一种超静卫星动力学建模及控制方法*

张科备 王大轶 王有懿

1. 北京控制工程研究所，北京100190 2. 北京空间飞行器总体设计部，北京100194

一种超静卫星动力学建模及控制方法*

张科备1王大轶2王有懿1

1. 北京控制工程研究所，北京100190 2. 北京空间飞行器总体设计部，北京100194

针对Stewart超静卫星载荷和星体平台在姿态控制时存在平动和转动耦合问题，提出一种基于广义动量定理，反映载荷质心相对整星质心平动和转动耦合因素的动力学建模方法。由于载荷质心存在平动位移，极易造成Stewart平台支杆行程饱和，甚至发生碰撞。为避免支杆行程饱和，设计了具有平动前馈补偿控制的载荷控制器和具有支杆去饱和控制的星体平台控制器。通过3种姿态控制模式验证了控制器的正确性。仿真结果表明，在星体平台姿态实现10″控制精度的基础上，通过Stewart平台高精度指向控制，实现载荷0.1″指向控制。星体平台和载荷控制器在3种姿态控制模式下都能够有效实现支杆去饱和控制，避免发生机械碰撞。

Stewart超静平台；广义动量定理； 动力学建模；饱和控制

天文观测、高分辨率对地观测等航天任务要求载荷光轴指向亚角秒级控制。新一代天文望远镜詹姆斯韦伯(JWST)要求载荷光轴实现0.01"的指向精度与极高稳定度[1]。而制约光学载荷指向精度进一步提高的主要因素是卫星本体的微振动，包括高频扰动和挠性振动。因此，微振动隔离抑制与控制技术将成为载荷指向精度和稳定度进一步提高的关键技术[2-3]，将显著提升光学载荷成像质量。而目前航天器平台控制精度[4]与亚角秒级指向要求相去甚远，难以满足载荷高精度指向和高稳定度控制的需求。而具有高精度、高稳定度的天基Stewart平台为解决此类问题提供了新方法，将成为未来载荷控制的关键技术[5]。

然而，Stewart平台的引入使得载荷与星体平台分离，这极大复杂化了整星系统的动力学建模和计算机仿真。针对航天器挠性结构振动问题，王等[6-7]采用Stewart平台进行星体基座振动隔离控制，实现了航天器姿态稳定度优于0.00001(°)/s的高稳定控制。关等[8-9]针对卫星平台高带宽控制和隔振效果两者的耦合关系，提出了光学相机、超静平台隔振和姿态控制一体化设计，从卫星结构、控制以及载荷光学方面分析其动力学耦合对载荷视线抖动量的影响。针对多支杆隔振平台存在通道耦合问题，王等[10-12]设计了解耦合控制方法，将隔振平台多输入多输出系统变为单输入单输出线性系统，极大地简化了控制器的设计。Wu等[13-15]采用Kane方法建立Stewart平台的动力学模型，在考虑载荷质心、刚度和阻尼等不确定性情况下设计鲁棒控制器，实现了载荷高精度指向控制。Zhang等[16]采用牛顿-欧拉法建立了Stewart平台通用动力学模型，其被动隔振对象可以为载荷相机或控制力矩陀螺等执行机构。Xu等[17]在分析非接触式超静卫星特性的基础上，采用牛顿-欧拉法建立了载荷-Stewart平台-星体的动力学模型。Lopes等[18-19]采用广义动量定律建立了并联六支杆Stewart平台动力学模型，并指出与Kane等方法相比，广义动量法具有更少的计算负担。在上述等动力学建模方法中，大多针对Stewart平台固定基座的情况下进行动力学建模，且只有载荷一级控制，无法反映载荷和星体之间的协同控制，无法满足基于Stewart平台超静卫星的动力学建模和控制的需求。

为折衷处理精确动力学模型带来较大计算复杂度和数学仿真需要较少计算复杂度这一矛盾，采用广义动量法建立了基于Stewart超静卫星动力学模型。模型中，忽略Stewart平台支杆球铰之间的摩擦力等次要因素，主要考虑载荷质心和整星质心平动和转动相互耦合因素，这直接关系着Stewart平台支杆行程饱和与否。在此基础上分别设计了具有平动前馈补偿控制的载荷控制器，具有支杆去饱和控制的星体平台控制器。在星体平台姿态稳定控制的基础上，通过Stewart高精度控制，实现了载荷的高精度指向和稳定控制。通过姿态稳态控制、载荷主动指向和敏捷机动3种模式验证控制器的正确性。

