基于混沌分形理论的金属疲劳损伤过程的特征分析

张玉华, 李欣欣, 黄振峰, 毛汉领

(1.广西大学 轻工与食品工程学院,南宁 530004； 2.广西大学 机械工程学院,南宁 530004)

基于混沌分形理论的金属疲劳损伤过程的特征分析

张玉华1, 李欣欣2, 黄振峰2, 毛汉领2

(1.广西大学 轻工与食品工程学院,南宁 530004； 2.广西大学 机械工程学院,南宁 530004)

为了有效地分析金属疲劳损伤过程中裂纹扩展与演化的特征，提出利用混沌分形理论对蕴含疲劳裂纹扩展规律的超声非线性输出信号进行分析，用Lyapunov指数、K熵、关联维数等特征量对金属疲劳损伤过程的特性进行表征和评价。采用RITEC公司的RAM-5000系统获得具有不同疲劳损伤程度试件的超声非线性输出信号，计算疲劳过程中的Lyapunov指数、K熵、关联维数。分析结果表明金属疲劳损伤过程中超声非线性输出信号具有混沌特性；Lyapunov指数、关联维数、K熵等特征值随疲劳循环次数单调递增，当宏观裂纹出现后趋于饱和，说明疲劳损伤过程中试件内部的复杂程度和混沌特征逐渐增强；由疲劳过程中微裂纹的演化规律可知，混沌分形特征值可以有效地表征试件在疲劳过程中裂纹的变化规律和群体性行为。因此混沌分形理论可以有效地分析金属疲劳损伤过程中裂纹扩展与演化的特征，根据混沌分形特征值—疲劳循环次数的关系，为试件的疲劳寿命预测提供了一种新的分析方法。

非线性超声；疲劳损伤；Lyapunov指数；关联维数；K熵

金属试件在服役过程中，疲劳断裂是主要的失效形式。在外界载荷作用下，试件内部微观结构表现为位错群的产生、驻留滑移带和微裂纹的形成和扩展，宏观裂纹的产生，直至试件断裂失效[1]。(在早期力学性能退化阶段，由于位错和滑移带等微观缺陷，单一频率的超声波在金属内传播时波形发生畸变，产生高次谐波，利用二次谐波幅值对材料的早期疲劳损伤进行检测和评价。大量学者开展了许多相关研究，Shah等[2]通过实验探究线性和非线性参数对材料疲劳的敏感程度，随着疲劳次数的增加，相对非线性系数明显增加，但衰减系数、声速等线性参数变化不大。吴斌、税国双等[3-4]探究了声学非线性参数和材料疲劳性能的关系。Matlack等[5]利用瑞利波探究汽车零件17-4PH不锈钢的热辐射损伤，随着试件老化时间的增加，试件的声学非线性参数逐渐减小，该结果与试件的微观结构演化规律相一致。陈振华等[6]利用高次谐波检测薄板点焊焊核的微小缺陷，表明非线性超声检测具有很高的检测能力。但是这些研究通过对疲劳过程中的超声非线性输出信号进行频谱分析，由二次谐波和基波幅值探究试件的非线性特性。由频谱分析的原理可知，该方法适合处理平稳的线性信号[7]。而在疲劳损伤过程中，微裂纹个数、尺寸、扩展路径等一直在发生变化[8]，其微观结构高度不均匀且十分复杂，超声非线性输出信号是反映金属疲劳损伤、并经过复杂传播的非平稳时间序列，如何有效地提取超声非线性输出信号，合理的表征疲劳损伤过程中裂纹的群体行为和演化规律是非线性超声检测技术的关键问题。

混沌和分形理论的发展为深入分析非线性时间序列的内在机理提供理论基础，广泛应用于机械设备故障诊断和特征提取的研究中。孙自强[9]利用混沌分形理论对风力机械传动系统的振动数据进行分析，对相关的故障诊断和状态预测进行研究，并把分维数可以作为风电运行状态以及不同故障识别的一种有效手段；Takuma等[10]计算剪切加工过程中声发射信号的关联维数和最大Lyapunov 指数，并对刀具的磨损状态和剩余寿命进行评估。然而这些研究都是对系统的振动信号或与振动有关的信号进行特性分析，振动信号包含了较多的环境噪声，且数据量比较大，对系统的特征分析和提取带来了一定的困难。而超声非线性输出信号是反映系统特性的另一种时间序列，受环境影响较小；超声波在试件中传播与缺陷发生非线性相互作用，输出信号能够更直观地反映系统的内在特性，因此，在对试件疲劳损伤特征进行分析时，超声非线输出信号可以有效地替代振动信号。Wang等[11-12]探究了复杂应力状态下高温低周疲劳表面短裂纹行为，并用计盒维数对裂纹的群体行为进行表征。由于不同的混沌特征值可以从不同的角度反映非线性系统的特征，为了充分、全面地分析金属疲劳损伤过程中裂纹扩展与演化特征，对超声非线性输出信号的多组特征值进行分析，深入探究金属疲劳过程的特性。

