基于半解析法的钢丝绳股多态接触性能研究

周美娟，马志飞，孟凡明∗，陈原培

基于半解析法的钢丝绳股多态接触性能研究

周美娟1，马志飞2，3，孟凡明1∗，陈原培1

（1．重庆大学机械传动国家重点实验室，重庆400044；2．上海宇航系统工程研究所，上海201109；3．上海市空间飞行器机构重点实验室，上海201109）

针对钢丝绳在服役过程中因丝间接触导致的失效问题，基于半解析法、弹性接触理论和曲杆理论，研究了轴向拉伸、扭转载荷作用下的钢丝绳股丝间多态接触性能。建立了能反映绳股接触状态随载荷演变规律的丝间接触模型及绳股力学模型，并采用共轭梯度法及快速傅里叶变换进行求解，验证了模型有效性。结果表明：在一定轴向拉伸与扭转载荷作用下，部分绳股处于多态接触状态。随着拉伸载荷的增加，芯丝⁃侧丝趋于接近而相邻侧丝趋于分离，接触状态的变化使小捻角绳股刚度趋于减小而使大捻角绳股刚度趋于增大。随着扭转载荷的增大，使相邻侧丝趋于接近而使芯丝⁃侧丝趋于分离，接触状态的变化使小捻角绳股刚度增大，大捻角时刚度先增大后减小。

钢丝绳股；多态接触性能；半解析法；捻角；刚度

1 引言

截至目前，学者们对钢丝绳的力学性能进行了大量的理论研究，早期模型大多基于线弹性假设进行。例如，Argatov［1］采用一种渐近方法，对钢丝绳丝间接触行为的研究表明：减小钢丝绳的捻角有助于减小钢丝绳的局部接触变形。Ghore⁃ishi等［2］的研究结果表明：增大绳股捻角，其扭转刚度也相应增大。根据Betti互易定理，表征钢丝绳轴向拉伸、扭转应变与其所受载荷关系的刚度矩阵应满足对称性［3］。Kumar和Botsis［4］基于Hertz理论，计算了具有金属股芯的钢丝绳在拉伸和扭转载荷下所产生的最大接触应力，并发现钢丝弹性模量对接触应力影响显著。Gnanavel等［5］基于钢丝绳股受力平衡方程和Hertz弹性接触理论，对钢丝绳股的固定接触状态（即侧丝同时与芯丝及侧丝接触）性能的研究表明：钢丝绳股的刚度受丝间接触状态的影响。此外，亦有其他学者［6⁃9］采用有限元方法（FEM），考虑丝间接触及钢丝材料弹塑性等非线性因素，对钢丝绳进行了仿真分析，指出钢丝绳横向载荷下的丝间应力分布不均匀，丝间接触对钢丝绳的塑性变形影响显著。但有限元仿真对计算机性能有较高的要求，且对于丝间接触等非线性问题，其求解亦可能不收敛。

然而上述研究均在固定接触状态下进行的。实际工况下，随着钢丝绳所受载荷的逐步增大，其钢丝的螺旋角、径向收缩和接触变形等参数均随之变化，进而载荷变化将对其丝间接触状态有影响。

综上可知，外载荷对钢丝绳丝间接触状态研究主要有两大难点。首先是丝间接触行为的精确求解。对于接触问题，多采用共轭梯度法（CGM）和快速傅里叶变换（FFT），实现接触体接触压力和接触变形的同步求解，CGM和FFT因其快速精确的优点，在点接触、直线接触、表面接触等情况的接触求解问题中均有所应用［10⁃11］。对于钢丝绳，其接触线为螺旋线，然而目前尚未发现上述方法在螺旋接触问题中的应用。第二个难点在于逐步加载过程中对钢丝绳丝间多态接触性能的准确分析。针对过去单一接触状态下的钢丝绳接触研究，有必要研究不同的丝间接触状态下的钢丝绳接触行为。

针对上述问题，本文从钢丝绳股在动载荷作用下的接触问题切入，提出一种基于半解析法的钢丝绳股多态接触求解模型，以实现钢丝绳的接触行为在载荷变化过程中的多态接触性能分析。

