基于附加约束方法的空间飞网碰撞动力学与仿真

甄 明，杨乐平，张青斌

基于附加约束方法的空间飞网碰撞动力学与仿真

甄 明，杨乐平，张青斌

（国防科技大学航天科学与工程学院，长沙410073）

针对空间飞网捕获目标时的碰撞问题，基于向量式有限元离散方法，采用Kelvin⁃Voigt绳段模型，引入附加约束方法，对飞网捕获碰撞过程进行了动力学建模和仿真，分析了飞网在捕获碰撞阶段的位形变化、能量变化、碰撞力和绳段张力变化。结果表明，空间飞网的位形、能量和对角线绳段内力在碰撞过程中都会发生显著变化。可为空间飞网系统的设计提供一定的借鉴。

空间飞网；碰撞捕过程；附加约束法；动力学模型

1 引言

随着人类空间活动的不断探索和发展，大量空间碎片散布于地球轨道［1］，空间碎片的急剧增加导致更多的碎片碰撞事故，造成空间飞行器结构破坏、脱离轨道等破坏效应［2］。对此，众多学者提出了机械臂［3］、空间飞叉技术［4］和空间飞爪［5］等措施对空间碎片进行捕获和离轨，但以上方法需要较高的控制精度，且在捕获过程中伴有刚性碰撞，可能产生二次垃圾。后来，欧空局提出了一种空间飞网捕获方法［6］，空间飞网捕获较好地避免了刚性碰撞，具有容错性强、降低捕获精度要求、质量轻、占用空间小、成本低等诸多优势，因此受到了广泛关注和研究。

空间飞网捕获可分为捕获阶段和离轨阶段，其中，捕获阶段可分为拉出展开过程和碰撞包裹过程。陈钦等［7⁃8］建立了空间飞网系统的刚柔耦合动力学模型，对飞网拉出展开进行了初步研究，并通过地面抛射试验进行检验。赵国伟等［9］考虑绳段张力内耗和变形滞后，对柔性飞网展开运动进行了数值模拟。于洋和李京阳等［10⁃12］提出了飞网拉出展开效果的衡量标准，并利用软件THUsolver和ABAQUS进行动力学仿真，分析了飞网抛射参数对展开性能的影响。张青斌等［13］采用“半阻尼弹簧”模型，基于地面试验参数，仿真分析了飞网展开过程的天地差异性。刘海涛等［14⁃15］利用多点吊挂模型，对飞网捕获后的复合体离轨进行了策略设计和动力学仿真。以上研究多集中于空间飞网拉出展开过程和拖拽离轨阶段，而飞网对目标体的碰撞包裹研究较少。

碰撞包裹过程中，飞网与捕获目标发生碰撞会产生应力集中，可能导致绳段断裂，从而使捕获目标逃离飞网，因此，空间飞网碰撞包裹过程同样需要深入研究。于洋等［16］利用三维有限元模型，对不同网目的柔性网在冲击作用下的应力和变形进行了分析，但作者对网的边界进行了约束，不能体现飞网捕获过程的真实状态。Benvenuto等［17］利用罚函数方法对飞网捕获目标进行了仿真，作者仅研究了飞网碰撞包裹目标的整体位形变化，未对飞网碰撞力进行分析，且罚函数方法需要人工设定罚刚度，同时飞网会对目标体产生嵌入，不符合物理实际。

本文将对飞网拉出展开阶段和碰撞包裹阶段进行动力学建模和仿真，飞网采取向量式有限元方法进行离散化处理，采用Kelvin⁃Voigt模型作为绳段本构模型，同时引入附加约束方法描述碰撞阶段的动力学过程，通过仿真结果对空间飞网拉出展开和碰撞包裹阶段的飞网位形、能量变化、绳段张力和碰撞力进行分析，重点对飞网捕获碰撞阶段的碰撞力及能量变化进行研究，为空间飞网捕获空间碎片提供一定的借鉴。

2 空间飞网动力学模型

2Ʊ 1 基本假设与坐标系

空间飞网动力学模型的基本假设如下［18］：

1）绳索可拉不可压，不考虑绳索结构中的弯曲挠性和接触效应；

2）质量块视为质点，地球视为均质球体，完全中心引力场；

3）假设目标体为刚性体，表面光滑，不考虑摩擦效应。

如图1所示，引入以下坐标系：

1）地心惯性系N，原点位于地球质心OE，X轴指向春分点，Z轴垂直于赤道面指向北极，Y轴由右手法则确定；

2）拖船轨道系H1，原点位于拖船质心O1，x轴由OE指向O1，z轴沿拖船轨道面法向，y轴在拖船轨道面内垂直于x轴并指向运动方向，并满足右手法则。

2Ʊ 2 向量有限元绳段单元

空间飞网属于典型的非线性、多柔体系统，目前还很难建立精确的解析模型。为此，采用离散化的建模思路，将空间飞网离散为若干有限段。借鉴“向量式有限元”［19］的方法对飞网系统进行离散，向量式有限元将结构离散为质点和结构单元，由质点的运动轨迹来描述结构的几何和位置，结构单元用来传递内力、约束质点运动［20］。

