N—遍历敏感依赖性在拓扑共轭下的保持

2017-09-11 12:45杨忠选
速读·下旬 2017年9期
关键词:金城共轭依赖性

杨忠选

摘 要:本文引进了N-遍历敏感依赖性这个新概念,并证明了已知f和g拓扑共轭,若g是N-遍历敏感依赖的,则f是N-遍历敏感依赖的。

关键词:N-遍历敏感依赖性;拓扑共轭

1引言与预备知识

在2002年,熊金城教授引进了[N-]敏感依赖性这个新概念,并对拓扑传递系统中的[N-]敏感依赖性做了系统的研究。本文在此基础上,引进[N-]遍历敏感依赖性这一新概念,并得到以下结论:已知[f]和[g]拓扑共轭,若[g]是[N-]遍历敏感依赖的,则[f]是[N-]遍历敏感依赖的。

2预备知识

在介绍主要结论之前,先介绍一些基本概念,设(X,[f])是一个紧致系统。即(X,d)是一个紧致度量空间,[f]∶X→X连续。

定义1给定整数N≥2,设U是一个非空开集,[n,N∈Z+,x1,x2,…,xN∈U]。

为了方便起见,记

[AU,xN,n=mindfnxi,fnxj∶1≤i,j≤N]

且[Sf-NU,λ=n∈Z+∶?y1,y2,…,yN∈U,有A(U,yN,n)≥λ]

[f]是[N-]遍历敏感依赖的,如果存在[λ>0],对于任意非空开集[U?X],都有[Sf-NU,λ]具有正上密度,此时,[λ]称为系统([X],[f])的一个[N-]遍历敏感系数。

定义2设([X],[f])和([Y],[g])是两个紧致系统,如果存在同胚映射[h]∶X→Y,使得[h?f=g?h],则称([X],[f])和([Y],[g])拓扑共轭。

3结论

定理1设([X],[f])和([Y],[g])是两个紧致系统,[d]和[d']分别是[X]和[Y]上的度量,[f]和[g]拓扑共轭,如果[g]是[N-]遍历敏感依赖的,则[f]是[N-]遍历敏感依赖的。

证明:由于[f]和[g]是拓扑共轭,则存在同胚映射[h]∶X→Y,使得[h?f=g?h]。因为[g]是[N-]遍历敏感依赖的,设[ε]是[g]的一个[N-]遍历敏感系数,由于[h]是同胚映射,所以存在[δ>0],使得当[d'hx,hy>ε,x,y∈X],有[d(x,y)>δ]。

設[U?X]是一个非空开集,因为[h]是同胚映射,则[h(U)]是Y中的一个开集,由于[g]是[N-]遍历敏感依赖的,则存在[y1,y2,…,yN∈h(U)]和[k∈Z+],使得[Sg-Nh(U),ε]具有正上密度,取[?k∈Sg-Nh(U),ε],有

[mind'(gk(yi),gk(yj))∶i,j∈1,2,…,N,i≠j>ε]。

取[xi∈U],使得[h(xi)=yi,i=1,2,…,N],于是对任意的[i,j∈1,2,…,N]有

[d'(gk(yi),gk(yj))=d'(gk(h(xi)),gk(h(xj)))]

[=d'(h(fk(xi)),h(fk(xj)))]。

所以

[mind(fk(xi),fk(xj)∶i,j∈1,2,…,N,i≠j>δ]。

根据[k]的选择性,知[Sf-N(U,δ)]具有正上密度,即[f]是[N-]遍历敏感依赖的。

参考文献:

[1]熊金城.拓扑传递系统中的混沌[J].中国科学(A辑),2005,35(3):302-311.

[2]尹建东,周作领.拟弱几乎周期点的等价定义与系统的混沌性[J].系统科学与数学,2010,30(8):1156-1162.endprint

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