2 多态接触模型

2Ʊ 1 侧丝轴向应变及螺旋角

根据Costello理论［12］，建立钢丝绳股（图1），简单直股由1根直芯丝和6根螺旋缠绕其上的侧丝构成，R1和R2分别为芯丝与侧丝半径，rh2为初始侧丝螺旋半径。

假设lp和ୱlp分别为加载前后的绳股捻距，ls和ୱls分别为加载前后的侧丝轴线长度，α2和α－2分别为加载前后的侧丝螺旋角，l和ୱl分别为加载前后侧丝轴线在芯丝轴线上的投影弧长。因而绳股侧丝在轴向载荷作用下的总拉伸应变εt和扭转应变τt可表示为式（1）、（2）：

式中：Δφ为绳股两端围绕绳股轴线的相对转动角度。

轴向载荷下的芯丝、侧丝轴向拉伸应变可分别表示为式（3）、（4）：

考虑泊松比效应和接触变形引起的扁平效应，并假设芯丝、侧丝材料的力学性能相同，即二者接触变形相同，其中A＝ୱrh2／rh2，B＝cotα2＋rh2τt。则轴向载荷下的侧丝轴线的螺旋半径ୱrh2为式（5）：

可见泊松比效应和接触变形对侧丝轴向拉伸应变及螺旋角均有影响。变形前的侧丝轴线螺旋半径由初始接触状态而定。

2Ʊ 2 侧丝轴线曲率、挠率变化量

考虑接触变形对侧丝螺旋角及螺旋半径的影响，曲率和挠率的变化量可表示为式（7）～（9）：

式中：κ2和κ′2分别为变形前侧丝轴线上任一点处主、副法向的曲率，τ2为该点处的挠率。上述变量变形后的值分别为κ－2，κ－′2和τ－

2。

2Ʊ 3 侧丝受力平衡方程

根据Love的曲杆理论［13］，沿侧丝轴线方向（如图2所示）取微弧长段ds进行受力分析。

在外载荷作用下，绳股侧丝受力平衡方程组可表示为式（10）、（11）：

式中：N′为侧丝截面处所受的沿y方向的剪切力，T为侧丝截面所受的沿z方向的拉力，G′为截面处所受的关于y轴的弯矩，H为截面扭矩，X为单位长度侧丝轴线所受的沿侧丝主法向的线载荷。

2Ʊ 4 丝间接触模型

本研究仅针对股芯为钢丝的绳股，由于芯丝⁃侧丝及侧丝⁃侧丝的接触状态决定了丝间接触载荷的分配情况，因而应根据接触情况而定。

由于侧丝与芯丝间实际接触区域沿接触线方向的尺寸远大于接触区宽度方向，故可沿接触线方向取无穷小长度ds0的芯丝、侧丝段进行研究，接触线法向轴上任意点（yc，zc）的接触间隙hc为式（12）：

式中：hi为接触变形前的芯丝⁃侧丝初始间隙，u为芯丝和侧丝总弹性变形，ur为芯丝与侧丝的相对刚体位移。此外，侧丝⁃侧丝间的接触间隙与芯丝⁃侧丝间隙类似，只需替换相应的曲率半径。

如前所述，由于所取的钢丝段长度ds0为无穷小，可认为芯丝⁃侧丝和侧丝⁃侧丝实际接触区域为矩形，令p（yc，zc）为点（yc，zc）处的接触压力，则有载荷平衡方程式（13）：

在接触区，满足条件式（14）：

式中：Ac为接触区域，非接触区则满足式（15）：

式（13）～（15）为丝间接触求解模型，其中变形可利用格林函数和接触压力求得，由于接触压力、弹性变形和接触间隙间存在相互影响关系，可见该模型是耦合的。

由于钢丝间接触属于非协调性接触，接触压力引起的弹性变形可采用式（16）计算：

式中S＝Gp(yc－y′c，zc－z′c)p(y′c，z′c)，Gp(yc，zc)为接触压力对表面弹性变形的格林函数。

3 接触模型求解

对上述所建立的考虑泊松比效应及接触因素的钢丝绳股数学模型，由于绳股丝间接触状态决定了其载荷的分配，因而该模型求解的难点在于加载后绳股丝间接触状态的确定。对此，本文提出一种绳股多态接触求解算法，以实现动态加载过程中钢丝绳股丝间实时接触状态的准确判定与求解。具体求解步骤如图3所示：

