合材料轴结构示意图Fig.1 Schematic of the rotating composite shaft

旋转复合材料轴的动能为[26]

其中，“˙”表示对时间t求偏导,m和I分别表示单位长度的质量和截面惯性矩，分别为

其中，N表示复合材料的层数，ρ(k)是第k层的密度，rk和rk+1分别是第k层的内径和外径.ω1,ω2和ω3分别表示坐标系(x,y,z)相对于(X,Y,Z)的转动角速度，表达式为

其中，ψ=φ+Ωt,ψy和ψz分别表示复合材料轴的横截面绕z和y轴的转角，φ表示横截面绕x轴的扭转角，ψz和ψy可以表示为[26]

其中，“′”表示对x求偏导.

旋转复合材料轴的弹性势能

其中，在柱坐标下的微体积元d V=r d r dαd x，r和α分别表示极径和极角.

不计剪切变形,复合材料轴的柱坐标形式的应力--应变方程为[7]

其中，σx和τxα分别表示柱坐标点(x,r,α)的正应力和剪应力，ij(i,j=1,6)表示复合材料单层的偏轴刚度系数.

柱坐标下的应变--位移方程

其中，ρi(i=1,2,3)表示轴的曲率[27]，计算如下

弹性势能的变分

将式(6)～式(9)代入式(11)，可得

其中

由于旋转复合材料轴的支承O′在x轴方向是可运动的，因此，沿轴向不可伸长假设成立[28]，即应变ε=0，由此可得

于是方程(12)可简化为

旋转复合材料轴阻尼耗散力的虚功

简谐稳态运动下黏弹性复合材料的耗散应力为

经过与式(15)类似的推导，可得

其中

其中，¯ηij(i,j=1,2,6)表示复合材料单层的偏轴阻尼系数.

如果假设横向位移v和w是一阶无穷小量，则轴向位移u为二阶无穷小量.将式(4)代入方程(3)和方程(10)，展成泰勒级数，并只保留前三阶无穷小量，并将结果代入式(15)和式(19)，采用扩展的Hamilton原理[2930]，并且利用式(14)，可建立复合材料轴的弯--弯--扭耦合非线性振动方程.

圆形截面轴的扭转基础频率比弯曲频率大得多，扭转惯性项可以略去不计[27]，此外，由于复合材料轴是细长杆，转动惯量很小，因此与转动惯量相乘的非线性项也可忽略不计[26]，据此，对弯--弯--扭耦合非线性振动方程可以进行适当的简化.

定义下列无量纲量

采用变换式(21)，并利用上述假定,可以导出弯--弯耦合非线性振动方程

需要说明的是，在上述方程中引入了黏滞阻尼系数为c的外阻尼项，以及由于质量偏心产生的激振力项.而且，方程(22)和(23)是在旋转坐标系下得到的.为了着重研究非线性惯性和非线性刚度的影响，上述方程中只保留了内阻的线性项.

为简单起见，方程(22)和(23)中变量v，w和x上的横杠均已去掉.

2 方程求解

为了采用多尺度法研究旋转复合材料轴的主共振，首先将弯--弯耦合非线性偏微分方程组(22)和(23)化为常微分方程组.为此，取单模态做近似处理，采用Galerkin法进行离散.

简支复合材料轴的弯曲位移v(x,t)和w(x,t)为

其中，V(t¯)和W(t¯)表示模态坐标，n=1,2,···为模态阶数.

令

其中，T0=¯t,T2=ε2¯t.考虑到

将式(29)和式(30)代入方程(27)和式(28)，分别令方程两端ε同次幂的系数相等，得O(ε)

方程(31)的解形式为

ωf和ωb分别为正进动和反进动线性固有频率

令

其中，σ是调谐参数，表示激振频率¯Ω与固有频率ωf的接近程度.利用

其中，cc表示复共轭.

将式(33)代入方程(32)，并且设q=¯e¯Ω2，得

其中

为了建立方程(37)的可解条件，设

将式(39)代入方程(37)，分别令eiωfT0和eiωbT0的系数相等，得

方程(40)的定解条件为

方程(41)的定解条件为

由方程(42)和(43)，可分别化简得

其中

设

其中，ai(T2)，θi(T2)(i=1,2)是振幅和相位角.

将解(47)代入方程(44)和(45)，分离实部和虚部，得

3 数值算例

旋转复合材料轴的基本参数包括：轴的平均半径为0.176m，厚度0.01016m，角铺设[±θ]8的层合方式，长度L根据长径比确定.n=1,复合材料力学参数如表1所示.