1 动力学建模

如图1所示，基于Stewart超静卫星由载荷、星体平台以及Stewart平台组成。定义如下坐标系：整星质心坐标系fs(osxsyszs)，原点为整星质心os，各坐标轴固连在整星中心刚体上；星体平台坐标系fb(obxbybzb)，原点为星体平台质心ob，fb与fs平行；载荷坐标系fp(opxpypzp)，原点为载荷质心op，fp与fs平行；Stewart平台下平面坐标系fd(odxdydzd)，原点为Stewart平台下平面中心点od，fd与fs平行；Rb为ob与os的矢量距在fs系的表达；Rp为op与os的矢量距在fs系的表达；Rd为od与os的矢量距在fs系的表达；rp为载荷质量微元dmp与op的矢量距在fp系的表达；rb为星体平台质量微元dmb与ob的矢量距在fb系的表达；rli为Stewart平台第i个支杆质心oli与od的矢量距在fd系的表达。

图1 卫星本体和载荷结构框图

设Ic为整星惯量，mc为整星质量，Ib为星体平台惯量，mp为星体平台质量。Ili为Stewart平台第i个支杆的惯量，mli为Stewart平台第i个支杆质量，Ip为载荷惯量，mp为载荷质量。定义R1为星体平台部分，R2为Stewart平台部分，R3为载荷部分。

1.1 载荷动力学建模

设载荷质量微元dmp在惯性系下平动速度为vp，转动角速度为ωp，则载荷质心速度、角速度在整星质心fs系可表达为：

(1)

则载荷的动量和角动量在fs系下的表达为：

(2)

其中：cps为载荷的一阶距在fs系的表达；hp0为载荷的角动量在fs系的表达，定义：

(3)

式中：c3为载荷的一阶距在载荷质心坐标系fp的表达；Ips为载荷质心op相对于整星质心os的惯量在fs系的表达，计算：

(4)

(5)

根据动量定理和角动量定理可得到载荷的动力学方程为：

(6)

式中：fp和fpd为载荷受到的控制力和扰动力；Tp和Tpd为载荷受到的控制力矩和扰动力矩；其中控制力fpc和控制力矩Tpc由Stewart平台支杆输出。

1.2 星体平台动力学建模

设星体平台质量微元dmb在惯性系下平动速度为vb，转动角速度为ωb，则星体平台速度、角速度在整星质心fs系可表达为：

(7)

则星体平台的动量和角动量在fs系下的表达为：

(8)

式中：cbs为星体平台一阶距在fs系的表达；hp0为星体平台角动量在fs系的表达，定义为：

(9)

式中：c1为星体平台的一阶距在星体平台质心fb系的表达；Ib为星体平台质心ob相对于整星质心os的惯量在fs系的表达。计算为：

(10)

(11)

根据动量定理和角动量定理可得到星体平台的动力学方程为：

(12)

式中：fbc和fbd为星体受到的控制力和扰动力；Tbc和Tbd为星体受到的控制力矩和扰动力矩；fbs和Tbs为Stewart平台对星体平台施加的反作用力/力矩。

1.3 Stewart平台动力学建模

如图2(a)所示，Stewart平台第i个支杆与载荷面的接触安装点为Pi，在星体平台接触安装点为Bi，其单位方向矢量在fd坐标的表达为li。Pi点与载荷质心OP的矢量距在fd坐标的表达为pi，Bi点与平台质心Ob的矢量距在fd坐标的表达为bi。当星体平台固定时，只考虑Stewart平台与载荷的运动学关系，基于闭环矢量链法有：

Lili=rdp+Rθppi-(rdb+bi)

(13)

(14)

式中：δLi为第i个支杆的伸长量；δrdp为载荷质心的平动位移；δθp为载荷的转动角位移量。则Stewart平台6个支杆的伸长量可表示为：

(15)

