高等数学竞赛试题分析

摘 要：通过对高等数学竞赛试题的分析，加强基础知识的训练，侧重多角度问题的综合求解，将与专业有关的实际应用问题与数学知识相结合，培养学生的创新思维和实践能力。

关键词：数学竞赛；洛必达法则；极限；创新

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.18.235

1 高等数学竞赛试题方法总结

为了强化高等数学的学习，我校每年将举办一次校内的高等数学竞赛，一方面激发学生学习高等数学的热情，一方面为数学建模等国家级竞赛选拔人才，赛前授课教师大力宣传，有长春工程学院理学院及教务处共同承办，对成绩优异的同学给予奖励。作为一名高数教师，需要从数学竞赛的举办中了解学生学习的薄弱环节，从而很好的总结教学经验，为日常的教学工作做好准备，为此，我就长春工程学院近几届高数竞赛的试题作以分析，总结学生答题情况，对试题中存在的问题加以指正，并对试题的改进加以说明。

在历届的高等数学竞赛中，赛题的分布主要包含以下几部分：极限的应用，一元，多元微积分的求解，空间解析几何，级数等几部分，其中极限的求解，一元多元微积分的求解最为重要。

常用求极限的方法有：约去零因子法，对于有理式型，直接约去零因式，对于含根式型，应先有理化，再约去零因式，含三角函数式的未定式，首先对函数进行恒等变换，常用的手法有有理化，和差化积，变量替换等。其他方法有等价无穷小代换法，导数定义法，洛必达法则和泰勒公式等。

（1）（2016年长春工程学院高等数学竞赛试卷（一）（4），选择题，4分）

难度分析：利用有界函数和无穷小的乘积仍是无穷小，很多同学出现错误误认为是特殊极限而选择1，在应用特殊极限解题时要注意应用的条件。

（2）（2016年长春工程学院高等数学竞赛试卷（三）（1），计算题，7分）

难度分析：很多同学没有掌握等价无穷小代换的条件，人为的将式子错误简化了，进而导致错误。本题将分母通分后应用几次洛必达法则来求解，洛必达法则是计算函数极限的主要方法。

我们总结一下求未定式函數极限的一般方法：

考查所求极限是否为未定式，如果不是未定式，则按通常极限的四则运算和复合运算求出极限，如果是未定式：将分子，分母乘积因子中无穷小量用等价无穷小代替。检查函数表达式中是否有非零极限的乘积因子，如果有的话，应将其从求极限的函数中分离出来，使极限分成二个极限乘积，其中一个有确定极限，另一个是未定式。如留下的未定式不能确定极限值，则用洛必达法则使分子，分母的无穷小阶数降低，然后再求极限。即总结起来，先用等价无穷小替换，否则再用洛必达法则，直接求得答案。

（3）（2016年长春工程学院高等数学竞赛试卷（二）（1），填空题，4分）

难度分析：此题是洛必达法应用的问题，为满足应用洛必达法则的条件，分子分母极限同时为零，分子分母分别求导再求极限求解。

微积分的计算和应用也是考查的重点，其中利用定积分性质证明不等式问题，利用积分中值定理证明不等式，利用柯西不等式证明定积分不等式，利用介值定理，积分中值定理或微分中值定理来证明方程的根问题。在试卷中积分上限函数与证明函数的单调性，求极限相结合的综合题也是考查的重点。

（4）（2016年长春工程学院高等数学竞赛试卷（四）（1），证明题，11分）

难度分析：此题是一道综合证明问题，将积分上限函数与函数单调性结合起来，与积分上限函数有关的问题在历届数学竞赛甚至研究生入学试卷中都有体现，此种类型题计算不难，但技巧性较强，很容易与其他相关的数学知识相结合起来出些综合题目。比如将积分上限函数与洛必达法则求极限联系起来，根据洛必达法则计算出极限来，关键在于积分上限函数的求导。此外还有带有变限积分函数的积分方程的求解，当函数满足带变限积分的方程时，要解出函数，通常是对方程两端求导，下限积分，从而得到关于函数的微分方程，用微分方程的解法可解出函数。还有很多与积分上限函数有关的问题，变上限函数作为一个函数，具有单调性，有界性，奇偶性，凹凸性，最值问题和零点问题等，解题方法同普通函数求解这些性质所用的方法是一样的。

此外对于第二类曲线积分计算题目，在竞赛试卷中也有所体现，也是考查学生综合性解题的一个方面。对于这类问题，先分析其是否满足格林公式，1）闭区域由分段光滑的曲线围成，2）函数具有一阶连续偏导数。如果这两个均满足，若曲线取正向，则利用格林公式，若曲线取负方向，格林公式前要加负号。若曲线不是闭曲线，则可引入辅助线，使成为取正向的封闭曲线，进而采用格林公式，然后再减去辅助曲线上的曲线积分。若曲线为闭曲线，但函数不具有一阶连续性质，则可采用“挖洞”法来利用格林公式求解。格林公式的应用非常的广泛，它解释了二重积分和曲线积分的联系。

2 对高等数学竞赛提出的建议

对于高等数学的竞赛试题，可以适当的加入一些与数学建模，与各专业的学习相结合的实际应用问题，我们倡导高等数学的学习要为专业知识的学习服务，为专业的学习保驾护航，将数学知识应用与各专业的学习中，例如在工程力学专业，可以利用微分，定积分的计算来解决圆轴扭转时横截面上的应力和强度，利用导数求极值及二阶导计算来解决剪力图与弯矩图问题，利用定积分求惯性矩合力，利用二阶常系数线性微分方程来求解梁的变形的计算，压杆的临界载荷等问题，还可以应用二阶常系数线性微分方程来研究机械振动现象。

通过对高等数学竞赛试题的分析，一方面要加强学生基本知识，基本技巧的训练，另一方面将数学知识与各专业的学习相结合起来，使得将高等数学的学习应用于实践中去，真正做到为生产生活服务，使高等数学的学习真正做到实用化，趣味化，将高等数学的学习和教学工作提上一个新的台阶！

参考文献：

[1]张林，罗来珍.大学生数学竞赛的教学实践与探索[J].教育教学论坛，2016（26）.

基金项目：2016年长春工程学院校级教学改革立项“数学竞赛模式下高等数学教学的改革与实践”

2016年长春工程学院校级教研立项课题“数学竞赛模式下高等数学教学的改革与实践”

作者简介：付向南（1983-），女，吉林长春人，硕士，讲师，主要研究方向：数学基础课的教学与实践理论。endprint