有限元极限分析下限法在双层土圆形浅基础中的研究

王秀林，员康锋

（1.山西省交通职业技术学院，山西 太原 030031；2.山西省交通科学研究院，山西 太原 030006）

0 引言

近半个世纪以来，圆形地基在上层砂土下层黏土情况下的承载力情况已经得到越来越多的关注。对于工程师而言，在设计过程中的地基承载力计算必然要参照规范进行。针对双层土情况，世界上较流行的一种是海军建筑师和船舶工程师协会[1]（SNAME）提供的两种计算方法。第一种是穿刺法[2]，该方法假设一个侧面竖直的砂土塞从砂土层穿刺到黏土层；第二种称之为投影面积法[3]，该方法假设基础底面从砂土上层面按一定斜率投影到黏土上层面。然而，上述两种计算方法均不同程度地忽略了上层砂土强度对地基极限承载力的贡献。近年来，一些学者通过试验提出了很多修正的计算模型。例如，Okamura[4]通过离心机试验的承载力数据以及通过造影技术观察失效机制，在融合规范中两种计算模型的基础上提出了一个新的有解析解的极限平衡模型。

然而，上述半经验的理论计算模型一般来源于有限的试验数据，因而其适用性有待验证。近年来，一些有限元方法在上层砂土下层黏土的圆形地基承载力计算方面有所尝试。Lee[5]用商业有限元软件PLAXIS去模拟圆形基础在双层土情况下的模型。这些数值分析模型在不同程度上能预测地基在贯入过程中的每个时刻的承载力以及对应的地基土变化情况。然而，这些数值模拟方法有不可避免的缺点：计算所需参数繁多且计算效率低。这些缺点导致工程设计实践中适用性方面的限制。近30年发展迅速的有限元形式的极限分析下限法[6-7]在某种程度上克服了上述几种方法的缺点。该方法的计算模型简单，仅需输入很少的基本参数便可得到真实解的下限值。本文将着重研究有限元分析下限法应用于上层砂土下层黏土情况下圆形浅基础承载力的计算问题。

1 极限分析下限法在双层土圆形浅基础的应用

1.1 计算模型

本文中计算的地基承载力均是针对短期稳定性而言的，具体计算模型见图1。如图1所示，半径为D的圆形地基位于双层土之上。上层砂土层厚度为H，摩擦角为φ，重度为γ；下层为无限厚的黏土层，不排水抗剪强度为su。本文中均假设地基底面完全粗糙，上层为坚硬砂土层。

图1 圆形基础示意图

1.2 下限法在圆形地基中的应用

本节简要地介绍了轴对称情况下有限元极限分析的下限法理论。对于在轴对称结构的极限分析有限元形式中，三角形单元中的每个节点应力场由（σr,σz,τrz,σθ）来表示，如图 2a所示。众所周知，下限理论是以平衡和屈服准则为基础的静力容许应力场条件。对于任意一个三角形单元，必须满足以下4个条件：

a）单元平衡，即每个节点应力场与外界荷载平衡：

b）应力间断面连续，即相邻两个单元的公共面上，同一位置的不同节点的正应力和剪应力必须相等，同时对于同一边界，剪应力和正应力处处连续。对图 2b 中而言，须满足 σn1=σn2,τt1=τt2,σn3=σn4及τt3=τt4同时σ、τ在边界上线性连续。

c）满足应力边界条件，在图2c中，须满足σn1=q1,σn2=q2,τn1=t1,τn2=t2.

图2 极限分析下限法有限元形式单元节点示意图

d）屈服准则，在轴对称情况下，每个应力节点的摩尔-库伦屈服准则可表示为：

而求解地基极限承载力也就是得出目标函数的最优解：

归根结底，求有限元形式下的下限解就是一个数学问题。

2 结果验证

通过上述部分简述过程及方法，便可以得到圆形基础在双层土情况下的有限元极限承载力的下限解。为了验证该方法的稳定性和准确性，本节将下限法结果有限元数值方法进行对比。

值得说明的是，在计算极限承载力之前，为了更接近实际情况，应考虑在特定应力状态下的软化效应，将上层砂土的摩擦角进行折减[6]。文献[7]给出了内摩擦角的折减公式：

式中：φ*为折减后摩擦角；φ′为折减前摩擦角；ψ为剪胀角。对于φ′和ψ，可以通过一个嵌入Bolton提出的强度-剪胀关系的迭代程序来计算。也就是说，下文给出的计算结果均是针对折减后的摩擦角而言，为了避免混淆，统一简称摩擦角，用符号φ表示。

选取有限元商业软件PLAXIS的数值计算结果[8]进行对比。图3的对比结果表明，几乎所有的结果都在直线qu，FEM=qu，LB附近分布，说明下限法求得的极限承载力与有限元计算结果非常吻合。

图3 下限法与有限元结果对比

为了进一步探求下限法计算结果的准确性，表1 计算了 qu，FEM/qu，LB的各个统计特征值。25 组试验中有限元数值结果与下限法计算结果的比值平均值为1.01，比值中最大为 1.09 最小为 0.94，说明 qu，FEM/qu，LB波动范围非常集中。此外，25 组 qu，FEM/qu，LB计算结果的变异系数仅为3.5%，说明有限元下限法在双层土圆形浅基础中计算地基承载力时具有非常好的稳定性。

表1 有限元数值结果与下限法比值统计结果分析

通过与有限元计算结果的对比，充分说明了有限元形式的下限解计算结果的准确性以及稳定性。同时，由于有限元建模复杂、计算耗时较长、输入参数繁琐等缺点，有限元形式的下限法为计算圆形地基在轴对称荷载以及上层砂土下层黏土情况下的极限承载力提供了一个方便快捷的途径。

3 结论

本文将有限元形式的极限分析下限法应用到上层砂土下层黏土情况中计算圆形地基的极限承载力，得出了几点有用的结论：

a）有限元形式的极限分析下限法能较准确地预测在上层砂土下层黏土情况下圆形地基的极限承载力。

b）实际应用中，在使用本文建议的方法之前，必须首先在考虑尺寸效应和软化等因素下确定与实际情况下的砂土层摩擦角。

c）相比于有限元数值分析，有限元形式的下限法为计算圆形地基在轴对称荷载以及上层砂土下层黏土情况下的极限承载力提供了一个方便快捷的途径。