向量在中学数学中的应用

向量是中学数学最基本的概念之一，在中学数学中则是沟通几何，代数，三角等内容的桥梁.具有丰富的实际背景和广泛的应用.

目前，向量已作为必学内容增添到高考数学新教材中，它丰富了中学数学结构体系，进一步拓宽了解决中学数学问题的思维空间.利用向量的理论和方法，可以有效地解决几何、代数、三角、复数以及物理学中诸如力、速度、加速度等问题。向量兼具代数的抽象严谨和几何的形象直观，它本身就是一个数形结合的产物.

正是由于这部分知识是新增的教学内容，教学上还需要一个逐步与传统教学内容相融合的过程.因此本文就向量的各种用途，与其他知识点的交汇，作一探讨，以便沟通新概念新方法与传统教学内容之间的联系.

1、向量在立体几何中的应用

例1如图1，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB= 4，AD=3，AA1= 2. E、F分别是AB、BC上的点，且EB= FB=1.

图1

（1）求二面角C—DE—C1的正切值；

（2）求直线EC1与FD1所成的角的余弦值.

解析：在较规则的立体图形中运向量的坐标求解相关问题很简便，在很多时候不很找到二面角的平面角，距离，夹角，但是用向量坐标求解就避免了求作过程。

2、向量在不等式中的应用

例2 已知a>b>c>d，求证：.

证明 由已知显然有：a-b>0， b-c>0， c-d>0， a-d>0.

构造向量：

又 得

在不等式的应用中，主要是通过利用向量的相关性质来构造向量，使得条件与结论明朗化，解题步骤一目了然.

3、向量在三角函数中的应用

例3 证明公式：cos（α - β ）=cosαcosβ+sinαsinβ.

分析：观察右边的等式结构，可以联想到平面向量的数量积，这样就启发我们可以构造两个单位向量，它们的夹角为α - β.

证明 如图2，在单位圆上任取两点A，B，设以OX轴为始边，OA，OB为终边的角分别为α， β，则向量

又.

图2

由于三角函數本身与平面几何有着不可分割的联系，而平面向量又恰好具有这样的性质，所以利用平面向量解三角函数题非常简便自如.

4、向量在数列中的应用

例4 给定正整数n和正数M，对于满足条件的所有等差数列试求的最大值.

解 由题意得：又

由，

得

当，且时上式取等号，解得

5、向量在求无理函数最值中的应用

例5 已知，求函数的最小值.

解 根据函数式的结构联想到向量加法法则，于是构造向量

由 ，

得

当且仅当，即 时，y取最小值.

高中数学新教材引入向量的目的是以这一有力工具来研究数量问题，用向量知识求解一类无理函数最值问题，方法新颖，运算简捷.

小结

平面向量进入中学数学，极大的丰富和发展了中学数学结构体系，向量知识结构严谨，体系优美，运用简捷而又利落，思维明快又富有创新，极易与其它主干知识自然融合，成为新课知识的新的结合点.

作者简介：章拔毅（1981.07.01）毕业于延安大学，2005年9月于镇坪中学任教，论文多次在安康市获奖与交流，2008年被评为市级教学能手。endprint