关于抽屉原理的一个补充

胡宇

摘 要：本文主要是为了探究抽屉原理的相关应用与推广，简单的介绍一下抽屉原理的定义，以及其表现形式，通过由浅入深由简单到复杂，循序渐进的了解抽屉原理。

关键词：抽屉原理 应用与推广

引言

历史上著名的2桃杀三士的故事其实用的就是抽屉原理，在这里我们将2个桃子看作2个抽屉，三个力士当作三个苹果，因为苹果比抽屉多，根据抽屉原理，可知至少有2个苹果装在一个抽屉中，因此造成了力士之间的互相残杀，由此可见，抽屉原理在生活中有非常广泛的应用。[1]

一、定义

第一抽屉原理

1.把m个物体放在n个抽屉中（m>n），则至少有一个抽屉中的物体不少于两件。

证明：若每个抽屉中至多只能放入一个物体，那么物体的总数应该是n，而不是题设的m（m>n）故不可能

2.把大于mn个的物体放入n个抽屉中，则至少有一个抽屉中不少于m+1的物体

证明：如果每个抽屉至多放入m个物体，那么n个抽屉至多放入mn个物体，与题设不对，故不可能。[2]

3.把无穷多的物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体（例如，将2x3-1）25个物体放入3个抽屉中，则必有一定有一个抽屉中的物体数大于等于2-1=1证明（反证发）：如果每个抽屉都有不少于m个物体则其物体总数应大于等于mn，与题设矛盾，故不可能

抽屉原理的应用与推广

①证明在任意6个人的集会上或3个人彼此认识或彼此不认识。

证明：用A，B，C，D，E，F六个点表示六个人，确认一个A，把其余5个点分别放入与A认识和与A不认识的两个抽屉中，根据抽屉的原理，至少有一个抽屉中有3个人，不妨假定与A认识的三个人为B，C，D有任意两个互相认识，比如B与C认识，则A，B，C构成一个三角形，即B，C。D三个人互相不认识，不论哪种情况，命题的结论都是成立的。

有5个小朋友每个人都从装有许多黑白围棋子的布袋子中任意摸出3枚棋子，请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色配组是一样的。

②证明一共有4种配组情况，可将其看做是4个抽屉。把每个人的3枚棋子作为一组当作一个苹果，共有5个苹果放入4个抽屉中，根据抽屉原理可得至少有两个苹果在同一抽屉里，即他们所拿的棋子的颜色配组是一样的。

一副扑克牌去掉两张王牌，每个人随意摸两张牌，至少有多少人才能得证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的！

扑克牌一共有4种花色，两张牌的花色可以有10种情况，将这10种情况，将这10种花色配组看作10个抽屉，则，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果，所以至少有11个人。

③在任意49个人中，至少有几个的属相相同？

因为一共有12個生肖，将12生肖看作12个“抽屉”则问题就变成了寻求一个“抽屉”里至少能“装”多个苹果（将人看作苹果），则平均每个抽屉装苹果大约49÷12=4...1，即4个人，而多出事的1个人 随机进入到某人抽屉中，所以总有一个抽屉中有四个人，也就是总有一种生肖属相里至少有4个人的属相相同。

④证明任取8个自然数必有两个数的差是7的倍数。

在整数中，若两个整数，它们除以自然数相同，那么它们的差a-b是m的倍数，根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的 数相同，我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的数0，1，2，3，4，5，6，分成7类，也就是7个抽屉，任取8个自然数根据抽屉原理必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的单数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。[3]

结语

抽屉原理是组合数学中研究存在问题的基本原理之一，也是非常解题直发的重要类型之一，在数论和组合论中有着广泛的应用。只有掌握了抽屉原理所含的思想和把握了这种解题技巧，那么我的数学就会有所提高，生活中的抽屉原理的应用还有很多很多需要我们，研究。解决这问题的正确利用抽屉原理的具体内容，正确构建抽屉，其实抽屉原理在现实生活中仅仅知识生活中的数学冰山一角，数学就在我们身边，用心观察生活，就会发现其中的奥妙。

参考文献

[1]陈林，阎满高，组合数学与图论北京中国铁道出版社2000.04

[2]邓毅，抽屉原理在十学数学中的应用，折课程十学，2013.5

[3]宁静，初中奥林匹克数学解题与命题的思想和技巧，广州大学学位论文2006 陆汝铃《数学计算逻辑》endprint