其中：δL=[δL1,…,δL6]T，Jp为Stewart平台对载荷质心的雅克比矩阵。同理，Stewart平台对星体平台质心作用的雅克比矩阵为Jb[13]；

如图2(b)所示，当Stewart平台第i个支杆产生伸长量δLi时，其产生的主被动合力为：

(16)

式中，Fαi为主动控制力，由控制律输出决定。

图2 Stewart平台单支杆主被动隔振模型

Stewart平台各个支杆的主被动作用力施加到载荷和星体平台质心，构成的合力和合力矩为：

(17)

式中，F=[F1,…,F6]T为Stewart平台6个支杆主被动作用力。fbs和Tbs为Stewart平台对星体平台施加的合成反作用力和力矩。

2 超静卫星隔振与控制策略

2.1 主被动隔振

针对基于Stewart超静卫星星体平台存在宽频带扰动，王等[9]提出按频率区间进行分频段主被动隔振控制的思想：1)低频段扰动控制，采用低带宽指向传感器测量反馈，进行主动隔振和指向控制；2)中频段扰动抑制，通过带通传感器测量反馈，进行主被动扰动抑制控制；3)高频段抖动隔振抑制，通过设计支杆刚度、阻尼系数构造被动隔振模型，实现高频抖动隔振抑制。如图3所示，对于高频扰动，如CMGs的高频扰动，通过Stewart平台被动隔振模型实现高频抖动的衰减；对于中低频扰动，如帆板的振动等，通过加入主动隔振控制，显著降低中频段的共振峰值。通过设计低频段的载荷控制器，施加主动指向控制，改善低频扰动的抑制和指向控制效果，从而实现了超静平台的宽频带控制[9]。

图3 主被动隔振控制对比图

2.2 载荷指向控制

基于Stewart超静卫星不论是在载荷主动指向控制还是在整星敏捷机动，都需要实现载荷的高精度指向。因此，需要设计良好的载荷控制律，实现载荷高精度指向的同时满足Stewart平台支杆行程的饱和约束。针对载荷控制器设计，文献[10-14],在只有载荷姿态和角速度测量而无载荷平动测量时，仅设计了载荷的转动控制器。虽然也能实现载荷的高精度指向控制，但是Stewart平台支杆行程较大，容易造成支杆行程饱和，甚至发生机械碰撞。当载荷质心Op绕整星质心Os转动时，载荷质心Op也存在平动运动。在载荷无平动测量时，需要通过载荷的参考轨迹设计载荷的平动补偿，从而避免Stewart平台支杆行程饱和。则设计的载荷姿态控制器为：

(18)

式中：ωpr为载荷期望角速度；kpp，kpi和kpd为控制器系数；Δθp=θpr-θp为载荷误差姿态角；θpr为期望姿态；Δωp=ωpr-ωp为载荷误差角速度；Δθpi为载荷姿态误差积分量。

设计的载荷平动前馈补偿为：

(19)

式(18)和(19)分别给出了载荷姿态控制所需要的主动力/力矩。根据式(17)，Stewart平台各个支杆的控制量为：

(20)

式(20)实现载荷的控制力/力矩向Stewart平台支杆空间的转换。通过力F的控制实现各个支杆伸长量δL的精确控制。设Stewart各个支杆伸长量的控制精度为δLi，则由式(15)可得到姿态姿态控制精度为

(21)

式中：Δθj为载荷第j轴的控制精度，j=1，2，3；例如当Stewart平台支杆伸长量控制精度δli=0.1μm时，可计算出载荷的三轴姿态控制精度约为0.1″。从而保证了载荷的高精度指向控制。

2.3 星体平台控制

航天器星体平台设计控制器时需考虑平台和载荷之间的相对运动以及Stewart平台杆长限制等因素。在整星稳态控制期间，通过Stewart平台支杆控制实现载荷精确指向。由于Stewart平台每个支杆伸长量受限，当存在长时间干扰时，容易使每个杆行程饱和，甚至造成物理损坏。因此，航天器星体平台姿态控制需要考虑各个支杆去饱和控制。

设Stewart平台支杆的伸长量为δL，星体平台和载荷之间的相对位置和姿态关系为

(22)

