恒温浴缸的加热策略研究

崔玉涛++杜海瑞++张浩伟

摘要：在一个不能二次加热的普通浴缸中泡澡，过不久，浴水就会明显地变凉，所以需要将热水从水龙头注入，以加热洗浴水。

我们利用牛顿冷却定律和能量守恒建立了热传输模型，并确定了间歇性加水的策略，使浴水温度在一个使人感到舒适的范围内浮动，所以模型分为冷却阶段和加热阶段。在冷却阶段，本文根据牛顿冷却定律得出了冷却时间为420s；在加热阶段，取进水口单位时间热水流量为0.33L/s，解出加热时间91.68s，加热一次浪费水30.26L。根据洗澡总时间，即可确定加水次数和浪费的水的总量。

利用控制变量法，我们依次分析了浴缸的形状、体积和浴缸中人的体积、运动状态等因素对本文所采取的策略的影响，得出结果为：我们所采用的策略既不依赖于浴缸的形状和体积，也不依赖于人的体积、运动状态等因素。

本模型还可以应用于其他需要保持恒温的能量系统，例如恒温游泳池等。

关键词：热传导；牛顿冷却定律；能量守恒；热传输模型

一、问题背景与概述

有人在一个不能二次加热的普通浴缸中洗澡，过不久，洗澡水就会明显地变凉，所以这个人需要将热水从水龙头注入，以加热洗浴水。第一，要求考虑时间、空间等因素，建立一个浴缸的水温模型，使浴缸中的水保持或接近开始的温度，同时不浪费太多的水。第二，当浴缸的形状、体积和浴缸中人的体积、温度、运动状态改变的时候，确定你的模型能在多大程度上适应这些因素的改变。

二、模型假设

（一）全局假设。

1.假设浴缸可以看作一个壁厚为零长方体。

2.假设浴缸中的水温分布是均匀的，不存在对流。

3.假设浴缸与浴缸中的水没有热量交换。

4.假设室温恒定不变，保持在22℃。

（二）问题一的假设。

1.假设浴缸中的水与人没有热量交换。

2.假设加入的热水降温到Ta后会全部留在浴缸中

三、模型的建立与求解

（一）问题一模型的建立与求解。

1.模型的准备。为简化和规范说明问题，对问题一中的部分理论与参数进行解释：

（1）牛顿冷却定律[3]：当热源与周围媒质的温度差不太大（约50℃以下）时，热源向周围传递的热量是与温度差成正比的，其经验公式就是牛顿冷却定律：

式中T0为环境温度，T为热源温度，A为与热源接触的表面积，h是一个与传热方式有关的常数，称热适应系数。

（2）单位时间、单位面积热辐射散热通量[4]为：

其中：T*=T+273，T为水的温度，单位为℃；ε为水面发射系数，一般取0.56；

σ为玻耳兹曼常数，一般取5.6 *10-8。

（3）单位时间、单位面积蒸发散热通量[5]：

2.模型的建立。我们根据能量守恒及牛顿冷却定律等热力学相关定律建立热传输模型，整个模型可以分为两个阶段，即冷却阶段和加热阶段。

（1）冷卻阶段。在整个热传输过程中，蒸发、对流和热辐射都属于自然对流现象，将其综合到一起考虑。根据我们的参数设定，水温和空气温度相差最大时为16℃，满足牛顿冷却定律应用的温度限制。牛顿冷却定律认为单位时间从单位面积散失的热量与温度差成正比，整体的冷却过程就可以用下面的式子来描述（所有表达式中的单位均为国际标准单位）：

Ta表示浴缸中的初始温度，T0表示空气温度，k为冷却系数，由3.1.1与3.1.5可得冷却过程中浴缸中的水温随时间的变化关系如下：

（2）加热阶段。在第二阶段即加热阶段，我们根据能量守恒定律，建立进出浴缸的能量恒等式：

其中Qin为注入的热水给浴缸中较凉的水带来的热量，Qz表示浴缸中的水因蒸发损失的热量，Qf表示热辐射损失的热量，Ql表示浴缸中的水从使人体感到舒适的温度下限上升到温度上限所需要的热量，Qc表示流出浴缸的水带走的热量。

计算Qin时可把浴缸中冷却后的水的热量视为零，通过比热容公式表示如下：

其中Cp表示水的比热容，ρ表示水的温度，u表示热水的流速，Th为注入浴缸中的热水温度，Tb为浴缸中的水在冷却过程中的平均温度。

Qc为时间t内流出水带走的热量，同样使用比热容公式计算，其体积与流速与所加入热水的体积与流速相等。由于流出的水的温度时刻在变化，为方便计算，假设流出水的温度均为Ta，即人体感到舒适的上限温度。给出计算公式：

综合以上五个热量表达式， 得到：

（3.1.7）

到这里问题一的模型已经建立了，能量守恒定律保证了水温的变化区间在人感到舒适的范围内，同时我们将在模型的求解中根据V与u、t的关系确定单位时间水流量的大小与所浪费的水量的关系，进而确定出最佳的进水速度，达到尽量减少水的浪费的目的。

3.模型的求解。

（1）冷却阶段。将表1中参数的取值代入式3.1.6，得到在冷却过程中，浴水温度与时间的关系：

（3.1.8）

画出浴水温度随时间的变化曲线如下图所示：

浴水的初始（t=0时）温度为38℃，当浴水温度降低到设定的最低温度37.5℃时，t=7min。这时，冷却阶段结束，立即打开进水阀门，开始注入热水，进入加热阶段。

（2）加热阶段

将表1中参数的取值代入到是3.1.9中，化简得到热水流速与注水时间的关系式：

画出热水流速随注水时间变化的曲线图3.1.2.