本文利用RITEC公司的RAM-5000系统获得具有不同疲劳损伤程度试件的超声非线性输出信号，在相空间重构的基础上，利用小数量法、最大似然法和GP算法估算超声非线性输出信号的Lyapunov指数、K熵、关联维数，探究金属疲劳损伤过程中混沌分形特征值的演化规律，通过对混沌分形特征值的分析深入地理解金属材料疲劳过程的裂纹扩展和演化规律，通过建立混沌分形特征值-疲劳损伤的关系，为金属构件疲劳寿命的预测提供了一种新的分析方法。

1 混沌分形特征值估算方法

混沌吸引子是混沌系统最显著的特征，它表示系统最终会做规律的运动，产生规则、有形的轨迹。这种轨迹在经过类似拉伸、折叠后转化成与时间相关的序列，表现出混乱、复杂的特性。相空间重构技术利用合适的嵌入维数m和延迟时间τ，重构m维的相空间Y(ti)，恢复吸引子的特性。通过对吸引子特征量——Lyapunov指数、K熵、关联维数等的分析，深入了解非线性系统的内在特征[10]。

1.1Lyapunov指数

混沌运动最基本的特征是对初值条件极为敏感，两个初始临近点产生的轨道，随着时间的推移按指数方式分离，Lyapunov指数就是研究这一特征的量。根据超声非线性输出信号的特性，计算Lyapunov指数采用小数据量法，它是利用轨道上每对初始临近点的平均发散速率估计的。若时间序列{x1,x2,…,xN}，当潜入维数为m，时间延迟为τ时，重构相空间为

Yi=(xi,xi+τ,…xi+(m-1)τ)òRm，i=1,2,…,M

(1)

在相空间中，寻找给定轨道上点Yj的最近邻点Yj′，并限制短暂分离，即

j-j′>p

(2)

P为时间序列的平均周期。每对初始临近点，经过i个离散步后的距离dj(i)，

dj(i)=Yj+i-Yj′+i,i=1,2,…min(M-j,M-j′)

(3)

对于每个离散时间步i，求出所有j的lndj(i)的平均值y(i)，

(4)

式中:q为非零dj(i)的个数，并用最小二乘法对i-y(i)作回归直线，该直线的斜率即为最大Lyapunov指数。

1.2K熵

Kolmogorov熵(K熵)是吸引子的一个重要特征值，它对系统的混乱程度进行整体的度量[13]。在混沌系统中，由于非线性系统的初值敏感性使轨道的指数发散，因此K熵为一正值，其值越大，信息的损失速率越大，系统越复杂。本文采用最大似然法估算时间序列的K熵。

1.3关联维数

分形维数是描述吸引子的另一个重要参数，可以对系统的非线性行为进行定量描述，关联维数就是其中的一种，它表示吸引子相空间结构的复杂程度，因此，它可以很好地反映时间序列中蕴含的系统信息。

重构m维相空间中有N个点，如果两点yj和yj间的欧式距离dij小于给定值临界值r，称有关联的分量，有关联的矢量对数所占的比例称为关联积分Cn(r)：

(5)

其中，θ(x)为Heaviside单位函数，其定义为：

(6)

由于关联积分与给定临界值存在如下关系：

(7)

则D就是关联维数，其计算式如下

(8)

用最小二乘法拟合双对数曲线，该线的最佳拟合直线段区为无标度区，无标度区的斜率就是关联维数。

2 试验系统与方法

2.1非线性超声测试系统

图1是非线性超声测试系统原理图，利用RAM-5000主机产生15个周期的正弦脉冲信号，经衰减器和两级低通滤波器后，驱动中心频率为5 MHz的激励换能器，超声波在试件中传播与缺陷发生非线性作用，并由中心频率为10 MHz的换能器接收，直接传输至RAM-5000主机的receiver2通道。带通滤波器和前置放大器专门处理接收信号中微弱的二次谐波信号，并将处理后的信号传输至receiver1通道。采用黄油作耦合剂，同时也要保证激励和接收换能器在同一轴线上，避免能量损失。利用示波器采集接收换能器的输出时域信号(超声非线性输出信号)，并对信号进行256次平均，提高信号的信噪比。