芯丝⁃侧丝接触及侧丝⁃侧丝接触行为的准确计算是上述数值求解流程的关键。由于接触压力、弹性变形和接触间隙间存在相互影响，因而各变量间呈相互影响的关系。对此，可采用共轭梯度法（CGM）的迭代方法进行求解，计算出接触压力和接触变形。本文首先利用半解析方法（SAM）实现快速变形的快速计算，即首先计算得到接触压力对弹性变形的影响系数，进而采用基于快速傅里叶变换（FFT）的混合算法实现变形的快速计算。弹性变形计算公式为式（17）：

式中：运算符“＾＾”表示二维离散傅里叶变换（DFT），其逆变换则用“IDFT”表示，I1为接触压力对钢丝弹性变形的影响系数，满足式（18）：

式中：格林函数Gpu积分的解析表达式已由Love推导出［14］。

4 接触模型验证

多态接触状态下，本模型求解结果与Jiang等［15］的有限元（FEM）结果比较如图4（a）所示。为分析侧丝－侧丝接触对绳股性能的影响，图中给出了仅考虑芯丝⁃侧丝接触以及采用Costello理论［12］计算所得结果（如图4（b）所示）。结果表明，若仅考虑芯丝⁃侧丝接触，接触压力和螺旋半径变化量的绝对值均大于多态接触模型的结果，这是因为实际存在的侧丝⁃侧丝接触具有减小芯丝⁃侧丝接触的作用，进而使丝间载荷分配更加均匀。由于Costello理论未考虑丝间接触变形，其计算所得螺旋半径变化量的绝对值小于其他所有结果。此外，多态接触模型计算所得的绳股芯丝⁃侧丝、侧丝⁃侧丝最大接触压力以及侧丝轴线螺旋半径变化量均与FEM结果很好地吻合，可见本模型能够对绳股丝间接触行为进行精确求解。

5 结果与讨论

5Ʊ 1 轴向拉伸载荷下的接触性能

基于所建立的钢丝绳股多态接触模型，研究绳股在动态拉伸中接触特性的演变过程。图5给出了捻角β分别为13°、15°和17°的绳股接触压力和接触变形随拉伸应变εt的变化曲线，其中下标“cw”和“ww”分别表示芯丝⁃侧丝接触（core⁃wire contact）和侧丝⁃侧丝接触（wire⁃wire con⁃tact）。由图可知，捻角对绳股接触性能变化规律有着重要影响。捻角为13°的绳股仅发生芯丝⁃侧丝接触（δww＝0），而其余绳股的接触状态由起始的侧丝⁃侧丝接触变为加载后的多态接触（multi⁃contact）即δww＞0且δcw＞0。此外，对比捻角15°和17°时的结果还可看出，捻角为15°的绳股先发生接触状态的转变，且转变为多态接触状态后，绳股中芯丝⁃侧丝接触占主导地位（δcw＞δww）；而捻角为17°的绳股则以侧丝⁃侧丝接触更为显著（δww＞δcw），其容易发生失效的位置亦与捻角为15°绳股有所不同。

由图6（a）可知，钢丝绳股拉伸刚度ୱkεε随绳股捻角β增大而减小；此外，20°绳股的ୱkεε随εt增大而基本保持稳定，捻角小于20°的绳股结果呈略微减小趋势，而大于20°的绳股结果则略微增大。图6（b）表明，绳股的ୱkθε随捻角的增大而先增大后减小，25°绳股的结果最大；拉伸应变对不同捻角绳股ୱkθε的影响亦有所不同，随着拉伸应变的增大，小捻角（β＝5°～25°）绳股的ୱkθε逐渐减小，而大捻角（β＝30°～40°）绳股的ୱkθε逐渐增大。由此可见，拉伸过程中，绳股刚度值并非恒定不变，还应充分考虑拉伸应变对绳股刚度的影响。

