例谈数学教学中学生“直观想象”能力的培养

邬烈荣++毛敏君

摘 要：直观想象无论哪种表现形式，都离不开“图形”这一载体，而作图、识图能力的提高需要教师结合具体教学内容精心设计、引导.可以通过设置直觉想象的意境和动机诱导，把主动权交给学生，将学生的思维放飞，去探索发现.

关键词：直观想象；章头图；新思维、

直观是指通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识.想象是指人在头脑里对已储存的表象进行加工改造形成新形象的心理过程.因此，所谓“直观想象”是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.直观想象在数学教学中主要表现形式有：首先利用图形描述数学问题和构建数学问题的直观模型；其次利用图形理解数学问题；最后利用图形探索和解决数学问题等.由此可见直观想象无论哪种表现形式，都离不开“图形”这一载体，而学生作图、识图能力的提高，需要教师根据教学内容认真编排和精心设计在教学过程中逐渐培育的.下面就谈谈如何培育学生直观想象核心素养的一些做法，愿与大家分享.

一、剖析章头图

数学教材的每一章开始都配有章头图，对本章内容起到导入作用.教师应对此引起足够重视[1]，引导学生通过章头图的意境去感悟“为什么学本章”，并對章头图进行挖掘与延伸，指导学生去探索“本章将学习什么”以及“怎么学本章”，明确本章的学习目标与学习方法，为本章的学习做好铺垫工作.这样，知识内容与现实生活一开始便有了直观联系，既有助于学生知识体系的形成，同时也能丰富学生的直观想象能力.

如人教版数学必修4第一章的章头图如下：

图1中所展示的是“月相”和“简谐运动”的场景，可以让学生直观感受循环往复、周而复始的自然现象，这正是本章要学习的“周期性”.我们可以引导学生在实际生活中再寻找一些有关“周期性”的事物，如“摩天轮”“潮汐变化”等，让这些现实的直观激励起学生学习本章的兴趣和激情，架起直观想象的思维.同时利用好此图引导学生进行一个学习的预期：如何刻画周期性的变化规律？指导学生对知识点进行预铺：用怎样的函数刻画？该函数有哪些性质？该函数能发挥哪些作用？从而形成一张知识网络，再逐一探究，使学生感受到学习内容不光是数学知识本身，更是来源于现实生活的直观展示.

二、驾驭直观图形

数学语言包括文字、符号和图形三大语言，很多时候学生的思维断档缘于题设中的文字、符号语言到相应的图形语言的通道并不清晰.这便需要教师选择几何背景丰富的知识点（如函数、向量等）为例，让学生体会用图形描述、理解、解决数学问题的过程，感悟直观图形的必要性和重要性，并进行经验的积累，潜移默化中提升直观想象能力.

如（2016，全国卷2，12）已知函数满足，若函数与图象的交点为，则（ ）

教师不妨引导学生构建一个直观模型如一次函数，借助该函数的直观性来解决此题.

由图可知，交点有2个，即，且，故选.

对抽象事物性质的探究，一直以来让学生感到不知所措，如果教师能引导学生学会主动寻找对应的具体事例，使自己的思维得到该具体事例的支撑，将“一般”的抽象通过“具体”的直观模型巧解题目，如此，不仅让抽象不再抽象，同时也能让学生更直观地理解抽象性质的本质：函数关于点（0，1）对称，从而想象出个交点分对，每对横坐标之和为0，纵坐标之和为2，即所求答案为.

又如（2016，浙江卷文，15）：已知平面向量a，b，，，若e为平面单位向量，则的最大值是_________.

向量是联系代数和几何的桥梁，代数偏坐标法的运算，几何偏作图识图能力.在此题的解法上，很多学生都会首选坐标法，其中一种做法如下：

如图建系，设

，

，

此处的范围，便可借助直线与圆的位置关系直观求解， 不妨令，，

，经检验等号可取，

的最大值为.

坐标法虽是用代数方法解决数学问题，但代数和几何本就是“同根生”的关系，且不说本题借助直线与圆的位置关系直观求解，即便是建系和设点，也都离不开图形的支持，它也是用图形来描述和理解问题的手段.对坐标法解题我们表示肯定，但向量的几何背景也提醒着教师从“形”的角度来引导学生理解向量，培养作图识图的思维习惯，提升直观想象能力.此题从“形”角度解题如下：

图4

若与同号，

，

由图可知取等时与同号， 的最大值为；

若与异号或其中之一为0时，

，取等号时，综上，的最大值为.

向量的题型出题时多用符号、文字进行描述，反过来，不妨引导学生对图形进行再探究，用图形的变化对试题进行反思创新，又何尝不可呢？如上述图中，点位置会随点位置的改变而改变，原题是已知点求点，不妨改编为已知点求点，即已知的最大值求的最值，此题便是2016年浙江高考数学理科试卷第15题的出题方向，所以只要抓住了向量的图形属性，借助图形语言识图、辨图，无论题目如何改变，我相信通过长期的有效经验的积累，学生能逐渐理解“万变不离其宗”的规律.

三、促生新思维生成

直觉思维，是指对一个问题未经逐步分析，仅依据内因的感知迅速地对问题答案作出判断、猜想和设想.著名数学家徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的.”数学直觉完全可以通过有意识的训练和培养来提高.

如：垂径定理的逆定理：是圆的一条弦（非直径），且是中点，则OMAB即.

在椭圆中是否有类似结论呢？于是通过图形变化以及数据验证促生出椭圆的一个性质：不过原点的直线与椭圆，

相交于两点，是的中点，则.

椭圆作为圆锥曲线其中一员，在双曲线与抛物线中是否也具有这样的结论呢？我们再次通过数据验证促生出双曲线的一个性质：不过原点的直线与双曲线相交于两点，是的中点，则.（与椭圆的结论高度统一）

同时也促生抛物线的一个性质：不过原点的直线与抛物线相交于两点，是的中点，则（其中是中点的横坐标）.

像这样，仅仅依据椭圆与圆的直觉联系，便可将两种不同事物融汇成一种内在相同的本质与规律，这种跳跃式思维虽然具有不可靠性，但却能帮助学生作出创造性预见，在创造活动中有着非常积极的作用.

如：（2015年温州市高三第一次适应性测试）已知椭圆经过点，且离心率等于.点分别为椭圆的左右顶点，是椭圆上不同于顶点的两点，且的面积等于.

（ⅰ）求椭圆的方程.（略）

（ⅱ）过点作交椭圆于点，求证：.

学生对“”的等价代数条件“”的验证手段并不明确，教师不妨引导学生在椭圆题型中遇到“疑难杂症”时，利用椭圆与圆的仿射变化，将椭圆问题“回归”到圆的角度中来.通过圆的一个性质：直径所对的圆周角是直角，即，促生出椭圆的一个性质：

经过椭圆中心的任意一条弦的两端与椭圆上任一点的连线的斜率乘积为.于本题而言，意味着，故只需验证是否成立即可.让学生体会“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的直觉感受，同时为本题提供了另一种崭新的思维方式.

总之，德国教育家第斯多惠曾说过：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞.”因此，教师在有意识地培育学生“直观想象”的核心素养中，不妨通过设置直觉想象的意境和动机诱导，把主动权交给学生，对学生的大胆设想予以肯定，对其合理成分进行鼓励，激发学生自发性直觉思维去发现问题、提出问题、分析问题和解决问题.从而在解决问题时插上“直观想象”的翅膀，让思维放飞.

参考文献：

[1]任伟芳.为培育核心素养凸显概念教学过程而设计——对“空间几何体的结构”一课的点评[J].中学数学教学参考（上旬），2016（11）：16-17.