图1 非线性超声测试系统原理图

2.2试件制备

试件规格如图2所示，材料选用45#钢，其长、宽、厚度分别为130 mm、30 mm、15 mm，用线切割技术在试件中部加工5 mm的机械缺口，线切割钼丝直径为0.18 mm，试件表面进行抛光处理。试件共6根，分别编号1,2,3,4,5和6。在三点弯曲疲劳试验中，两支点的跨度为120 mm，支点1距试件左边缘的距离为5 mm，支点和加载位置如图2所示。

三点弯曲疲劳试验在长春新科PX20高频疲劳试验机上完成，其参数设置如表1所示。

首先对试件5和6进行疲劳试验，测得疲劳循环寿命分别为1.78×105和1.85×105次，并根据经验确定该批试件的疲劳循环寿命为1.80×105次。对试件1、2、3、4进行中断疲劳试验，当加载至相应的疲劳次数时(疲劳循环寿命的百分比为10%、20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%)，暂停试验机，对试件进行超声激励试验，获得超声非线性输出信号，然后再对试件继续进行疲劳试验，直至试件失效。每次超声试验均重复进行6次，以减小随机误差。

图2 试件/mm

设备参数设定值加载类型正弦交变应力加载频率自适应最大加载力/kN-1．3最小加载力/kN-13

3 试验结果与分析

3.1非线性超声测试系统性能分析

在非线性超声测试系统中，试验仪器、耦合剂、换能器等都会产生高次谐波，对测量结果造成影响。

当激励信号频率和超声波传播距离一定时，基波幅值的平方和二次谐波幅值成正比，据此可以判定试验系统的可靠性[14]。在其他条件相同的情况下，对试件3和4进行超声激励试验，激励电压分别为50 V、60 V、70 V、80 V、90 V、100 V，分析基波幅值平方与二次谐波幅值的关系，实验结果如图3所示。

图3 基波幅值和二次谐波幅值平方的关系

3.2超声非线性输出信号的混沌分形特征值计算

图4是示波器采集的超声非线性输出信号，该信号包含了两端的暂态过程和中间的稳态过程，为了抑制暂态过程对试验结果的影响，截取信号中间2 048个采样点作为混沌分形分析的时间序列。

计算吸引子的特征值时，首先对时间序列进行相空间重构，将其拓展到高维空间，恢复吸引子的动力特性，本文采用C-C法对超声非线性输出信号进行相空间重构。以试件4疲劳循环次数为30%的6组超声非线性输出信号为例，在最佳延迟时间和嵌入维数的基础上，利用小数量法、最大似然法、GP算法分别计算吸引子的Lyapunov指数、K熵和关联维数，将六组特征值的平均值作为该疲劳循环次数下的混沌分形特征值。图5是Lyapunov指数和关联维数的计算结果。

图4 超声非线性输出信号

(a) Lyapunov指数

(b) 关联维数

表2是试件4在不同疲劳损伤程度下的混沌分形特征值。采用上述方法依次计算试件1,2,3的混沌分形特征值。

从表2可以看出，在不同的疲劳损伤程度下，Lyapunov指数均大于0，说明疲劳损伤过程中超声非线性输出信号具有混沌特性。随着疲劳循环次数的增加，Lyapunov指数、K熵和关联维数均不断增加，说明试件内部的混沌特性不断增强。

表2 试件4的混沌分形特征值

3.3混沌分形特征值的演化规律

为进一步探究金属疲劳损伤过程中混沌分形特征值的演化规律，对各特征值进行归一化处理。将未经过疲劳加载试件的特征值记为λ0，经过疲劳加载试件的特征值记为λ′，利用λ′/λ0进行归一化处理，可得到试件归一化Lyapunov指数、归一化关联维数和归一化K熵与疲劳循环寿命之间的关系，如图6所示。

随着疲劳循环次数的增加，混沌分形特征值逐渐变大，说明试件内部的复杂性和混乱程度不断增加。通过对比分析可知，四个试件的Lyapunov指数、关联维数和K熵随疲劳循环次数的变化趋势大致相同，在疲劳循环的早期阶段，混沌分形特征值单调递增，在疲劳循环寿命为70%之后，各混沌分形特征值趋于稳定。在三组变化曲线中Lyapunov指数和关联维数的增加趋势较为明显，且在疲劳循环寿命为10%时，关联维数的增幅约为17%，说明关联维数对试件疲劳损伤的初期阶段较为敏感。