5Ʊ 2 轴向扭转载荷下的接触性能

图7表示在扭转载荷下绳股的接触特性，由图可知，接触压力和接触变形随扭转应变的变化规律相似。随着扭转的进行，捻角为13°的绳股接触状态由芯丝⁃侧丝接触转变为多态接触，而17°绳股则一直处于侧丝⁃侧丝接触状态。

图8 给出了该绳股接触状态对接触压力的影响。由图可知，扭转过程中，绳股经历了三种接触状态：加载初期仅发生芯丝⁃侧丝接触，各接触性能参数均随扭转应变τt增大而增大；当τt达到1Ʊ 8 rad／m时，其相邻侧丝间亦发生接触（σww＞0），即处于多态接触状态，此时绳股仍以芯丝⁃侧丝接触占主导；随着τt的继续增大，绳股侧丝⁃侧丝接触逐渐超过芯丝⁃侧丝接触，当τt增大至6Ʊ 4 rad／m时，芯丝与侧丝分离（σcw＝0），进而绳股转变为侧丝⁃侧丝接触状态，随后侧丝⁃侧丝接触性能参数继续随τt增大而增大。

与拉伸工况计算类似，钢丝绳股在扭转加载过程中的瞬时扭转刚度和耦合刚度为ୱkθθ和ୱkεθ，刚度随扭转应变τt的变化情况如图9所示。ୱkθθ和ୱkεθ均随捻角的增大而先增大后减小，可见存在使绳股抗扭性能最佳的临界捻角。此外，不同捻角绳股在扭转中的刚度值变化规律不同：随着τt的增大，小捻角（β＝5°～25°）的ୱkθθ及捻角不大于20°时的ୱkεθ均持续增大，而大于上述捻角时的ୱkθθ和ୱkεθ则呈现出先增大后减小的趋势，进而绳股的抗扭转性能有所下降。因此，对承受扭转载荷的大捻角（β＝30°～40°）钢丝绳股的选用时，应当考虑其受载后的刚度衰减（约1%）情况，避免大载荷时出现刚度不足的危险。

6 结论

1）提出的半解析法能够用于丝间多种状态接触性能的分析，同时其有效性被验证。

2）在较大拉伸载荷下，小捻角绳股以芯丝⁃侧丝接触为主，大捻角绳股则以侧丝⁃侧丝接触为主；具有某些捻角的绳股在一定载荷下处于多态接触状态。

3）根据钢丝绳股变形特点，拉伸载荷使芯丝⁃侧丝趋于接近而使侧丝⁃侧丝趋于分离；在拉伸及扭转载荷作用下，绳股刚度与捻角大小密切相关。

4）本文钢丝绳股多态接触性能与绳股力学性能的多态求解过程及结果，可为动载荷下的钢丝绳的设计与选用提供有益参考。

（References）

［1］ Argatov I．Response of a wire rope strand to axial and torsion⁃al loads：Asymptotic modeling of the effect of interwire contact deformations［J］．International Journal of Solids and Struc⁃tures，2011，48（10）：1413⁃1423．

［2］ Ghoreishi S R，Messager T，Cartraud P，et al．Validity and limitations of linear analytical models for steel wire strands un⁃der axial loading，using a 3D FE model［J］．International Journal of Mechanical Sciences，2007，49（11）：1251⁃1261．［3］ Samras R K，Skop R A，Milburn D A．An analysis of coupled extensional⁃torsional oscillations in wire rope［J］．Journal of Engineering for Industry 1974，96（4）：1130⁃1135．

［4］ Kumar K，Botsis J．Contact stresses in multilayered strands under tension and torsion［J］．Journal of Applied Mechanics，2001，68（3）：432⁃440．

［5］ Gnanavel B K，Gopinath D，Parthasarathy N S．Effect of fric⁃tion on coupled contact in a twisted wire cable［J］．Journal of Applied Mechanics⁃Transactions of the ASME，2010，77（2）：293⁃298．

