探究物体在凸透镜一侧运动时所成像的运动规律

安徽省太和县宫集镇中心学校(236652)

王伟民

探究物体在凸透镜一侧运动时所成像的运动规律

安徽省太和县宫集镇中心学校(236652)

王伟民

对凸透镜而言，当发光体到透镜的距离(物距)大于透镜焦距时，在透镜另一侧便可以得到一个倒立的实像。那么，当物体在透镜的一侧运动时，它所成实像的运动速度是怎样变化的？实像的运动速度跟像距、物距以及物体的运动速度有定量关系吗？

以点光源为研究对象，分别就点光源的运动方向垂直于主轴和平行于主轴两种特殊情形进行定量分析。

1 点光源的运动方向垂直于主轴时，其所成实像的运动规律

如图1所示，在凸透镜左侧一倍焦距之外有一点光源，从A点沿垂直于主轴的方向运动到B点，与此同时，在凸透镜的另一侧其所成的实像由C点运动到D点。

图1 点光源垂直于主轴方向运动

由几何知识易知：△OAB∽△OCD

当物体运动的距离AB趋近于0时，像的运动距离CD趋近于0。此时，物体和实像运动的平均速度“演变”为各自的瞬时速度。

这就是说，不论物体运动速度是否均匀，当点光源沿垂直于凸透镜主轴方向运动时，其实像运动的瞬时速度与物体运动的瞬时速度之比，都等于此刻相距与物距之比(即此时凸透镜成像的放大倍数)。

2 点光源的运动方向平行于主轴时，其所成实像的运动规律

设凸透镜的焦距为f，物体从离开凸透镜s的位置(s>2f)以速度v匀速靠近凸透镜的同侧焦点，设经过时间t后，所得实像到凸透镜的距离为y。由凸透镜成像公式可得：

此时，像距与物距之比为：

(1)

对像距y与时间t间的函数关系式求导，便可确定像的运动速度：

所以，实像运动速度与物体运动速度的比为：

(2)

比较(1)、(2)可以得出下面的结论：凸透镜成实像并且物体在主轴上由较远距离匀速向焦点运动时，在某时刻实像的运动速度与物体运动速度之比，等于此刻像距与物距比的平方。若设像距与物距之比为k(即凸透镜成实像时的放大倍数)，则有：

v像=k2v

(3)

如果物体是作变速运动，把物体在主轴上的运动轨迹分成n等份，当n趋近于无穷大时，在每一个小的长度元中，物体可视为匀速直线运动。所以，物体在每一个长度元中运动时，(3)式成立，而这时的速度已演变为物体在这一长度元中的速度——这一时刻的瞬时速度。所以，关系式v像=k2v对于变速运动的物体同样适用。即凸透镜成实像时，某一时刻实像的运动速度等于物体运动速度与凸透镜成像放大倍数平方的乘积。

3 凸透镜实像运动规律的应用

例题:如图2所示的电路中，电源电压U=36 V不变，定值电阻R0=9 Ω，甲乙2只规格相同的滑动变阻器并联后连入电路。已知两变阻器线圈电阻均为180 Ω，线圈长度都为18 cm。刚开始闭合开关S后，变阻器乙的滑片P2位于距离线圈左端点C点1 cm处的位置时，电流表读数为2 A。接下来，滑动变阻器甲的滑片P1，让P1以0.2 cm/s的速度匀速向左滑动，为使电流表的示数保持不变，变阻器乙的滑片P2必须向右滑动：

图2 电路图

(1)求变阻器甲滑片P1开始的位置。

(2)分别求开始计时31.5 s和39 s后，变阻器乙滑片P2的滑动速度？

分析：由题目条件可知，在两滑动变阻器连入电路中的阻值发生改变时，电路的总电阻应保持不变。而总电阻恒定时，两并联电阻组成电路各支路电阻的变化关系(包括变化大小和变化速度的关系)跟凸透镜成实像实时像距与物距间的变化关系相同，将上面对凸透镜成像且物体沿平行于主轴方向运动速度与物体运动速度间的关系结论进行推广，显然有下面的结论(可以进行理论证明，过程跟探究凸透镜成像时像的运动速度与物体运动速度间关系的推理过程一样，这里不再重复推导)：要使R1、R2组成并联电路的总电阻保持不变，必须满足“在每一时刻滑片P1与P2滑动速度之比，等于两支路电阻比的平方”这一条件。

解析：(1)由欧姆定律可知，开始时，整个电路的总电阻为：

R1、R2并联的总电阻为R=R总-R0=9 Ω

当变阻器乙的滑片P2位于距离线圈左端点C点1 cm处的位置时，变阻器乙连入电路中的阻值为R2=10 Ω。根据并联电路总电阻公式可求得滑动变阻器甲连入电路中的电阻值为R1=90 Ω。所以，变阻器甲的滑片P1距离A端的长度为：

l1=90 Ω÷(180Ω÷18 cm)=9 cm

该点恰好位于滑动变阻器甲线圈的正中间位置。

(2)t1=31.5 s后，变阻器甲连入电路中的电阻为R1=90 Ω-31.5 s×0.2 cm/s×10 Ω/cm=27 Ω，根据并联电路总电阻公式求得变阻器乙连入电路中的电阻为R2=13.5 Ω。此时，变阻器乙滑片P2的运动速度为：

在时间t2=39 s后，变阻器甲连入电路中的电阻为R1=90 Ω-39 s×0.2 cm/s×10 Ω/cm=12 Ω，变阻器乙连入电路中的电阻为R2=36 Ω。此时，变阻器乙滑片P2的滑动速度为：

实验教学

2017-07-16