式中：ΔR3和Δθ3为载荷和星体平台之间的相对平动位移和转动位移。其相对转动位移Δθ3需要通过星体平台姿态控制进行抵消，避免Stewart平台支杆行程饱和。星体平台控制器输出的指令力矩驱动整星进行姿态稳定控制或敏捷机动控制，因此，星体平台控制器需要实现整星的姿态稳定控制以及Stewart平台支杆去饱和控制。设计的卫星平台姿态控制器为：

(23)

式中：ωb为星体平台角速度；ωbr为星体平台期望角速度；θb为星体平台姿态角；θbr为星体平台期望的姿态角；Ic为整星惯量在fs系的表达：

(24)

上述控制器在保证卫星整星姿态稳定控制的同时，还能够保证卫星平台和载荷之间的相对姿态角尽可能的小，从而减小Stewart平台每个支杆的伸长量，实现每个支杆长度去饱和设计。

在将星体平台-Stewart平台-载荷视为一体进行姿态控制时，主要有3种姿态控制模式：1)：整星姿态稳态控制；2)：载荷主动指向；3)：整星敏捷机动。模式2时，当载荷和卫星本体之间的相对姿态较大时，通过式(22)计算载荷和星体平台相对姿态，通过式(23)实现星体平台向着载荷指向方向机动，减小Stewart平台支杆伸长量。模式3时，星体平台和载荷同时跟踪同一个参考轨迹进行敏捷机动控制。由于载荷控制周期快，因此载荷的姿态要超前于卫星本体姿态。设卫星本体控制周期为ΔT1，载荷控制周期为ΔT2(ΔT2<<ΔT1)，Stewart平台支杆最大伸长量为δLmax。由式(22)可知在一个卫星本体控制周期ΔT1内，载荷规划的参考轨迹角速度应满足：

(25)

超静卫星控制流程图如图4所示。模式1时，θpr=θbr为零参考姿态，整星进行姿态稳定控制。模式2时，星体的参考姿态θbr为零姿态，载荷参考姿态θpr为期望指向姿态。当Stewart平台杆长δL达到星体响应状态时，星体平台进行姿态控制，减小各支杆的伸长量。在模式3时，星体和载荷同时跟踪同一参考姿态。

图4 姿态控制流程图

3 仿真算例与分析

Case 1：姿态稳态控制

在超静卫星仿真平台上载荷和星体姿态控制数学仿真，验证超静卫星星体平台和载荷姿态控制策略的正确性。整星姿态控制仿真参数见表1。

表1 仿真参数

按表1中的参数进行整星姿态稳态控制仿真，仿真流程图如图4所示。图5给出了星体和载荷姿态控制精度对比。由图可知在外扰作用下，星体姿态控制精度优于10″。通过Stewart平台支杆的高精度控制，载荷姿态控制精度优于0.1″。验证了载荷和平台控制器在姿态稳定控制时的正确性。

图5 模式1时星体和载荷姿态控制精度

Case 2：载荷主动指向

在星体姿态稳定控制时，验证载荷主动指向控制以及星体平台控制器支杆去饱和设计的正确性。为了充分验证载荷各个方向的指向能力，设计载荷指向期望轨迹为在滚动-俯仰平面内半径为500″圆。在0～60s内进行载荷主动指向控制，通过Stewart平台的精细调节，实现载荷对期望轨迹跟踪控制。在60～100s内进行载荷和整星的稳态控制。载荷主动指向控制仿真结果如图6所示。图中表明载荷控制器能够实现载荷动态跟踪期望轨迹，其动态跟踪误差小于0.5″。对比星体控制器中添加与不添加式(22)2种情况时，Stewart平台支杆的伸长量。图7给出2种情况下各个支杆的伸长量对比情况。平台控制器中不添加式(22)支杆去饱和控制时，Stewart平台支杆的最大伸长量为4.2mm；此时Stewart平台支杆已超出最大行程3mm，即在载荷指向控制时，Stewart平台支杆发生机械碰撞，极有可能导致支杆损坏。平台控制器添加式(22)支杆去饱和控制时，Stewart平台支杆的最大伸长量为2.4mm；此时Stewart平台支杆无碰撞。由此可知，在平台控制器中添加式(22)支杆去饱和控制，能够有效避免Stewart平台支杆的行程饱和。

