数学分析模型在医疗机构营销中的应用

白烨　舒琨　姜华

[摘 要]数学模型在市场分析的应用是市场研究的热点之一。文章对市场营销常用的马尔可夫模型、灰色关联度模型、Logistic回归模型概念进行了介绍，探讨了各模型在医疗机构中的应用及适用范围。通过对各个模型优劣的分析，为医疗机构的决策者了解自己在竞争中的位置、患者需求以及医疗服务等方面存在的问题提供方法，使医疗机构采取相应的措施、提高患者满意度及医疗竞争力提供决策参考。推动医疗市场健康稳定发展。

[关键词]数学分析模型；医疗机构；市场营销

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2017.28.104

在市场营销研究中，对所研究的对象进行量化，建立适当的量化数学模型分析市场的发展特点及市场消费行为，已经成为科学营销的发展趋势。相对于定性方法，构建数学模型的定量方法在于对市场营销问题具有严谨的解释能力和缜密的判断能力，对于政策制定者、市场调查及营销人员，数学建模方法是十分有效的分析工具。因此，将数学模型引入医疗机构经营的预测、掌握醫疗机构的发展特点以及消费者的需求和行为规律，进而指导医疗机构的长远规划发展是非常必要的。文章根据医疗机构市场需求的特点，在借鉴国内研究成果的基础上，选取马尔可夫链、灰色关联度和Logistic回归3个模型，对其基本原理和在医疗市场应用范围进行总结，以期对医疗机构的发展有所帮助。

1 马尔可夫模型在医疗市场预测的应用

马尔可夫模型是安德烈·马尔可夫（A.A.Markov）在1907年提出的，也称马尔可夫链。它的特点是：在给定当前知识或信息的情况下，则未来的状态可以通过预测来确定，而与过去的状态无关。[1]在马尔可夫链中，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。马尔可夫链X1、 X2、 X3、 …描述了一种状态序列，其每个状态值取决于前面有限个状态。马尔可夫链是具有马尔可夫性质的随机变量的一个数列。这些变量的范围，即它们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn+1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数。[2，3]即P（Xn+1=xX1=x1， X2=x2， …， Xn=xn）=P（Xn+1=xXn=xn）

这里x为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作马尔可夫性质。

马尔可夫过程的定义如下：

定义一：设{X（t）， t∈T}是一个随机过程，如果{X（t）， t∈T}在t0时刻所处的状态为已知时，t0以后的状态与它在时刻t0之前所处的状态无关，则称具有马尔可夫性，即{X（t）， t∈T}。

定义二：设{X（t）， t∈T}的状态空间为S，如果对于任意的n≥2，任意的t1

则称{X（t）， t∈T}为马尔可夫过程。

马尔可夫链的转移变化分析，在于分析链内有限次马尔可夫过程的状态及相互关系，进而预测系统或过程的未来状况。该链早期多用于自然科学研究的建模，近年来，由于市场参与主体的多元化、多变性、期望利润及产品市场占有率的变化过程都具有随机性和无后效性，与马尔可夫链应用的要求相符。因此，马尔可夫链逐渐应用于宏观经济形势、市场占有率及期望利润的预测。[4，5]

在医疗机构的生产及运营过程中，经营者需要密切关注医疗市场需求者的转移变化情况和竞争对手的发展趋势，对未来的市场占有率及市场动态有尽可能准确的预测，但医疗市场占有率的变化是一个随机过程，而且这种变化只与现在医疗机构的服务状态有关而与过去无关，因此，具有随机性和无后效性两个特征，即具有马尔可夫性。[6]根据上述马尔可夫链的定义与性质，预测医疗机构市场占有率情况，进一步利用以下转移概率矩阵分析并找到提高医疗机构市场占有率的有效方法。[7]转移概率矩阵包括一步转移概率矩阵和n步转移概率矩阵，两矩阵基本原理如下：

