基于AMA的均值—方差模型在大类资产配置中的应用

徐皓

[摘 要]随着FOF基金逐步进入投资者的视野，关于大类资产配置的方法和策略越来越被重视。首先，文章对H.M.Markowitz在1952年提出的均值—方差模型进行了阐述和分析，总结其优点和缺陷。其次，针对经典模型存在的缺陷，文章引入考夫曼自适应移动平均线，建立了基于AMA的均值—方差模型。改进后的模型可以有效降低经典模型对历史数据的依赖性。最后，文章运用该模型对中证全指、中证全债、Wind商品指数进行资产配置，回测期为2007年1月1日到2016年12月31日，3个月换仓一次，取得了年化 21.46%的收益，最大回撤率为 19.79%，夏普比率为 1.43，整体回测结果理想。

[关键词]均值方差模型；考夫曼自适应移动平均线；大类资产配置

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2017.28.059

在公募FOF发展的初期，如何对大类资产进行配置和选择是公募FOF发展初期的重点。文章对Markowitz（1952）提出的经典的均值—方差模型进行了阐述和分析，总结其优缺点，并在其基础上引入考夫曼自适应移动平均线系统（AMA）对模型进行改进和优化，以期建立更加完善的大类资产配置模型。

1 经典的均值—方差模型

Markowitz（1952）提出的均值—方差模型首次将数理统计分析方法引入金融领域，将风险定义为收益率的波动率。该模型的基本思想是：基于理性投资行为“回避风险”“非满足性”等特点，以给定收益水平下最小化风险或者在给定风险水平下最大化收益为约束目标，求解最优的资产配置组合。

1.1 模型的基本假设

（1）投资者在进行每一次投资决策时，其投资依据是某一持仓时间内资产收益的概率分布。

（2）投资者根据投资标的的期望收益率估测风险。

（3）投资者的决策仅仅依据投资标的的风险和收益。

（4）不考虑交易费用、个人所得税等因素的影响，即市场无摩擦。

（5）投资者是理性的，即在给定风险水平下期望收益最大或者在给定收益水平下期望承担的风险最小。

1.2 均值—方差模型的构建

基于上述假设，假设存在n种投资标的，若R=（r1， r2， r3， …， rn）T为各类投资标的期望收益率，w=（w1， w2， w3， …， wn

经典的均值方差模型较为简单，能够在收益与风险之间寻找适应投资者需要的均衡点。但是，模型求解投资组合时，收益与风险的微小变化会改变有效组合构成，缺乏稳健性，使得投资者在模型的实际应用中往往仅能得到次优组合。同时，模型倾向于选择具有历史高收益或低风险的资产，而其他质量相对较差的资产分配0权重，并没有实现风险充分分散，违背了模型的本来目的。

2 基于AMA的均值—方差模型

如前文所述，经典的均值—方差模型存在一些不足，直接使用该模型往往达不到预期的效果，为了增强模型在实践中的表现，我们对该模型进行以下改进。

第一，模型易受到误差放大机制的影响，倾向于对相对低收益、高风险的资产分配0权重。针对该缺陷，我们对各类资产持有比重设置下限5%。

第二，投资组合权重的变化依赖于历史数据，难以根据市场及时调整，对此从两个方面修正：①考虑一种极端情形，若短期内（60个交易日）某一标的亏损超过10%，为实现风险规避，设置下期该类型资产持有比例小于或等于10%；②采用考夫曼自适应移动平均线平滑资产价格，计算趋势下未来一段时间内资产期望收益率。

2.1 考夫曼自适应移动平均线（AMA）

佩里·考夫曼的自适应移动平均线（AMA）是一个经典的技术指标，既可以消除短周期均线带来的噪声，又可以避免长周期均线的滞后性。当市场快速沿着趋势方向移动时，AMA使用快速移动平均；当价格横盘调整时，AMA使用慢速移动平均。

利用AMA进行未来一段时间移动平均线的构建方法如下：

AMAt=AMAt-1+c*（Pt-AMAt-1）（2）

其中AMAt表示价格在持仓期内第t天的移动平均值，Pt表示标的资产在持仓期内第t天的实际价格。考夫曼自适应移动平均线的一个要点是如何确定系数c。为了计算系数c，在此需要引入三个概念：价格方向、波动性和效率系数。

价格方向Direction是指T个时间间隔中标的资产价格的净变化。波动性Volatility即为市场噪声的数量，是T个时间间隔中每个时间间隔的价格变化绝对值的总和。效率系数（ER）是价格方向与波动性的比值，计算如下：

ER=DirectionVolatility=PT-P1T-1t=1Pt+1-Pt（3）

效率系数的值在0～1之间，当ER=1时，标的资产价格变动趋势明显，系数接近短周期系数Fastest，Fastest=2/（m1+1），m1表示短周期均线长度。当ER=0时，标的资产价格变动波动性较大，波段明显，系数接近长周期系数Slowest，Slowest=2/（m2+1），m2表示长周期均线的长度。

建立效率系数ER与系数c之间的联系，将系数c定义为：

c=[ER×（Fastest-Slowest）+Slowest]2（4）

将式（4）代入式（2）即可得到考夫曼自适应移动平均线，第t天的AMA自适应均线计算值为：

2.2 基于AMA的均值—方差模型

基于以上分析，用考夫曼自适应移动平均线替代资产实际价格计算趋势下未來一段时间资产的期望收益率，可以降低均值—方差模型对历史数据的依赖性。

用AMA替代资产实际价格，则资产i的期望收益率和资产i收益率的标准差分别可表示为：

由上述模型可以计算出每一持仓期资产组合的最优权重w，再根据各期各资产的实际收益率和权重可计算出各期投资组合的收益，从而可以计算资产组合的累计收益率和年化收益率。

3 回测检验

对基于AMA的均值—方差模型，设定考夫曼快速、慢速均线长度分别为5天、60天，设定风险厌恶系数λ=3，运用该模型对中证全指、中证全债、Wind商品指数进行资产配置，回测期为2007年1月1日到2016年12月31日，3个月换仓一次，回测结果如下：

基于AMA的均值—方差模型回测结果

从表1可以看出：过去十年，策略取得5.63倍绝对收益，年化收益率达21.46%。风险方面，策略年化波动率为13.24%，最大回撤19.79%。基于AMA的均值—方差模型Sharp比率为1.43，整体回测结果较为理想。

参考文献：

[1] W Jahnke.The Asset Allocation Hoax[J].Journal of Financial Planning，2004（4）.

[2] Markowitz，HM.Portfolio selection[J].The Journal of Finance，1952（2）.

[3]曹志广，韩其恒.投资组合管理[M].上海：上海财经大学出版社，2005.

[4] 任飞，李金林.资产配置理论与模型综述[J].生产力研究，2007（7）.

[5] 胡荣芳.对Markowitz的均值—方差模型改进的两种思路[J].现代商业，2007（12）.endprint