数学解题中猜想能力的培养

何景贤

【摘要】结合中学生学习数学思维的单一性以及缺乏创造性，举例说明学习数学中大胆猜想的意义，同时揭示猜想在数学学习中的重要性，使学生在学习数学中能从“生活直观”到“抽象思维”的飞跃。

【关键词】诱导启迪；大胆猜想；激发兴趣；抽象飞跃；注重实践

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）03-0227-01

中学数学的教学目的是为了培养学生的创造性思维能力和创新能力。猜想是直觉思维的启迪，属于创造性思维的一种形式，它是用已掌握的知识作为基础，沟通具体事物和抽象性思维间的联系，它揭示问题的本质，使“生活直观”抽象思维跃进，从而找出解题的捷径。因此，在数学教学中，应当注意学生猜想能力的培养，以达到数学教学的目的，那么怎样才能培养学生的猜想能力呢？

一、注重诱导启迪，激发猜想兴趣

“公欲利其事，必先利其器”。要培养学生在数学解题中的猜想能力，必须先为学生创设一个激励的平台，激发学生的猜想兴趣，因为兴趣是促使人们刻苦获取知识的动力之一，学生若对某一方面的知识感动有兴趣，就会自然而然地去留意工作、学习和日常生活中与之有关的知识，因此在教学中应根据学生想知道，而又未知道；想掌握而又未能掌握的问题进行情景的创设，提出一些学生极想解决的问题，例如在讲授“球的体积公式”时，可向学生提出一系列问题：“一个半径为R的半球，它的体积是多少？”，“你是否有办法知道盛满水的半球中装了多少水？”，“给一个底面半径和高都是R的圆柱管，你能否确定管中装了多少水？”。提出问题后，让学生思考及演示，猜想得出：V半径=V圆柱=πr3

二、克服畏惧心理，鼓励大胆猜想

任一门科学的发现，都是在人们大胆假设的猜想下形成的，数学也不例外。在日常的教学中，我们发现，很多数学概念的形成、结论与解题方法被发现的过程中，面临着大量的假设与猜想，选择主要是靠直觉思维来进行，虽然由直觉思维所得的猜想显得理由不足，说服力不够，但它却具有顿悟、飞跃的特征，但这种非邏辑的思维正是数学发现的关键。正如伟大的数学家牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就不会有伟大的发现和发明。”因此，在教学中，我们应当重视并且鼓励学生大胆进行猜想，从而培养学生的猜想能力。在日常的教学中，要引导学生把思维集中到问题的探索研究中，多鼓励学生猜一猜、想一想。例如在讲三角内角等于1800时，我们可让学生画出几个边长、周长、各角大小都发生变化的三角形，让学生思考发现其中不变的因素，然后老师再归纳出三角形的内角和为1800，最后由教师给出证明的思路和方法。

三、培养观察力，奠定猜想基础

不明确的猜想依据，来源于敏锐的观察力，而敏锐的观察力又来源于基础知识的积累。所以在教学中，必须加强学生基础知识和基本技能的训练，同时都会学生分类及归类，以及知识间的互相沟通运用能力，因为猜想实质上是从一事物想到另一事物的心理过程，在解决数学问题中起着桥梁作用，它能把许多开关相似、内容相近、关系类同的问题互相沟通，所以在分析问题时应时时注意提醒学生观察题目的特点，特别是认真观察问题与所学知识的关系，进行类比分析，寻找出类同点，从而找出解题的捷径。例如在讲授二项式定理时，可先在黑板上演练以下几个式了：

（a+b）1=a+b

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

然后引导学生猜想它们之间的特点，从而引出二项式定理：

四、重视思想方法，提高猜想能力

猜想是一种创造性的思维能力，要培养创造性的思维能力，提高学生的猜想能力，还必须重视数学的思想方法的教学，特别是在数学的解题教学中，要教导学生正确理解题意，弄清题目的思想和意图，明确考察的范围，从中寻求关键所在，巧造解题的最佳途径，打开解题的突破口，同时在解题教学中，应当大力鼓励学生进行大胆猜想，开阔思路，使知识真正学活，从而达到了由“生活直观”到“抽象思维”的飞跃。

例如对问题：“观察边长这6，8，10；5，12，13的两个直角三角形，它们的面积等于周长（单位不计），试问：哪一类三角形具有此性质？”通过对问题的观察分析得出以下结论：

（I）62+82=102，52+122=132；

（II）6+8=10+4，5+12=13+4

由上面分析归纳出两点，第一是均为直角三角形；第二是两直角边之和比斜边大4。于是可大胆猜想：两直角边之和比斜边大4的直角三角形的面积等于周长（单位不计）

又如：椭圆的切线与两坐标轴交于A、B两点，坐标原点为O，求ΔOAB的最小面积。

该问题可引导学生从以下几方面进行猜想：

（1）能否用二次函数的极限问题解决？

（2））转化为基本不等式：（a，b∈R+）可否？

（3利用椭圆的参数方程x=acosθ

y=bsinθ转化为三角函数求值如何？

（4）利用切线的斜率和判别式可行吗？

通过这些思想方法的教育，来奠定猜想的基础。

五、注重实践，正确评价猜想

猜想是在已有的基础知识前提下进行的一种非逻辑的直觉思维活动，根据理论必须与实践相结合才能成为真理的，所以在数学教学中，必须要强调学生注重实践，正确评价猜想，也就是说，猜想必须经过严格的证明，才能成为真理。例如在复习两角和正切公式：tan（α+β）=时，给出一组问题：

（1）若A、B为锐角，且（1+tanA）（1+tanB）=2，求证：A+B=π/4

（2）求证：tan200+tan400+tan200·tan400=

（3）求证：tan3θ-tan2θ-tanθ=tan3θ·tan2θ·tanθ

（4）在ΔABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

引导猜想：由于以上四个题目的结构与公式：相同，可以直接用公式去解决。那么猜想是否成立呢？则必须要经过严格的证明，以（3）为例。

证明：左边=tan3θ-（tan2θ+tanθ）

=tan3θ-[tan（2θ+θ）（1-tan2θ·tanθ）]

=tan3θ-tan3θ（1-tan2θ·tanθ）=tan3θ·tan2θ·tanθ

通过证明，猜想是成立的（其他略）

猜想的重要意义是启迪人们的直觉思维，是一种创造性思维的形式，它能引起人们的创新意识。所以在数学的教学中应注重学生的猜想能力的培养。

参考文献

[1]高中数学代数教参.

[2]中学教研（2003第4期）解题技巧.

[3]中学数学教学参考资料（广东教育学院图书馆情报组编）（第5期）（18期）（21期）.

[4]高中数学.endprint