一步转移概率指系统从状态i经过1次发展演变后转移到状态j的概率，记为Pij；该概率是固定不变的，它与系统发生转移的时间无关，只要系统一次性地由状态i转移到状态j，那么这个随机过程的概率就为Pij。全部状态的一步转移概率构成一步转移概率矩阵：

n步转移概率是指系统从状态i经过n次发展演变后转移到状态j的概率，记为P（n）ij。全部状态的n步转移概率构成 n步转移概率矩阵：

由切普曼·柯尔莫果洛夫方程：P（n+m）ij=

（P为进一步转移概率矩阵），该公式表明n步转移概率矩阵等于一步转移概率矩阵的n次幂。由此可知，若已知一步转移概率矩阵，便可求得n步转移概率矩阵，进而便可预测出随机过程的未来发展演变情况。

总之，使用马尔可夫模型对于医疗机构的市场占有率预测步骤可概括为：①确定某一期医疗机构状态及医疗机构状态的初始概率分布；②确定离散参数的计量单位并编制医疗健康机构顾客转移概率表；③计算该期医疗机构的转移概率矩阵；④根据S（k）=S（k-1）P（k表示预测期数），预测下一期医疗机构市场占有率；通过上述马尔可夫模型，可建立两个相邻时刻医疗健康机构市场占有率的概率转移之间的联系来研究其变化规律。此外，该模型还可得出消费者目前选择的医疗机构及其服务和对于其未来选择其他医疗机构转移概率，以此通过转移概率矩阵预测，在未来不同的时段，不同医疗机构的占有份额，为经营者确定预期的运营策略。[8]

2 灰色关联度模型在医疗市场分析的应用

1982年由中国学者邓聚龙教授创立的灰色系统理论是以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”“贫信息”不确定性系统为研究对象，通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控的方法。灰色关联分析是灰色系统理论的重要组成部分之一[9]，其基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密，将评价指标原始观测数进行无量纲化处理，计算关联系数、关联度，根据关联度的大小对指标进行排序。运用此方法可以分析各个因素对于结果的影响程度，也可以运用此方法解决随时间变化的综合评价类问题。

灰色关联分析的基本计算过程如下：

（1）确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。

设参考数列（母序列）为Y={Y（k）k=1， 2， …， n}；比较数列（子序列）为Xi={Xi（k）k=1， 2， Λ， n}， i=1， 2， Λ， m；

（2）无量纲化处理：

（3）计算x0（k）与xi（k）的关联系数：

（4）求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，关联度ri公式为：

（5）关联度按大小排序，如果r1

灰色关联分析在医疗机构的应用主要侧重于因素分析和优势分析。[11]因素分析，即为医疗健康市场系统包含有多种因素，多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。要进行医疗健康市场系统分析，需判断影响系统发展的主要因素，该方法可用于分析医疗健康市场需求影响因素与顾客满意度影响因素，有利于了解市场内顾客的消费动态变化；优势分析，即为参考序列和比较序列的数量均大于1的关联分析。此时所有的医疗健康市场系统特征行为序列和相关因素行为序列之间的关联度可以构造出一个灰色关联矩阵，如果某一行的各个元素均大于其他各行的对应元素，则该行的系统特征行为序列称为最优特征。如果某列的各个元素均大于其他各列的对应元素则该列的因素序列称为最优因素[12]，该方法可用于分析医疗健康机构盈利能力及医疗健康机构生产过程的优化。

3 logistic回归模型在医疗市场分析的应用

logistic回归属于概率型非线性回归，最为常用的是二分类logistic回归，是研究观察结果与影响因素之间关系的一种多变量分析方法。[13]按研究方法划分又可分为条件logistic回归和非条件logistic回归，前者针对配对或配伍研究，后者针对成组研究。应用logistic回归需满足以下条件：独立性，即各观测对象间是相互独立的；logitP与自变量是线性关系。

