非线性黏弹性波动方程解的爆破

寇　伟

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)



非线性黏弹性波动方程解的爆破

寇伟

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

研究了带有非线性阻尼和源项的黏弹性波动方程解的存在性及爆破性问题。特别地，该方程主部系数μ(t)是关于时间t的一个函数。在假设条件下，获得了该问题局部解的存在性。在局部解存在前提下，利用势井理论和能量方法证明了当初始能量有上界时，解在有限时间内爆破，并给出了关于解的爆破时间估计。

解的爆破；非线性黏弹性波动方程；变系数主部；势井理论

0　引言

考虑下面的初边值问题：

(1)

其中：当n≥1时,Ω是Rn上带有光滑边界∂Ω的有界区域；m>2,p>2,g是一个C1类函数；Δ为关于空间变量的拉普拉斯算子。

近年来，许多学者已经研究过带有阻尼项的非线性波动方程的爆破问题[1-5]。文献[6]考虑了非线性黏弹性波动方程：

证明了当m≥p时,带有任意初始能量的解是全局存在的；当m

本文研究的是带有非线性阻尼和源项的非线性黏弹性波动方程的初边值问题。特别地，与文献[6]相比，该方程的主部系数由常数1变为关于t的函数μ(t)，并将条件由负初始能量推广到带有正上界的初始能量。在此基础上，参考文献[8-9]，用势井理论和能量方法证明了解的爆破，并给出了解的爆破时刻的一个估计。

1　准备工作

(H1)假设正实数m,p满足

(2)

(H2)假设μ∈W2,∞(0,∞)∩W2,1(0,∞)几乎处处在[0,∞)满足

μ(t)≥μ0>0,μ′(t)<0,

(3)

其中：μ0是一个正数。

(H3)假设g满足下列条件：

(4)

g(s)≥0,g′(s)≤0。

(5)

首先,给出系统的能量:

(6)

其中：

下面引进一些势井理论里的记号：

下面给出解的局部存在性定理。

下面给出证明中用到的4个引理，其证明过程与文献[8]类似。

注3：在本文中，定义H(t)=E1-E(t)。

引理4如果引理3中的假设都成立，则对所有的t∈[0,T),2≤s≤p,存在一个正常数C使得

(7)

其中：C3、L和α将在本文的后面给出。

2　定理2的证明

定理2可分两种情形证明。

情形1如果0

H′(t):=-E′(t)≥0；

(8)

H(t)≥H0:=E1-E(0)>0。

(9)

根据引理3、注1、式(3)和式(4)有：

(10)

首先，定义

I(t):=∫Ωutudx+NE1t,t∈[0,T)。

对I(t)求导得：

(11)

对式(11)的第2项运用杨氏(Young’s)不等式和柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式来估计，得：

因此，式(11)变为：

(12)

运用Lp(Ω)→Lm(Ω),有：

(13)

(14)

其次，定义：

(15)

对式(15)关于t求导，由式(12)和式(14)得：

(16)

很明显有：

(17)

ε(a2-a3)(g∘u)(t)+ε[N-(p-2a3)]E1。

(18)

对式(18)第4项的部分系数做处理，由式(4)得：

选择ε,ε1充分小和N足够大，就有：

(19)

其中：C2是一个正常数。

由式(19)可知：L(t)是一个增函数，因此对所有t∈[0,T)，有L′(t)>L0>0。

于是，对所有的t∈[0,T)，有：

L′(t)≥C3Lα(t)，

(20)

(21)

于是有：

(22)

运用引理4，得：

(23)

将式(23)代入式(22)可得：

(24)

(25)

式(25)表明L(t)在有限时间内爆破,且爆破时刻的估计式为式(7)。

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[2]LIU W,WANG M.Blow-up of the solutions for ap-Laplacian equtions with positive inital-enery[J].Acta applicandae mathematicae,2008,103(2):141-146.

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[4]赵丽英,任俊艳,王周峰.一类非线性波动方程的初边值问题[J].河南科技大学学报(自然科学版),2009,30(3):84-87.

[5]赵丽英,和凌云.一类非线性波动方程解的爆破[J].河南科技大学学报(自然科学版),2011,32(1):75-78.

[6]MESSAOUDI S A.Blow up and global existence in a nonlinear viscoelastic wave equations[J].Mathematische nachrichten,2003,260(1):58-66.

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[9]HA T G.Blow-up for semilinear wave equation with boundary damping and source terms[J].Journal of mathematical analysis & applications,2012,390(1):328-334.

[10]HA T G.Blow-up for wave equation with weak boundary damping and source terms[J].Applied mathematics letters,2015,49:166-172.

国家自然科学基金项目(11171195)

寇伟(1989-),女,山西太原人,硕士生,主要研究方向为偏微分方程.

2016-06-07

1672-6871(2017)01-0088-05

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.01.018

O175.2

A