表1 材料力学特性[23]Table 1 Mechanicalpropertiesofmaterial[23]

图2[±θ]8铺层复合材料轴的内阻系数¯γ随铺层角变化曲线(L/d=100)Fig.2 Internaldamping coe ffi cientvs.[±θ]8angle-ply laminated shaft(L/d=100)

图2 所示为具有角铺层的复合材料轴的无量纲内阻系数¯γ(见计算公式(21))随铺层角θ的变化曲线.从图2可以看出，随着铺层角的增大,内阻系数具有增大的趋势，在θ=0°时，=0.0258为最小；在θ=73.4694°时，达到最大值0.0545；此后，随着铺层角增大，比其最大值略有下降，当θ=90°时，为0.0540.随铺层角的变化之所以呈现上述规律，是由于纤维纵向的阻尼低于其横向的阻尼(见表1)，因此，纤维越靠近轴的纵向铺设，此方向上的内阻也越小.

图3给出长径比为120的角铺层复合材料轴的主共振频率响应曲线，包括3种情形：①有内、外阻(=0.0258(θ=0°),c=0.07)；②只有外阻而没有内阻(=0,c=0.07)；③无内、外阻(=0,c=0).图中，纵坐标为复合材料轴的弯曲位移v(x,t)和w(x,t)中的正进动分量振幅a1.图3表明，在主共振条件下，内阻与外阻的作用是相同的，都是起着消耗振动能量、降低共振响应峰值的作用.可见，不考虑内阻的影响将导致对共振响应水平的过高估计.

图3内外阻对角铺设层复合材料轴的主共振响应曲线的影响(L/d=120)Fig.3 E ff ectsof internaldamping and externaldamping of angle-ply lam inated shafton primary resonance curves(L/d=120)

图4 表示铺层角分别为0°，30°和60°时的主共振曲线.结果表明，铺层角越小，共振响应曲线向高转速方向的弯曲越明显，同时共振响应的峰值也越大，这是由于复合材料内阻系数¯γ随着铺层角的减小具有减小的趋势，在θ分别为0°，30°和60°时，对应的¯γ分别为0.0258，0.0356和0.0527.因此，铺层角为60°时的共振响应的峰值最小.

图5表示复合材料轴的长径比对主共振响应的影响，结果表明，长径比越大，即越细长的轴，共振响应曲线的弯曲程度也更明显.

图4 主共振频率响应曲线(L/d=100，e=0.5，¯c=0.01，[±θ]8，θ=0°，30°，60°)Fig.4 Primary resonance curves(L/d=100，e=0.5，¯c=0.01，[±θ]8，θ=0°，30°，60°)

图5主共振频率响应曲线([±30°]8，e=0.5，¯c=0.01，L/d=50，100，150)Fig.5 Primary resonance curves([±30°]8,e=0.5，¯c=0.01，L/d=50，100,150)

图7和图8分别表示偏心距和外阻尼对主共振响应的影响，结果表明，外阻尼的增大导致主共振振幅减小，而偏心距的增大导致主共振振幅的增大.

从图3～图8还可以看出，旋转复合材料轴在ωf附近的主共振响应曲线具有典型的硬弹簧非线性特性，在调谐量的某些变化范围内，共振响应具有3个振幅，共振响应存在不稳定性、跳跃性以及分叉现象.

图6 主共振频率响应曲线(L/d=100，e=0.5，c¯=0.01，铺层方式：[0°]16，[±60°]8，[90/0/45°/-45°])Fig.6 Primary resonance curves(L/d=100，e=0.5，=0.01，stacking sequence：[0°]16，[±60°]8，[90/0/45°/-45°])

图7 主共振频率响应曲线(L/d=100，[±30°]8，=0.01，e=0.1,0.3,0.5)Fig.7 Primary resonance curves(L/d=100，[±30°]8，=0.01，e=0.1,0.3,0.5)

图8主共振频率响应曲线(L/d=100，[±30°]8，e=0.5，=0.1，0.01，0.001)Fig.8 Primary resonance curves(L/d=100，[±30°]8，e=0.5，=0.1，0.01，0.001)

图9 ～图13分别表示长径比、调谐量、铺层角、外阻尼和铺层方式等参数对振幅随偏心距变化曲线的影响.结果表明，振幅随着偏心距的增加而增加，适当改变上述参数会对共振响应特性出现多值区、跳跃和分叉的偏心距的范围产生明显的影响.

图14～图18分别表示长径比、调谐量、铺层角、偏心距和铺层方式等参数对振幅随外阻变化曲线的影响.结果表明，振幅随着外阻的增大而减小.外阻对主共振响应除了具有抑制作用，也会改变主共振响应的稳定性.当外阻较大时，振幅--外阻尼曲线的多值区域消失，主共振响应稳定.

