全等三角形单元教学设计研究

豆媛媛

摘 要：全等三角形是中学几何中的重要知识，在数学几何学习中有着承上启下的作用。本文从两个三角形的关系出发，旨在研究两个三角形全等关系，着重学习全等三角形的概念和性质以及判定定理，学会灵活运用知识解决实际问题。

关键词：全等三角形 对应边 对应角

引言

基于数学知识自身的发展需要，从两个三角形的关系出发，考虑形状和大小两个维度因素，把两个三角形的关系分为四种，本文旨在研究其中一种，即形状和大小都相同的两个三角形，也就是全等三角形。首先，认识全等三角形，体会边角的对应关系；其次，师生共同探究判定三角形全等的条件，理解判断三角形全等的内在机理；再次，用符号和文字语言表示全等三角形的判定定理；最后，能够根据具体情况选择判定定理，进而灵活运用全等三角形的性质定理和判定定理解决实际问题。[1]

一、 课时内容安排及教学目标整体设计

两个三角形的关系有表1几种情况：

两个三角形形状和大小都相同，即全等；（2）两个三角形大小相同、形状不同，即面积相等，等面积三角形在小学已经学过；（3）两个三角形大小不同、形状相同，即相似，相似三角形将在后续学习中进行研究；（4）两个三角形形状和大小都不同，不作研究。

本节课旨在研究全等三角形，主要包括全等三角形的概念与性质的学习，以及全等三角形判定的探究。我们对整个教学单元进行如下的设计，见表2。

学生在学习这个单元知识时，主要困难在于：一是寻找全等三角形的边角对应关系比较难；二是学生对于全等三角形的判定定理的来龙去脉不是十分清楚；三是灵活运用性质定理和判定定理解决问题也有困难。为了积极地引导学生、帮助学生，教师在教学中应该注意：

第一，为了使学生能够对两个三角形在形状和大小两个方面的各种关系有一个整体的认识和把握，教学就不能只是局限在学生对三角形全等关系的概念记忆，而是先帮助学生整体认识两个三角形的各种关系，建立起两个三角形关系的上位概念。然后在上位概念的基础上，学习和理解三角形全等关系的下位概念，并发现全等三角形的对应关系及其性质。

第二，由于教材将全等三角形的四个定理分节来进行教学，每节课配以相应的巩固练习，这样的安排的好处是学生对于当天学习的定理记忆和掌握得比较好，但是当四个判定定理综合以后学生在解决问题时往往会出现一头雾水的混乱现象，不知道到底应该用哪个判定定理。因此，我们要将教材进行重组，引导学生主动探索和整体感悟全等三角形的判定定理的形成过程。

这样的教学目标设计，更多地关注学生的学习，关注学生的学习过程。在教学过程中，不断渗透数学思想和方法，使得学生学会研究问题的方法，培养学生数学的思维；不断调动学生的主动性和积极性，促使学习真正发生，保障教学活动高效进行、学生健康全面发展。[2]

二、教学过程设计

第一课时

[课堂引入]

教师活动：回顾三角形，引导学生从形状和大小两个方面分析两个三角形的关系。

学生活动：讨论交流，总结归纳，表达三角形的四种关系。

设计意图：学生在讨论交流中体会二元分类法，在教师引导下逐渐形成分类讨论的思想。

教师活动：导入课堂，引出本节课的学习内容——全等三角形（形状和大小都相同的两个三角形）。

[发现新知]

教师活动：给出几组图形，让学生判断是否全等。

学生活动：依据定义判断全等三角形，体会全等三角形的定义。

教师活动：引导学生找全等三角形的特点，提示：从三角形的元素入手，例如边、角，还可以从三角形的其他要素入手，如中位线、高线、周长、面积等等。

学生活动：动手操作，将同桌两人的等腰直角三角板重合，找其特点；在作两个任意的全等三角形，验证结论。

教师活动：组织交流，总结全等三角形的性质。

设计意图：教师引导，学生主动发现，有助于理解知识。

[探索应用]

教师活动：提出全等三角形的表示方法，强调全等三角形的对应关系。

教师活动：给出三角形动态变化的图，如平移、旋转、翻转，让学生找对应边、对应角；接着，给出其他一些复杂图形，让学生找对应关系。

学生活动：学生找对应关系，形成自己的经验，互相交流经验。

设计意图：教师在学生的认知水平上，逐步设计活动，使得学生参与其中，根据自己的经验学会找全等三角形的对应关系，再在班里互相交流，豐富自己的经验，突破找全等三角形对应关系这一难点。

学生活动：在随堂练习中，找对应关系，用符号语言表示全等三角形，说出全等三角形的性质。

[总结归纳]

学生活动：梳理本节课的学习过程，总结重点。

教师活动：总结归纳，补充说明。

第二课时

[复习旧知、引入新课]

教师、学生活动：复习上节课的内容。

教师活动：给出一个三角形，让同学做一个与它全等的三角形。首先思考：至少需要几个条件？一个？两个？三个？……

学生活动：一个条件？一个角还是一个边？动手操作，看看小组内同伴的三角形都是全等的吗？实践证明都不行。

设计意图：学生动手实践，体会全等的定义。通过动手，调动学生的学习积极性，使得每一位学生参与进来。在教学过程中，渗透用反例证明结论不成立的思想。

学生活动：两个条件？那几种情况？分别在每种情况下，作三角形，再在组内进行比较，看看三角形是否全等，实践证明已知两个条件作出的三角形也不一定全等。

教师活动：如果已知三个条件，都有哪些情况？

学生活动：纷纷说出自己的想法。endprint

教师活动：总结三个条件的几种情形，渗透分类的方法。

[主动探索、获得新知]