样本量，即经验值是样本对照各50例以上或为自变量的5～10倍，当样本量较小或不能进行似然估计的情况下可采用精确logistic回归分析，此时要求分析变量不能太多，且变量分类不能太多； 当队列资料进行logistic回归分析时，观察时间应该相同，否则需考虑观察时间的影响。logistic回归模型的一般形式为：设有一个二值应变量Y，取值如下：Y=1，出现阳性结果（有效、发生等）0，出现阴性结果（无效、未发生等）

另有m个影响Y取值的自变量X1， X2， …， Xm，记在这m个自变量做一些阳性结果发生的概率为P=P（Y=1X1， X2， X3， …， Xm），则 logistic回归模型可表示为：

在医疗健康市场的发展过程中，通常会遇到大量参与经营与竞争的市场主体的观测因变量是二分类测量（即y=1或y=0），也就是说市场主体的行为可应用logistic回归模型进行分析。此外，医疗机构是我国经济的重要组成部分，需要对其影响市场发展趋势及规模的因素做出科学预测。通过引入该回归模型进行分析，研究患者对医疗机构服务的需求影响因素，将对医疗市场各主体的行为选择产生重要的影响，有助于改进各经营主体的服务，实现多赢。因此，在医疗市场的分析过程中，采用logistic回归模型具有以下方面的作用：①寻找影响因素，如患者对医疗服务的认知与选择其服务的影响因素、各影响因素变量与服务项目接受度之间的关系及其影响程度等；②预测，如果已经建立了logistic回归模型，则可以根据模型预测在不同的自变量情况下，医疗市场中发生某种情况的概率；③判别，根据logistic回归模型，判断医疗市场中发生某种情况的概率有多大的可能性。

4 马尔可夫模型、灰色关联度模型和logistic回归模型应用的侧重点

马尔可夫模型、灰色关联度模型和logistic回归模型在医疗市场运营发展中的应用有着各自的侧重点。马尔可夫模型的预测不需要连续的历史数据，通过近期的资料就可以预测未来，因此多用于医疗市场各经营主体对未来市场占有率发展趋势的短期预测。[15]然而，马尔可夫模型的应用必须满足马尔可夫性与转移概率的稳定性，即基于转移概率稳定性假定的要求，市场占有率的转移概率矩阵是相对稳定的。事实上，在预测过程中发现，市场占有率的转移概率矩阵很难保持稳定不变，所以马尔可夫模型仅可以预测各经营主体未来市场占有率处于某一水平的概率，并非表示未来市场占有率必然稳定于该水平。因此，在选择市场时，通常选择相对稳定的时期，应避免淡旺季等特殊时期，预测市场占有率。[16]灰色关联度模型则侧重应用于医疗市场中顾客满意度评价分析及消费者需求的预测，能够较為方便地对影响医疗机构的多项因素做出分析和评价。灰色关联分析方法操作简便，所需数据较少，结论清晰，要求样本容量可以少到4个，适用于分析无规律数据，避免了量化结果与定性分析结果不符的情况。[17]另外，灰色关联度模型需要对各项指标的最优值进行现行确定，主观性较强，部分指标最优值难以确定。logistic模型在医疗市场研究中多用于研究市场中消费者对医疗机构有形无形服务的消费动机、偏好与需求行为影响因素方面，应变量y为二分类或多分类变量，自变量既可以为分类变量，也可以为连续变量。该模型的优点在于可在样本内外的数据进行预测，还可对预测的结果进行比较和检验。然而logistic回归模型理论上要求有大样本，否则将会导致计算值低于真实值。[18]现代医疗市场的研究方式是综合的，要实现对市场运营的准确预测与分析则应根据市场中的实际状况，根据模型的优势与适用范围进行应用数学模型。

5 结束语

数学模型在医疗市场的应用是一项极具发展前景的市场研究方法，能够对市场发展规律进行量化分析与预测，科学地掌握消费者的需求和消费习惯，促进市场内各经营主体有序管理与运营，实现医疗市场的可持续健康发展。

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