图6 归一化特征值与疲劳循环寿命的关系

3.4疲劳损伤过程中微裂纹的演化规律

由于试件具有5 mm深的机械缺口，所以缺口处局部应力较大。在循环载荷作用下，缺口的尖端形成应力集中区域，会有大量的微裂纹萌生并伴随有扩展的现象，试件内部结构会随着微裂纹的出现变复杂，因此试件的非线性特性增强，混沌分形特征值增大。由于关联维数是系统混乱程度的度量，所以在大量的微裂纹萌生时，关联维数有一个较大的增幅。随着循环载荷的进行，微裂纹继续萌生和扩展，并有一定数量的微裂纹合并，少量的裂纹扩展较快，发展为主导裂纹，混沌分形特征值继续增加。此阶段中试件的损伤状态已经较为明显，多条主导裂纹持续扩展，且合体现象加速，形成致使试件失效的主裂纹。而在主裂纹的扩展过程中，试件内部不再有新的裂纹形成。

试件在疲劳循环寿命为70%左右时已出现明显的宏观裂纹，该宏观裂纹由主裂纹发展而来，当疲劳循环寿命在70%之后，宏观裂纹尺寸进一步变大，裂纹的数量和扩展路径的复杂度并未发生大的变化，所以混沌分形特征值在在疲劳循环寿命为70%时达到最大，而在疲劳循环的末期趋于稳定状态。因此，混沌分形特征值的变化可以有效地表征试件在疲劳损伤过程中裂纹的变化规律，揭示金属疲劳损伤过程的非线性特性。

金属试件在外界载荷作用下，混沌分形特征值逐渐增加，代表了裂纹形态的复杂程度及试件内部应力复杂程度的增加，即表面无序性的增长。由于Lyapunov指数可以表征系统的混沌程度，关联维数和K熵是系统混乱程度和复杂度的度量，而材料内部结构的复杂度反映了加载条件、所处环境和微观结构等多种因素，因此混沌分形特征值的演化规律可以表征材料的疲劳损伤过程，并可对试件的疲劳寿命进行预测。

4 结 论

(1)在不同的疲劳损伤程度下，超声非线性输出信号的Lyapunov指数均大于0，说明蕴含疲劳裂纹扩展规律的超声非线性输出信号具有混沌特性。

(2)混沌分形特征值随疲劳循环次数单调递增，当宏观裂纹出现之后，三个特征值趋于饱和，说明在疲劳损伤过程中，材料内部的混乱程度不断增加。且关联维数对疲劳损伤的初期阶段较为敏感。

(3)通过分析微裂纹的演化特征可知，混沌分形特征值随疲劳循环次数的变化曲线可以有效地表征疲劳损伤过程中微裂纹的演化规律和群体性行为。因此混沌分形理论可以有效地提取金属疲劳损伤过程的特征，通过对疲劳过程中混沌分形特征值的分析，利用特征值的演化规律可以对试件的疲劳寿命进行预测。

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Featureanalysisofmetalfatiguedamageprocessesbasedonthechaosandfractaltheory

ZHANGYuhua1,LIXinxin2,HUANGZhenfeng2,MAOHanling2

(1. Institute of Light Industrial and Food Engineering, Guangxi University, Nanning 530004, China； 2. College of Mechanical Engineering, Guangxi University, Nanning 530004, China)

To effectively extract the characteristics of crack extension and evolution in the process of fatigue damages, the chaos and fractal theory were introduced to analyze the output signals of the receiver in a nonlinear ultrasonic system. The ultrasonic nonlinear output signals were gathered by the RAM-5000 system and analysed by virtue of the chaos and fractal theory. Then the Lyapunov exponent, correlation dimension and K entropy were calculated to evaluate the nonlinear characteristics of fatigue damages. The study shows that the ultrasonic nonlinear output signals of metal fatigue damages are of chaotic characters. The Lyapunov exponent, correlation dimension and K entropy monotonously increase with the development of fatigue damages, and reach a stable state when the macro cracks appear. The chaotic characteristic values can effectively characterize the extension and evolution of cracks and fully reveal the nonlinearity of metal fatigue processes. The results provide a new analysis method for the fatigue life analysis based on the relationship between the chaotic characteristic values and fatigue life.

nonlinear ultrasonic; fatigue damage; Lyapunov exponent; correlation dimension; K entropy

TG115.28

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.012

国家自然科学基金(51365006;51445013)

2016-05-17 修改稿收到日期：2016-09-04

张玉华 女,博士生,1987年4月生

毛汉领 男,博士,教授,1963年11月生,E-mail:maoh179@gxu.edu.cn