每个绳段由两个质点和一个绳索单元组成，绳段的质量集中在质点上，所以质点的质量等于相邻绳段质量总和的一半，则节点i的质量mi为式（1）：

其中mij为节点i相邻绳段质量，需要注意的是，对于四个质量块节点，需要加上质量块的质量ms。

绳索是一种粘弹性材料，本文向量有限元的结构单元采用Kelvin⁃Voigt绳段单元［21］，如图2所示。在Kelvin⁃Voigt模型中，总应力是弹性元件与粘性元件的应力之和，即式（2）：

其中：ε为绳段应变，ε·为绳段应变率，k为弹性系数，c为阻尼系数。

2Ʊ 3 绳段内力计算

绳段单元不考虑垂度影响，将绳段单元简化为直线模型，则单元变形为式（3）：

其中，由于绳索极度柔软，仅能承受张力，不能承受压力，绳段sij的张力为式（4）：

式中：E为杨氏模量，由材料特性决定；Aij为绳段截面积。绳段sij的等效阻尼系数cij在工程上近似为式（6）：

式中：mij为绳段sij的质量，ρij为绳段线密度，ζ为绳索阻尼比，该参数取决于绳索的材料和编织方式，取值通常在0到1之间。

2Ʊ 4 绳段单元外力计算

太空环境中，绳段受万有引力作用，由于大气稀薄，气动力可忽略不计，而且由于空间飞网拉出展开过程较快，空间摄动等干扰可忽略不计。故绳段sij的外力为式（7）：

式中：μ为地球引力常数，rij为惯性系下绳段sij中心的位置矢量。

3 附加约束碰撞动力学模型

3Ʊ 1 碰撞检测

若要完成碰撞阶段的仿真计算，需要判断发生接触的位置，为此可利用向量进行点面距离的判断。本文重点在于绳网碰撞过程的仿真分析，为了节省检测在仿真过程中的时间消耗，对目标外形进行简化，将其考虑成刚性的球体。

如图3，假设绳索节点坐标（x，y，z），球心坐标为（x0，y0，z0），球体半径为R，绳网厚度很小，可以忽略不计。

检测点的碰撞侵入量为式（8）：

检测点与球体接触碰撞判据如式（9）：

当d＝0时，检测点与球体刚好发生接触，碰撞点即为检测点的位置，碰撞的法线方向为式（10）：

3Ʊ 2 碰撞初始条件确定

在碰撞初始时刻，飞网系统从无约束状态瞬间变为约束状态，运动状态发生突变，存在跳跃、不连续现象，从而产生违约，给数值计算带来困难。因此，在初始碰撞时刻需要使用一种方法实现从无碰撞过程到碰撞过程的运动转换，以实现运动的协调并得到约束碰撞模型的初始条件。

本文先利用冲量⁃动量法进行一次求解，飞网为柔性材料，故令恢复系数e＝0，即假定柔性飞网碰撞点与刚性目标平面发生非弹性碰撞。飞网碰撞点在目标平面上的法向速度突变为0，飞网碰撞点与目标接触面连结在一起，即碰撞点在碰撞面法向上的位移、速度和加速度始终为0。

用冲量⁃动量法确定柔性飞网碰撞初始条件的方程如式（11）：

3Ʊ 3 附加约束碰撞动力学方程

碰撞过程中，本文采用附加约束法［20，22］求解碰撞响应，即通过增加约束方程，对系统施加约束来求解碰撞力，方程如式（12）：

式中：M为广义质量矩阵，q为广义坐标矩阵，Φq为Jacobi矩阵，Q为广义力矩阵，λ为La⁃grange乘子矢量矩阵，即附加约束反力，γ为加速度约束方程的右项矢量。

已知飞网碰撞点在目标碰撞面法向上的位移始终为0，设ri为碰撞点i惯性系下的位置矢量，n为碰撞面法向单位向量，由此可得碰撞点i接触碰撞过程中的约束条件如式（13）：