图9 振幅随偏心距变化曲线([±30°]8,σ=0.2,=0.01,L/d=50，100，150)Fig.9 Amplitude vs.eccentricity([±30°]8,σ=0.2,=0.01,L/d=50，100，150)

图10振幅随偏心距变化曲线([±30°]8,L/d=100,=0.01,σ=-0.1,0,0.1,0.2)Fig.10 Amplitude vs.eccentricity([±30°]8,L/d=100,=0.01,σ=-0.1,0,0.1,0.2)

图11 振幅随偏心距变化曲线(L/d=100,=0.01,σ=0.2,[±θ]8,θ=0°,30°,60°)Fig.11 Amplitude vs.eccentricity(L/d=100,=0.01,σ=0.2,[±θ]8,θ=0°,30°,60°)

图12 振幅随偏心距变化曲线(L/d=100,σ=0.2,[±30°]8,=0.1,0.01,0.001)Fig.12 Amplitude vs.eccentricity(L/d=100,σ=0.2,[±30°]8,=0.1,0.01,0.001)

图13振幅随偏心距变化曲线(L/d=100,σ=0.2,c¯=0.01,铺层方式：[0°]16,[±60°]8,[90/0/45°/-45°])Fig.13 Amplitude vs.eccentricity(L/d=100,σ=0.2,=0.01,stacking sequences：[0°]16,[±60°]8,[90/0/45°/-45°])

图14 振幅随外阻尼变化曲线([±30°]8，σ=0.15，e=0.5，σ=0.1,L/d=80，100，120)Fig.14 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient([±30°]8,σ=0.15,e=0.5,σ=0.1,L/d=80,100,120)

图15 振幅随外阻尼变化曲线([±30°]8，L/d=150，e=0.5，σ=-0.1,0,0.1,0.2)Fig.15 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient([±30°]8，L/d=150，e=0.5，σ=-0.1,0,0.1,0.2)

图16 振幅随外阻尼变化曲线(L/d=100，e=0.5，σ=0.12,[±θ]8，θ=0°，30°，60°)Fig.16 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient(L/d=100，e=0.5，σ=0.12,[±θ]8，θ=0°，30°，60°)

图17 振幅随外阻尼变化曲线(L/d=100，[±30°]8，σ=0.15,e=0.5，0.6，0.7)Fig.17 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient(L/d=100，[±30°]8，σ=0.15,e=0.5，0.6，0.7)

图18振幅随外阻尼变化曲线(L/d=150，σ=0.1,e=0.5,铺层方式：[0°]16,[±60°]8,[90/0/45°/-45°])Fig.18 Amplitude vs.externaldamping coe ffi cient(L/d=150,σ=0.1,e=0.5,stacking sequences：[0°]16,[±60°]8,[90/0/45°/-45°])

图19 ～图22分别表示长径比、调谐量、外阻尼和偏心距等参数对振幅随铺层角变化曲线的影响.结果表明，对于上述参变量某些给定值，随着铺层角的增大，振幅随铺层角变化曲线从多值曲线变为单值曲线，主共振响应由不稳定跳跃变为稳定，即铺层角越大，稳定性越好，这与外阻尼的效果是类似的(见图14～图18).

为了进一步考查模态截断误差对数值结果的影响，保留二阶模态，即令

图19 振幅随铺层角变化曲线=0.01，e=0.5，σ=0.2,L/d=50，100，150)Fig.19 Amplitude vs.ply angle(=0.01，e=0.5，σ=0.2,L/d=50，100，150)

图20 振幅随铺层角变化曲线(=0.01，L/d=100，e=0.5，σ=-0.1,0,0.1,0.2)Fig.20 Amplitude vs.ply angle(=0.01，L/d=100，e=0.5，σ=-0.1,0,0.1,0.2)

图21 振幅随铺层角变化曲线(L/d=100，σ=0.2,e=0.5，=0.1,0.01,0.001)Fig.21 Amplitude vs.ply angle(L/d=100,σ=0.2,e=0.5,=0.1,0.01,0.001)

图22 振幅随铺层角变化曲线(L/d=100，=0.01，σ=0.15,e=0.3,0.4,0.5)Fig.22 Amplitude vs.ply angle(L/d=100，=0.01，σ=0.15,e=0.3,0.4,0.5)

采用Galerkin法对非线性偏微分方程(22)和(23)进行离散，得到包含4个模态坐标的4个非线性常微分方程(由于受版面的限制，这些非线性常微分方程组不再列出)，取m=1，n=2，对上述非线性常微分方程进行数值积分，并将计算结果与单模态数值积分解及其多尺度摄动解进行比较，结果如图23所示.图23表明，二阶模态截断数值解与一阶模态近似解彼此非常接近，说明采用一阶模态近似解基本能够反映旋转复合材料轴在主共振点附近的非线性稳态响应的特性.