由图可知热水流速与注水时间呈反比关系，即当设定的注水时间较长的时候，注水流速相对较低，为了更好地设定注水时间及注水速度我们作出浪费的水量与注水时间的图像3.1.3如下：

由图3.1.3可以看出，浪费的水量与注水时间成线性关系，注水时间越短，浪费的水量越小，但是由图3.1.2可知：注水时间短也就意味着单位时间的热水流量大，理论上单位时间热水流量达到无穷大，而注水时间达到任意短时，浪费的水体积最小，但是考虑现实因素明显无法达到该条件，我们通过查阅有关水龙头流量的GB18145，得到浴缸水龙头的单位时间最大流量为0.33L/s。根据以上分析，我们决定将题中单位时间的热水流量定为0.33L/s，由式5.1.13解得每次的注水时间t为91.68s，再由式3.1.10得到一次加热浪费的水量为30.26L。这样冷却和加水过程就构成一个加水周期，其中冷却时间为420s，加水时间为91.68s，整个周期的长度为511.68s，根据洗浴时间的长短可以确定周期的个数。比如一个人洗浴20分钟，则包含的加水周期个数为2.34，浪费的水量为60.52L。

4.结果分析。热传输模型首先控制了浴缸中水的温度在37.5℃-38℃之间，通过间歇性加水的策略，达成了问题一中使浴缸中的水温尽量保持或接近开始的温度的要求，最终给出的结果是一个加水周期（包含冷却阶段和加热阶段）的长度和一个加水周期浪费的水量，根据洗澡时间的长短可以很快地算出在本文给出的条件下浪费的最少水量。

（二）问题二模型的建立与求解。

1.模型的准备。问题二要求我们考虑问题一中所采用的策略对多种因素的依赖程度，我们认为应当在问题一建立的热传输模型的基础上利用控制变量法来对问题中要求考虑的因素进行一一研究。

2.模型的建立。沿用问题一中的热传输模型，得到浪费的水量与热水流速与注水时间的关系：

（3.2.1）

3.模型的求解。

（1）对浴缸上表面积的依赖程度。

要研究我们的策略对浴缸上表面积的影响，就要固定除了上表面积之外的所有因素，把上表面积作为一个单一变量来研究，首先通过合并化简式3.2.1得到浪费的水量P与浴缸上表面积A及注水时间t的关系：

对于体积固定的浴缸，我们作出几种不同的上表面积对应的浪费水量与注水时间的关系如图5.2.1所示。我们可以看出，随着同体积浴缸上表面积的增大，其蒸发散热速率增大，相应地，在注水时间相同的情况下，出水口热水流量就要更大，因而要浪费更多的水，但是，不论其上表面积是大是小，所浪费的水量与注水时间之间的线性关系没有变，注水时间与热水流量之间的反比例关系也没有变，所变化的只是在不同表面积下所能达到的最小浪费量，所以说浴缸上表面积的大小并不影响我们尽可能快地注水的策略，即我们的策略不依赖于浴缸的上表面积。

（2）对浴缸体积的依赖程度。

要研究我们的策略对浴缸体积的影响，就要固定除了体积之外的所有因素，把体积作为一个单一变量来研究，首先通过合并化简式3.2.1得到浪费的水量P与浴缸体积V及注水时间t的关系：

對于表面积固定的浴缸，同时画出不同体积浴缸对应的所浪费的水量与注水时间的图像如下：

从图3.2.2容易看出：相同表面积的情况下，浴缸的体积越大，所浪费的水越多。与对表面积的依赖程度的情况相同，所浪费的水量与注水时间的线性关系以及注水时间与热水流速的反比例关系都没有变化，所以，我们的策略仍然是尽可能快地加水，浴缸的体积并未对我们的策略造成影响，也即我们的策略不依赖于浴缸的体积。

4.结果分析。问题二中要考虑我们在问题一中采取的策略对浴缸的形状、体积和浴缸中人的体积、温度、运动状态等因素的依赖程度。然而在求解过程中我们通过简单的分析发现：我们所采用的策略不依赖于浴缸的形状、体积，也不依赖于浴缸中人的体积、温度、运动状态等因素，具有较为良好的适应性。

四、模型的评价与改进

（一）模型的评价。

1.模型的优点。

（1）通过牛顿冷却定律和能量守恒方程建立了热传输模型，基本实现了把温度控制在一个令人感到舒适的范围，并尽可能减少了因维持温度而浪费的水量。

（2）采用间歇性加热水的策略使得解出的结果具有较强的可操作性。

（3）模型简单易理解，实用性较强

2.模型的缺点。

（1）未考虑浴缸中的水与人体的热量交换。

（2）也未考虑浴缸与水的热量交换，可能造成了计算结果精度下降。

（二）模型的改进与推广。

我们的模型还有许多需要完善的地方，例如可以将人与水及浴缸与水的热量交换考虑进去，想办法将人体吸收的能量量化、将浴缸的散失热量量化。

本模型还可以应用于其他需要保持恒温的能量系统，例如恒温游泳池等。

参考文献

[1]人在洗浴时感到舒适的水温http：//baike.baidu.com/view/560407.htm#1_2

[2]成人的正常体温 http：//muzhi.baidu.com/question/439518580.html

[3]刘志华，刘瑞金. 牛顿冷却定律的冷却规律研究[J]. 山东理工大学学报：自然科学版，2005，19（6）：23-27.

[4]毛世民.水面蒸发散热系数计算的改进[J].水资源保护，1990，1：13-17

[5]陈惠泉，毛世民.水面蒸发系数全国通用公式的验证[J].水科学进展，1995，6（2）：116-120

[6]陈秀荣，陈建毅，修宗湖.恒温洗浴热水添加策略研究[J] .数学建模及其应用，2016，5（2）：25-35.