根据碰撞约束条件可求得Lagrange乘子矢量矩阵，然后将计算出的λ代入到动力学方程中，可以求得碰撞点的加速度值，进而通过龙格⁃昆塔法积分得到碰撞点的位移和速度。

3Ʊ 4 系统动力学方程

空间环境下，节点i的动力学方程在N系下表示为式（14）：

为便于描述空间环境下的空间飞网拉出展开特性，建立空间飞网在拖船轨道系H1下的相对运动动力学方程。由于拖船运行于圆轨道，由C⁃W方程［18］，节点i在H1系下的相对运动方程为式（15）：

式中：［xi，yi，zi］T为节点i相对于拖船质心O1的位置矢量，ω＝为轨道系角速度，［Tix，Tiy，Tiz］T为Ti在H1系下的表示。

4 空间飞网捕获过程仿真

通过仿真研究飞网在空间环境下的捕获动力学特性，假设目标位于地球静止轨道，飞网系统位于目标速度方向。其中，飞网选取四边形的菱形网目形式［18］，边长为Lw＝40 m、飞网质量为mw＝2 kg、单个牵引质量块质量为ms＝1Ʊ 5 kg、发射速度为v＝15 m／s、发射张角α＝30°、为提高计算效率，网目尺寸为Lmesh＝3Ʊ 54 m、绳索采用Zylon AS纤维（抗拉强度σu＝5Ʊ 8 GPa，弹性模量E＝180 GPa，密度ρ＝1540 kg／m3），取阻尼比为ζ＝0Ʊ 5；目标体为半径R＝8 m的刚性光滑球体，质量为1000 kg，捕获距离为45 m，即目标体质心距离拖船质心45 m。

空间飞网捕获过程如图4所示，其中柱条为绳段张力大小，单位为N。0～4Ʊ 5 s为飞网的拉出展开过程，4Ʊ 5～7 s为飞网对目标体的碰撞包裹过程。由图中可以看出，飞网拉出展开过程中，飞网在质量块的牵引作用下呈“×”字凹形展开，展开面积不断增大。4Ʊ 5 s以后，飞网与目标体开始发生接触，与目标体接触绳段受到目标体约束，而未接触绳段继续被质量块牵引展开。而后，随着接触绳段越来越多，受约束绳段也越来越多，张紧的绳段反作用于质量块，使质量块发生收缩，从而牵引飞网对目标体进行包裹。

4Ʊ 1 空间飞网捕获过程位形分析

18，如式（16）、（17）定义展开面积S展开、收口面积S收口和飞行距离d作为飞网位形指标。其中，展开面积是飞网未碰撞目标体前的飞网面积，可用于描述飞网覆盖范围；收口面积是飞网与目标体接触碰撞后的飞网面积，可用于描述飞网对目标包裹的有效性；飞行距离可描述飞网捕获距离。

其中：S展开和S收口的定义方法相同，d1、d2、d3和d4分别为拖船到飞网四个角点的位置矢量，d13和d24分别为飞网两条对角线矢量，d＝d ，即飞行距离。

飞网展开／收口面积和飞行距离如图5和图6所示。0～4Ʊ 68 s为飞网展开阶段，展开面积在质量块的牵引下逐渐增大，在4Ʊ 68 s时达到最大1414Ʊ 7 m2，约为设计面积的88Ʊ 4%，远大于目标体的表面积4πR2＝803Ʊ 84 m2，说明飞网展开效果较好，且展开面积可有效对目标体进行包裹；4Ʊ 68 s后为飞网收口阶段，随着飞网与目标体的不断接触，产生约束力反作用于质量块，使质量块发生收缩，对目标体进行收口包裹，收口面积不断减小，7Ʊ 05 s时收口面积达到最小为74Ʊ 27 m2，远小于目标体的截面积πR2＝200Ʊ 96 m2，说明飞网收口效果较好，可有效防止目标逃离飞网。飞网飞行距离随时间不断增大，其中，飞网展开过程中，飞行速度较快；当飞网与目标体接触后，由于目标体的约束，飞行速度降低。值得一提的是，当飞网飞行值捕获距离45 m时，此时飞网展开面积为1329 m2，远大于目标体最大截面积200Ʊ 96 m2，这说明质量块未与目标体发生直接接触碰撞，可保证飞网对目标体进行有效包裹捕获。