图23 一阶和二阶模态近似解的比较(L/d=100，=0.02，[±30°]8,e=0.5)Fig.23 Comparison of one-mode solution and two-mode solution(L/d=100，=0.02，[±30°]8,e=0.5)

4 结论

基于轴向不可伸长假定，引入几何非线性的影响，考虑材料内阻，采用扩展Ham ilton原理建立运动方程，采用多尺度法导出旋转复合材料轴非线性受迫振动响应的分析解，通过对铺层角、长径比、铺层方式、内外阻以及偏心距进行参变分析，研究旋转复合材料轴的主共振响应特性.主要结论如下.

(1)角铺设复合材料轴的内阻系数随着铺层角的增大而增大，当铺层角为73.4694°时，达到最大内阻系数0.0545；当铺层角为0°时，为最小内阻系数0.0258；当铺层角为90°时，内阻系数为0.0540.

(2)在一定的条件下，发生在正进动固有频率附近的主共振响应具有典型的硬弹簧非线性特性，表现出多值与跳跃性.

(3)材料内阻对旋转复合材料轴主共振响应特性的影响主要体现在对抑制振幅和改变频率响应的稳定性方面.

(4)角铺设方式下，主共振响应随着铺层角或者外阻的增大而减小,随着长径比或者偏心距的增大而增大.

(5)在其他参数不变的情况下，铺层角或者外阻越小,长径比或者偏心距越大，共振响应曲线的几何非线性效应也越明显.

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PRIMARY RESONANCESOFAN INTERNALLY DAMPED ROTATING COMPOSITE SHAFTW ITH NONLINEARITIES IN CURVATURE AND INERTIA1)

Ren Yongsheng2)Yao Donghui
(College ofMechanicaland Electronic Engineering，Shandong University ofScience and Technology，Qingdao 266590，Shandong，China)

The rotating shaftmade of anisotropic composites is a class of typical rotor dynam ic system which has a w ide application in the structural design of advanced helicopter power transm ission and automotive drive system.The nonlinear rotordynamic behavior study of these system has significanc in theory and practice.However,at present,the research aboutnonlinear dynam ic of rotordynam ic system has restrainedly been the rotating isotropic shaft,and the e ff ectof internalmaterial damping is seldom considered.In this paper,the primary resonances of an internally damped rotating composite shaftare investigated.Nonlinearity comes from curvature and inertia induced by large deformation of in-extensionality composite shaft.Internalmaterial damping comes from the dissipative properties of viscoelasticcomposite.The dynam icalmodel incorporates rotary inertia and gyroscopic e ff ect.The extended Ham ilton principle is employed to derive the nonlinear equations of bending-bending vibration of rotating composite shaft.The Galerkin method is used to discretize these nonlinear equations,and themultiscalemethod is adopted to perturbtion analysis the ordinary di ff erential equation,then the analytical expression of primary resonances are derived.The internal damping,external damping,ply angle,length-diameter ratio,stacking sequence,and eccentic distance are numerically analyzed,the e ff ects of above parameters on stable forced vibration-response behaviors of rotating nonlinear composite shaft are discussed.The resultsshow that the internaldamping coe ffi cientofangle-ply laminated shaft increasesas the increaseof ply angle.The primary resonance curves appeared at forward linear natural frequency are found to be of the hardening type.The developedmodel is capable of describing primary resonance behaviors of rotating composite shaft.This is an importantgeneration of nonlinear dynam icmodelof in-extensional rotating isotropic shaft.

primary resonances，rotating composite shaft，internal damping，in-extensional beam，multiple scales method

TB33,TH113

A

10.6052/0459-1879-17-002

2017-01-02收稿，2017-03-27录用,2017-03-28网络版发表.

1)国家自然科学基金资助项目(11272190,11672166).

2)任勇生，教授，主要研究方向：机械振动、复合材料结构力学.E-mail：renys@sdust.edu.cn

任勇生,姚东辉.具有曲率和惯性非线性以及材料内阻的旋转复合材料轴的主共振.力学学报,2017,49(4)：907-919

Ren Yongsheng,Yao Donghui.Primary resonances of an internally damped rotating composite shaftw ith nonlinearities in curvature and inertia.Chinese JournalofTheoreticaland Applied Mechanics,2017,49(4)：907-919