趣味连续和等式

吴朝阳，数学博士，历史学博士，计算机科学硕士，目前任教于南京大学。

“阿尚，1加2等于几？”“5啦。拜托——人家开学就3年级了。”“好吧，那4加5加6等于多少？”“很简单，等于15。”“为什么不说等于7加8呢？”“哦，真的是噢。”“阿尚，那你说9加10加11加12等于多少？”“那就等于13加14加15喽。”

在去瑞士的大巴上与小侄子的这段对话，引出的是如下一系列有趣的等式：

1+2=3

4+5+6=7+8

9+10+11+12=13+14+15

16+17+18+19+20=21+22+23+24

這个系列可以一直写下去，它有以下两大特点：①每个等式里的数都是连续自然数；②左边比右边多1个数。此外，我们还注意到，这系列等式恰好用尽所有的自然数，而第n个等式右边有刀个数，左边则比右边多1个。还有，等式中左右两串数的分界数有一个简单的公式：n（n+1）。

有趣的事情还有很多，例如，我们还有如下的系列等式

0+1+2=3

4+5+…+8=9+10+11

12+13+…+18=19+20+…+23

24+25+…+31+32=33+34+…+38+39

……=……

这系列等式从0开始，恰好用尽所有非负整数。与上一个系列不同，这系列等式左边总是比右边多2个数，其第n个等式左边有（n+2）个数，右边是n个，而这两串数的分界为2n₂。

如此有趣，我们自然会想：如果左边比右边多出u个数，会不会有系列等式？如果有的话，又会是什么样子？于是，我们开启探索模式。

设等式中参与加法的数从左到右是连续自然数，右边有m个数，左边多了u个，有m+u个数。记左边开始的数为后，则左边最后一个数是k+m+u-1。相应地，等式右边开始于k+m+u而终结于k+2m+u-1。于是，由等差数列的求和公式，我们得到：

于是，第一个等式的左边是从2到43，右边是从44到61。暗藏的一个趣味点是：这系列等式虽然不是从1开始，但后一个等式的数也恰好是接着上一个等式的。换句话说，这系列等式恰好用尽除了1之外的所有自然数。

我们略去繁琐的公式推导，仅在这里指出：当u为奇数，或者u的因数中恰有奇数个2，即u=2^2s-1（2t-1）时，我们都可以得到相似的系列和式，每个系列中的自然数前后相接，都用尽起始数之后的所有自然数。而当u是偶数且其因数中恰有偶数个2时，不存在类似的等式系列。

有一个“大名垂宇宙”的定理叫勾股定理，与之相应的最著名的等式是：3²+4²=5²。

这让我们好奇，会不会对平方和也有与上述相似的系列等式呢？于是，我们也马上展开探索。首先，我们需要明确“相似”的意思，从最直接的想法出发，我们对相似提出两点要求。

（1）左边、右边都是连续自然数的平方和，并且右边的第一个恰好比左边的最后一个大1；

（2）右边平方和的个数比左边少1个。

根据这种相似的意思，我们设等式的左边开始于石2，终止于（k+m）²。也就是说，左边的自然数从后开始，总共有（m+1）个。这样，右边的自然数必须从（k+m+1）开始，并终止于（k+2m）。因此，根据左右相等的条件，我们得到等式：k²+…+（k+m）²=（k+m+1）²+…+（k+2m）²。

应用自然数连续平方和的求和公式，有：

生命不止，好奇不息，我们继续考虑相似的问题：存在不存在左边比右边多2个数的平方和系列等式？左边比右边多u个的一般情况又如何？仔细推导发现：应用相等关系所得到的关于后的方程是一元二次方程，它除了u=1之外看不到解出整数后值的可能性。因此，这回的好奇心只好转而寻找新的兴奋点。

平方和相等的系列等式没有什么新的希望，那么考虑平方和之间有倍数关系会怎么样？确实，我们能够有所发

这，是不是非常有趣？

这有些难以置信？那我们就来做一做推导证明——这一点都不复杂。首先，很容易计算出：

然后，然后就不需要然后了。

使用代数方法推导，我们可以找到无穷多个这种连续自然数平方和的倍数关系式。例如，对从1到11的平方和也有无穷多串11个连续自然数的平方和是它的整数倍。最小的一个从47开始到57，倍数关系是59倍。

应用计算机计算，我们可以发现不少连续自然数的立方和等式，但系列等式似乎是不存在的。因此，我们对连续自然数的立方和，着重点也是寻找相似的倍数关系式，而我们也很快就找到好玩的实例：

这些公式有些抽象，但表格是非常直观的，我们计算出上列公式中的前6个，列表如下。endprint