4Ʊ 2 空间飞网捕获过程能量分析

空间飞网捕获过程的能量变化如图7、图8所示。由图可知，在飞网拉出展开阶段，质量块动能F不断减小，而飞网动能不断增大，弹性势能变化微小，此阶段质量块在牵引过程中将动能转化为绳网动能，而飞网各绳段多处于松弛状态，因此，弹性势能变化较小。飞网与目标体发生碰撞瞬间，飞网部分绳段受到目标体约束，从而间接作用于质量块，质量块动能迅速下降，而飞网绳段进入张紧状态，飞网弹性势能迅速增加。而后，质量块在张紧绳段的作用下发生收缩回弹，质量块动能又迅速变大，而绳段开始松弛，弹性势能迅速变小。飞网总机械能呈下降趋势，这是由飞网绳段阻尼耗能所致，值得一提的是，在飞网拉出展开的初始过程和发生碰撞的过程中，机械能下降相对较快，这是因为在飞网展开的初始过程中，质量块牵引速度相对较大，绳段松弛和张紧的转换过程较快，使得绳段耗能较快；而在发生碰撞过程中，附加的约束也使绳段进入迅速张紧和松弛的转换，从而导致快速耗能。

4Ʊ 3 空间飞网捕获过程碰撞力和绳段内力分析

空间飞网绳段与目标接触时会产生附加约束力，定义接触绳段附加约束力之和作为飞网与目标体的接触碰撞力Tac，如式（18）：

图9为碰撞力在三个坐标方向的分力，由图可知，碰撞力在y方向的分力较大，而在x和z方向上的分力相对较小，这是因为飞网整体沿着y方向运动，附加约束在y方向上约束作用更为显著，而由于未考虑飞网与目标体接触面的摩擦作用，因此x、z方向的分力相对较小。由的变化图可知，在飞网拉出展开阶段，飞网未与目标体发生接触碰撞，为0；当飞网与目标体发生接触时，飞网受到目标体飞行方向上的约束，开始由零迅速增大，而后，张紧绳段反作用于质量块，使质量块发生收缩回弹，张紧绳段迅速松弛，飞网在飞行方向上的约束效果减弱，迅速减小，并维持小幅度振荡变化。

同时，本文选取飞网角节点附近的相邻对角线绳段、边线绳段和内部绳段进行内力分析。如图10所示，绳段表现为不连续的间断应力，这是因为飞网捕获过程中，绳段经历了松弛和张紧的反复转换过程；同时，在碰撞过程中，对角线绳段内力远大于边线绳段和内部绳段内力，这是由于飞网呈“×”字展开，碰撞过程中，附加约束对角线绳段的约束作用更加明显。值得一提的是，飞网碰撞时，对角线绳段内力突然变大，这可以为飞网系统中的自适应收口装置［23］提供较为可靠的触发信号。

5 结论

本文基于向量式有限元离散方法和Kelvin⁃Voigt本构模型，首次引入附加约束方法对空间飞网对目标体的捕获碰撞过程进行了动力学建模和仿真，重点对飞网捕获碰撞过程的位形、能量变化、碰撞力和绳段张力进行了探索，结果表明：

1）空间飞网在质量块牵引下可有效地拉出展开，并在与目标体发生碰撞后，能够较好地对目标体进行包裹收口；

2）空间飞网的能量变化和碰撞力在与目标碰撞的瞬间有个突变的过程，且碰撞力在飞行方向的分力明显很大，说明附加约束在飞网飞行方向的约束效果较为显著；

3）空间飞网的对角线绳段张力在碰撞过程中变化明显，且峰值远大于相邻其它类型绳段，这可以为飞网设计提供一定借鉴，例如，可利用对角线绳段张力作为自适应收口装置的触发信号。

需指出，本文理论模型首次对空间飞网全柔性多体系统碰撞过程进行了定性分析，但本文模型精确性仍需试验等手段进行校正修改，因此本文仿真结果的定量分析存在局限和不足，需要进一步的验证和完善。

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（责任编辑：龙晋伟）

Contact Dynamics and Simulation of Space Net based on Appending Constraint Method

ZHEN Ming，YANG Leping，ZHANG Qingbin
（College of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）

Aiming at the contact problem in target capturing by space net，the Vector Form Intrinsic Finite Element Method，the“Kelvin⁃Voigt”viscoelastic constitution relation and the appending con⁃straint method were adopted to establish the contact dynamic model of the space net．The simulations were conducted to analyze the net shape，the energy variation，the impact force and the tether ten⁃sion during the contacted process．The results showed that the net shape，the energy and the diago⁃nal tether tension varied significantly during the impact contact process which may offer some refer⁃ence for the design of the space net system．

space net；contact process；appending constraint method；dynamic model

V412Ʊ 4

A

1674⁃5825（2017）04⁃0498⁃08

2017⁃02⁃28；

2017⁃06⁃25

甄明，男，博士研究生，研究方向为空间安全。E⁃mail：zhenming1989118＠hotmail．com