中学物理与中段反导

吴迪青

(余姚市第四中学 浙江 余姚 315400)

中学物理与中段反导

吴迪青

(余姚市第四中学 浙江 余姚 315400)

中学物理中在讲万有引力与圆周运动时，如何讲“萨德”与“反导”成了许多教师的一个难题，有的都不敢提反导，因为一套高深的弹道理论成了不可逾越的障碍，但利用Excel的计算和描图功能，另辟蹊径，成功解决这个难题，通过弹道轨道和拦截轨道的计算和模拟，使得原来的不可能变为可能，并且能形象展示弹道轨迹，由此展开了中学物理中用现有知识研究“反导之旅”，以此为引导开展研究性学习，拓展学生视野，激发学生学习物理的兴趣．

反导 弹道导弹 拦截 万有引力 速度

各位读者，你真的没有看错，本文讲述的是以中学物理的知识研究弹道导弹的中段反导，不过要借助于一个常用的工具软件Excel.时下“萨德问题”已对中国的国家安全造成威胁，萨德是美国国家导弹防御计划中的一部分，所以反导成为热点.中国的中段反导已成功试验多次，有资料显示中国的中段反导世界领先，甚至有学者表示现在外星人入侵只有中国有能力对付.每次与学生谈及此事，学生的喜悦之情溢于言表，兴奋不已.但是，限于中学知识的不足，无法做具体的分析和计算，甚是遗憾.今天，我们用Excel的计算和数据处理功能，来突破这一障碍，计算弹道导弹的轨道及反导系统的轨道计算，满足学生的求知欲，激发学生学习物理的热情．

1 中学物理中的弹道导弹轨道计算

1.1 弹道导弹轨道模型

弹道导弹的发射轨道模型，如图1所示.

图1 弹道导弹轨道发射模型

弹道导弹从地球的A地发射，命中地球上的B地，弹道导弹飞行的轨道为一椭圆轨道，虽然导弹的初段和末段不是严格的椭圆轨道，但我们今天分析的是中段反导，可以按椭圆轨道来处理，为什么呢？

如图2所示，弹道轨道平面图.

图2 弹道导弹平面图

轨道平面为经过A，B两地及地心的一个平面，虚线为大气层，国际航空联合会定义的大气层和太空的界线，高度为100 km的界线为卡门线，卡门线外为太空，即大气层厚度约100 km[1].导弹飞行的初段为图中的A到C段(C点为出大气层点)，由于火箭的助推和大气层的缘故，这段轨道不稳定，加上发射初期雷达的探测盲区，这一段打击难度大，第二段火箭助推结束，导弹飞出大气层，进行惯性飞行阶段，由C经远地点到D段即飞行中段(D点为再入大气层点)，这一段轨道比较稳定，但飞行高度高，导弹速度大，也不易打击，中国显然已突破这一难题，我们分析这一段的拦截.因这一段大气阻力极小，导弹惯性飞行，只受到地球的引力，所以这一段轨道为比较标准的椭圆轨道，以一般洲际弹道导弹远地点1 000 km为例来计算弹道导弹的飞行参数[2]万有引力常量

G=6.67×10-11N·m2/kg2

地球质量

M=6.0×1024kg

地球半径

R=6 400 km

设A地坐标(3 200，5 542.56) km，B地坐标

(-3 200，5 542.56) km，当导弹飞行到坐标(x，y)位置时，根据万有引力和牛顿第二定律有[3]

得到

其中

1.2 用Excel建立数据模型[4]

取时间间隔Δt，足够小，那么在Δt时间内的导弹的运动看成是匀变速运动，得到

1.3 建立公式形成数据

单元格A1～H1，依次命名如图3所示.

图3 单元格A1～H1依次命名

单元格A2～H2,初始化

在单元格A3～H3依次输入公式如下：

单元格A：“=A2+F2*H2+0.5*D2*H2^2”即

单元格B：“=B2+G2*H2+0.5*E2*H2^2”即

单元格C：“=(A2^2+B2^2)^0.5”即

单元格D：“=-400 200 000 000 000*A3/C3^3”

即

GM=4.002×1014

单元格E：“=-400 200 000 000 000*B3/C3^3”

即

GM=4.002×1014

单元格F：“=F2+D2*H2”即

单元格G：“=G2+E2*H2”即

单元格H：“=H2”即保持Δt

选择单元格A～H，拖动右下十字光标，智能复制公式，形成数据列，根据需要决定数据的多少，选中A和B列，插入图表即得弹道轨道图(图4)，图中正圆为地球.

可以看到导弹轨道是以地心为一个焦点的椭圆轨道，轨道没有闭合可以多拉几个数据让其闭合，借助计算机利用Excel建立的数据模型来画出导弹的运动轨道[4]．

图4 得到的弹道轨图

按理论分析，如果远地点确定，远地点的速度确定，那么椭圆轨道是确定的，所以取远地点7 400 km，打到B(-3 200，5 542.56) km,经多次尝试在远地点速度vx=-4.996 km/s．导弹即能打到B点时，由Excel计算数据得到到B点时速度参数为vBx=-3 546.75 m/s，vBy=-5 412 m/s,如图5所示，根据对称性可知，此导弹在A位置的发射参数vAx=-3 546.75 m/s，vAy=5 412 m/s.

图5 由Excel计算数据

现在把初始状态设成为xA=3 200 km，yA=

5 542.56 Km,vAx=-3 546.75 m/s，vAy=5 412 m/s,得到有A地发射的导弹轨道，如图6所示(圆形为地球)，能精确命中B地xB=-3 200 km，yB=5 542.56 km

图6 由A点发射的导弹轨道

Excel的优势是既有数据运算，又可以描绘轨迹，而且不需要高深的弹道理论和编程知识，中学知识完全能应用自如．

2 反导拦截弹的轨道计算

反导系统有雷达采集到弹道导弹的有效弹道参数，找准时机发射拦截弹，把导弹拦截于再入大气层之前，最好的拦截点为即将入大气层的附近段，设拦截弹由于火箭动力，保持6 km/s速度不变，有卫星制导始终正对目标导弹方向，如图2建立坐标；

由题意可知，拦截弹起始坐标在B(-3 200,

5 542.56) km.

在t时刻拦截弹坐标(x1，y1)，导弹的坐标(x2，y2)，则

拦截弹的方向角

经过很小的时间间隔Δt，拦截弹的坐标变为(x1+v1Δtcosθ，y1+v1Δtsinθ)

导弹坐标变为(x2(n+1)，y2(n+1))，见弹道导弹数据.

打开原Excel数据，留一空行(一定要留出，否则与导弹数据发生关联)

A列输入：“x1+v1Δtcosθ”；

B列输入：“y1+v1Δtsinθ”；

C列输入：

D列输入：

Δt取0.3，接近时可以取得更小点，以便更精确．选A和B列数据插入图表得到拦截弹轨迹如图8所示(Δt取得越小轨道越精确).

2016-10-12)