图6 模式2时载荷姿态主动指向控制

图7 有无支杆去饱和各支杆伸长量对比

Case 3：敏捷机动

验证在整星敏捷机动过程中，星体和载荷的动态跟踪能力。同时通过姿态机动控制验证星体控制器、载荷控制器及式(19)的载荷平动补偿控制的正确性。仿真参数见表2。

表2 机动仿真参数

星体平台和载荷同时进行滚动轴45°敏捷机

动。如图8所示，在0～40s内进行整星姿态敏捷机动，载荷和星体平台能够实现对参考轨迹的跟踪控制。在机动过程中，星体平台姿态动态跟踪误差小于0.05°，而载荷姿态动态跟踪误差为优于2×10-4(°)。通过载荷控制器中添加和不添加式(19)两种情况下Stewart平台支杆伸长量，证明载荷控制器添加式(19)载荷平动补偿的必要性。图9给出在姿态机动时，两种情况下各个支杆的伸长量对比。当载荷控制器不添加式(19)时，Stewart平台支杆的最大伸长量为5.2mm。此时Stewart平台支杆已超出最大行程3mm，即在敏捷机动中，Stewart平台支杆发生机械碰撞。载荷控制器中添加式(19)时，Stewart平台支杆的最大伸长量为1.9mm；此时Stewart平台支杆无碰撞。由此可知，在载荷控制器中添加式(19)平动补偿控制，能够有效避免Stewart平台支杆的行程饱和。

图8 模式3时星体和载荷姿态和角速度

图9 有无平动补偿控制各支杆伸长量对比

4 结论

以基于Stewart超静卫星主动指向和敏捷机动为研究背景，采用广义动量定理建立包括载荷平动转动、整星平动转动在内的耦合动力学模型。分别设计了载荷和平台姿态控制器，并通过3组仿真算例验证控制器的正确性。仿真结果表明：1)建立的动力学模型能够正确反映载荷平动和转动之间的耦合关系；2)设计的载荷、星体平台控制器在姿态稳定控制的前提下实现Stewart平台支杆去饱和控制；3)在星体平台姿态控制优于10"的基础上，通过Stewart平台高精度控制，实现载荷指向精度优于0.1″。平台控制器添加去饱和控制、载荷控制器中添加平动补偿控制能够实现Stewart平台支杆去饱和控制，有效避免Stewart平台支杆发生碰撞。

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DynamicsModelingandControlforUltra-QuietSatellite

Zhang Kebei1, Wang Dayi2, Wang Youyi1

1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China 2. Beijing Institute of Spacecraft Engineering, Beijing 100190, China

Todescribethecouplingfactoroftranslationandrotationactually,dynamicsmodelingbasedongeneralizedmomentumispresentedforStewartultra-quietsatellite.Thecouplingfactorbetweencentroidofpayloadandspacecraftisexactlyanalyzedinthedynamicsmodel.Duetothetranslationofpayloadcentroid,thelengthsofStewartstrutsareeasilysaturable,evencollisionoccurred.Todealwiththisproblem,thepayloadcontrollerwithtranslationcompensationandbasecontrollerwithstrutsdesaturationaredesigned.Theyarevalidatedbythreeattitudecontrolmodes.Simulationresultsshowthatthepayloadpointingaccuracyisupto0.1″,whilethebaseattitudecontrolaccuracyis10″.Thestrutsdesaturationperformanceofpayloadcontrollerandbasecontrollercometrueinthreeattitudecontrolmodes.

Stewartultra-quietspacecraft;Generalizedmomentum;Dynamicsmodel;Saturationcontrol

TB535

A

1006-3242(2017)05-0037-08

*国家杰出青年科学基金(61525301)；国家自然科学基金重大项目课题(61690215)

2017-01-26

张科备(1985-)，男，山西人，博士研究生，主要研究方向为航天器指向控制；王大轶(1973-)，男，黑龙江人，研究员，博士生导师，主要研究方向为航天器导航、制导与控制；王有懿(1983-)，男，黑龙江人，博士，主要研究方向为航天器主动隔振与精确指向控制。