情形一：三条边

教师活动：已知一个三角形的三条边，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？

学生活动：利用尺规作图（作一条线段等于已知线段），作出满足条件的三角形，然后，用剪刀把你所作的三角形剪下来，和同伴的进行比较，看看这两个三角形是否完全重合（全等）。

学情预设：已知三条边，我们所作的三角形一定会重合（全等），即三条边对应相等的两个三角形一定全等。

情形二：三个角

教师活动：已知一个三角形的三个角，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？

学生活动：作图并与同伴进行比较，看这两个三角形是否完全重合（全等）。

学情预设：已知三个角，我们所作的三角形不一定全等，即三个角对应相等的两个三角形不一定全等。

情形三：一边两角

如果“一边两角”中的边是两角所夹的边。

教师活动：已知一个三角形的两个内角及它们所夹的边，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？

学生活动：作图并与同伴进行比较，看这两个三角形是否完全重合（全等）。

学情预设：已知两角及两角所夹的边，我们所作的三角形一定全等，即两角及其夹边分别相等的两个三角形一定全等。

如果“一边两角”中的边是其中一角的对边，情况会怎么样呢？

教师引导启发：你能将这个问题转化为上述问题吗？

学情预设：已知两角及其中一角的对边，根据三角形内角和定理知，三角形的三个角都相等，转化为已知两角及两角所夹的边的问题，由上述结论可知，这两个三角形一定全等。

情形四：两边一角

如果“两边一角”中的角是两边的夹角。

教师活动：已知一个三角形的两条边及其它们所夹的角，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？

学生活动：作图并与同伴进行比较，看这两个三角形是否完全重合（全等）。

学情预设：已知两边及两边所夹的角，我们所作的三角形一定全等，即两边及其夹角分别相等的两个三角形一定全等。

如果“两边一角”中的角是其中一边的对角。

教师活动：已知一个三角形的两条边及其中一边所对的角，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？

学生活动：作图并与同伴进行比较，看这两个三角形是否完全重合（全等）。

学情预设：已知两边及其中一边的对角，我们所作的三角形不一定全等，即两边分别相等且其中一边的对角相等时，两个三角形不一定全等。

设计意图：教师引导学生动手操作，在动手的过程中深刻理解全等的概念，体会分类讨论以及化归转化的思想。在小组合作探究的过程中，培养学生的动手实践能力，提高学生协作探究解决问题的能力，使得学生在主动探索中得到三角形全等的条件，经历探索的过程，体验学习的快乐。

第三课时

[复习总结]

全等三角形判定条件的探索过程：

一个条件（×）

两个条件（×）

三个条件

三条边（）

三个角（×）

一边两角

两角及其夹边（）

两角及其一角的对边（）

两边一角

两边及其夹角（）

两边及其一边的对角（×）

[整体认知、升华理解]

教师活动：让学生总结归纳全等三角形的判定条件，并且用语言文字及符号语言表达这些定理。

学生活动：总结归纳，试着用文字和符号表达。

教师活动：板书总结。

教师活动：组织学生共同反思本节课的教学内容和思想方法，小组之间相互补充完成课堂小结，实现对探究三角形全等的条件的深化。

教师引导作最终总结：

1.分类讨论的思想方法，化归的思想；

2.在动手操作中体会全等的概念，掌握三角形全等的判定条件；

3.从全等的定义出发，理解三角形全等的条件。

全等的定义是可以完全重合，也就是说符合全等条件的两个三角形，一定是“同一个”的。站在这个思想上来看，三角形全等的证明可以看成是，分析题目所给条件能否完全的、唯一的确定一个三角形，如果是，即证明全等。

第四课时

学生活动：回忆全等三角形的探究过程，梳理思路。

教师活动：组织学生在小组内讲解交流，再在班级中讲授。

教师活动：例题讲解，注重几何推理的规范表达。

学生活动：注意听讲，然后进行习题练习。

设计意图：在学习完所有的判定定理之后，设计习题课，意在使得学生真正理解全等三角形的判定定理，学会根据具体情境选择合适的判定定理，能用数学符号语言规范地表达几何推理过程。

第五课时

教师活动：给学生设置一些综合性的习题，引导学生分析问题、解决问题，例如，在证明两个三角形全等的过程中，如果知道两组角，再找任意一组边即可（角角边或角边角）；如果知道两组边，只能找夹角（角边角），而且，角的相等可能与平行线有关。

学生活动：学会将知识的理解运用到分析问题中去，提高自己解决问题的能力。

设计意图：全等三角形的判定定理可以和全等三角形的性质定理、平行线的性质和判定等知识点综合考查，设计这些综合性题目，有利于培养学生的信息获取与分析能力和解决问题的能力。

结语

这样的教学设计，在掌握知识与培养技能的基础上，更有利于学生能力的提高，这是数学教学的重要内容，也是数学教学育人价值的具体体现。本单元的探究方法在“相似三角形”的教学中具有可类比性，其中的数学思想在数学学习中也尤为重要。再者，我们要鼓励学生在全等三角形的判定条件的基礎上通过弱化条件的分析研究形成新的猜想，还可以研究在特殊三角形中全等的判定条件。

参考文献

[1] 马复. 数学 七年级下册[M]. 北京： 北京师范大学出版社， 2013.

[2] 吴亚萍. 中小学数学教学课型研究[M]. 福建教育研究， 2014（10）.endprint