［6］ Yu Y J，Chen Z H，Liu H B，et al．Finite element study of behavior and interface force conditions of seven⁃wire strand under axial and lateral loading［J］．Construction and Building Materials，2014，66：10⁃18．

［7］ Chen Y P，Meng F M，Gong X S．Parametric modeling and comparative finite element analysis of spiral triangular strand and simple straight strand［J］．Advances in Engineering Soft⁃ware，2015，90：63⁃75．

［8］ Fontanari V，Benedetti M，Monelli B D．Elastoplastic behav⁃ior of a Warrington⁃Seale rope：Experimental analysis and fi⁃nite element modeling［J］．Engineering Structures，2015，82：113⁃120．

［9］ Stanova E，Fedorko G，Kmet S，et al．Finite element analysis of spiral strands with different shapes subjected to axial loads［J］．Advances in Engineering Software，2015，83：45⁃58．

［10］ Meng F M．Effect of the cut⁃off frequency on rough⁃point and flat⁃surface contacts［J］．Journal of Mechanical Science and Technology，2012，26（9）：2889⁃2901．

［11］ Meng F M，Chen Y P．Analysis of elasto⁃hydrodynamic lubri⁃cation of journal bearing based on different numerical methods［J］．Industrial Lubrication and Tribology，2015，67（5）：486⁃497．

［12］ Costello G A．Theory of Wire Rope［M］．New York：Spring⁃er，1997：11⁃24．

［13］ Love A E．The stress produced in a semi⁃infinite solid by pressure on part of the boundary［J］．Philosophical Transac⁃tions of the Royal Society A：Mathematical，Physical and En⁃gineering Sciences，1929，228：377⁃420．

［14］ Love A E．A treatise on the mathematical theory of elasticity［M］．New York：Dover Publications，1944．

［15］ Jiang W G，Warby M K，J．Henshall L．Statically indetermi⁃nate contacts in axially loaded wire strand［J］．European Journal of Mechanics A／Solids，2008，27（1）：69⁃78．

（责任编辑：龙晋伟）

Study on Multi⁃contact Performances of Steel Wire Rope Strand Based on Semi⁃analytical Method

ZHOU Meijuan1，MA Zhifei2，3，MENG Fanming1∗，CHEN Yuanpei1
（1．The State Key Laboratory of Mechanical Transmission，Chongqing University，Chongqing 400044，China；2．Aerospace System Engineering Shanghai，Shanghai 201109，China；3．Shanghai Key Laboratory of Spacecraft Mechanism，Shanghai 201109，China）

For the failure problem of steel wire ropes caused by inter⁃wire contact in the service process，an inter⁃wire multi⁃contact model considering different contact statuses was established based on associated theories and was further solved with the semi⁃analytical method．Meanwhile，its validity was demonstrated．For the method，the conjugate gradient method and the Fast Fourier transform were employed to solve the contact pressure and the deformation，respectively．The results showed that the multi⁃contact status happened for ropes subjected to axial tensile and torsion loads．As the tensile load increased，the central and outer wires approached to each other and the outer wires separated from each other，in which case the stiffness at a small lay angle decreased，while the stiffness at the large angle increased．With the increase of the torsional load，the outer wires ap⁃proached to each other and the central and outer wires separated from each other，in which case the stiffness at a small lay angle increased，while the stiffness at the large angle increased first and then decayed．

steel wire rope strand；multi contact performances；semi analytical method；lay angle；stiffness

TH123；TD532

A

1674⁃5825（2017）04⁃0522⁃07

2016⁃12⁃04；

2017⁃06⁃29

重庆大学中央高校基本科研业务费重大项目基金（106112016CDJZR288805）；上海市空间飞行器机构重点实验室开放课题（SM2014D102）

周美娟，女，博士研究生，研究方向为钢丝绳及摩擦学。E⁃mail：hx＿zhoumeijuan＠163．com

∗通讯作者：孟凡明，男，教授，研究方向为钢丝绳、内燃机动力学及摩擦学等。E⁃mail：fmmeng＠cqu．edu．cn