颜色与物质浓度辨识的回归的分析

摘要 本文是讨论关于浓度与颜色读数之间的关系的问题，我们阐述了颜色读数的各个分量间的相互关系，建立了多元线性回归模型和二次回归模型，并对模型进行了误差分析和优化，从而验证了模型的有效性和精确性。模型的在化学元素检测实验中有一定的参考价值。

关键字 浓度 颜色读数 线性回归模型 误差分析

问题的重述

比色法是目前常用的一种检测物质浓度的方法，即把待测物质制备成溶液后滴在特定的白色试纸表面，等其充分反应以后获得一张有颜色的试纸，再把该颜色试纸与一个标准比色卡进行对比，就可以确定待测物质的浓度档位了。由于每个人对颜色的敏感差异和观测误差，使得这一方法在精度上受到很大影响。随着照相技术和颜色分辨率的提高，希望建立颜色读数和物质浓度的数量关系，即只要输入照片中的颜色读数就能够获得待测物质的浓度。试根据附件所提供的有关颜色读数和物质浓度数据（参考2017年全国大学生数学建模竞赛C题附件[1]），下表为其中一小部分数据：

完成下列问题：

（1）附件Data1.xls中分别给出了5种物质在不同浓度下的颜色读数，讨论从这5组数据中能否确定颜色读数和物质浓度之间的关系，并给出一些准则来评价这5组数据的优劣。

（2）对附件Data2.xls中的数据，建立颜色读数和物质浓度的数学模型，并给出模型的误差分析。

模型假设

（1）数据真实可靠。

（2）数据的采集符合统计学原理。

（3）H和S的数据作了适当的线性变换，并没有进行随意采取。

3、问题的分析与准备

3.1 RGB颜色空间

RGB颜色空间是采用R、G、B相加混色的原理，通过发射红、绿、蓝三种不同强度的电子束，叠加而产生色彩的。这种色彩的表示方法称为RGB色彩空间表示。根据三基色原理，用基色光单位来表示光的量，则在RGB色彩空间，任意色光F都可以用R、G、B三色不同分量混合而成：

F=rR+gG+bB

特别地，当三基色分量都为最弱时混合为黑色光；当三基色分量都为最强时混合为白色光。RGB色彩空间采用 物理三基色表示，因而物理意义很清楚，适合彩色显象管工作。然而RGB色彩空間并不适应人的视觉特点，因而产生了其它不同的色彩空间。

3.2 HSV颜色空间

HSV（hue，saturation，value）颜色空间的模型对应于圆柱坐标系中的一个圆锥形子集（如图），可以用一个圆锥空间模型来描述。

HSB（HSV） 通过色相/饱和度/亮度三要素来表达颜色.

H（Hue）：表示颜色的类型（例如红色，绿色或者黄色）.取值范围为0-360.其中每一个值代表一种颜色.

S（Saturation）：颜色的饱和度.从0到1.有时候也称为纯度.

B（Brightness or Value）：颜色的明亮程度.从0到1.

HSV色彩空间和RGB色彩空间只是同一物理量的不同表示法，因而它们之间存在着相互转换关系。

3.3 从 RGB 到HSV的转换

在所给的数据中颜色读数（R G B H S）和（R G B）其实确定同一种颜色，因此颜色读数与浓度的关系其实就是（R G B）与浓度的关系，这也将颜色读数的维数从5维降到了3维，这可以大大提高模型的质量。

关于数据的处理与说明

由于R，G，B与H，S，V可以相互转化，该问题中浓度与颜色读数的关系模型如下：

L=F（R，G，B，H，S）=W（R，G，B）+H+S-H（R，G，B）-S（R，G，B）

因此该问题简化成求L与R，G，B之间的关系模型W（R，G，B）。

但是数据Data2.xls中关于H与S的部分根据函数H（R，G，B）和S（R，G，B）算得的H和S并不与真实数据一致，根据数据其中的线性关系，更像是人为的对数据进行了线性变换，我们可以对数据进行简单的线性拟合，从而找回与数据中相匹配的可靠数据，因此，实际上以上模型应改为：

L=F（R，G，B，H，S）=W（R，G，B）+H+S-αH（R，G，B）-βS（R，G，B）+γ

其中α，β，γ可以用线性拟合求得。数据表Data1中用R，G，B求相匹配的H，S的结果可以用多项式拟合简单得到。接下来的论述都是以建立L与R，G，B的关系为主要任务。

4、模型的建立与求解

4.1 模型一 线性回归模型

4.1.1模型建立

在分析数据Data1.xls时，画出（B，L）（G，L）（R，L）的散点图，我们发现其中数据基本呈现线性关系。因此针对数据data1.xls建立如下线性回归模型：

其中L为物质的浓度，R，G，B为回归自变量， 为回归系数。

4.1.2模型求解

利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解，data为自变量与应变量的数据，应变量数据放第一列，这里数据太多就不全部列出了，其命令参照以下代码：

x1=data（：，2）；

x2=data（：，3）；

x3=data（：，4）；

y=data（：，1）；

x4=[ones（10，1）]；

x=[x4，x1，x2，x3]；

[b，bint，r，rint，stats]=regress（y，x）

for i=1：10

L（i）=b（1）+b（2）*data（i，2）+b（3）*data（i，3）+b（4）*data（i，4）；endprint

end

L

得到模型一回归系数的估计值、置信区间、 、F、p等结果见表1。

表1

问题一中的浓度与颜色读数的关系为下列5个模型：

组胺：L=182.3872-0.1718R-2.2888G+0.6512B

溴酸钾：L=152.2913-1.3663R+7.4619G-7.187B

工业碱：L=15.5381+0.06R-0.0404G-0.1013B

硫酸铝钾：L=7.7733+0.0366R-0.1022G+0.0049B

奶中尿素：L=13891.00649-112.303876R-0.20865303G-2.20340476B

4.1.3比较数据的优劣

数据Data1.xls中5组数据分别用模型一进行线性回归，求得每个样本的L的回归值，并相应求出绝对误差，最后求出相对平均误差和误差方差。每组数据的相对平均误差定义为：

表2

对于数据的优劣我们主要依据估计量回归的误差分析，一般误差的均值水平越低说明数据回归的精确度比较高，误差的方差越小说明数据抗干扰能力越强，但由于选取样本点浓度的大小水平不一，因此为了更公平衡量数据质量，引进了相对与平均浓度的相对平均误差 w ？，可见5组数据中组胺这组最优，而奶中尿素这组最劣，其他组相对中等，具体要看实验的敏感度的要求而定，我们讨论的结果只是其中的相对比较。

4.2模型二 二次回归模型

在分析数据Data2.xls时，画出（B，L）、（G，L）、（R，L）的散点图，我们发现其中数据基本呈现曲线的形状，也可能近似于二次函数。本文采用3维二次函数穷举优化的方法[4]，最终确定以结果的可行性、误差、方差所作的综合评价为依据的最优模型。

4.2.1建立模型

s.t 模型可行性、平均误差最小、误差方差最小.

4.2.2模型求解

该模型中各个分模型都可以利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解， data为自变量与应变量的数据，应变量数据放第一列，这里数据太多就不列出了，以下命令为线性回归完全二次方程的命令，其他几个只要修改一下x即可。

x1=data（：，2）；

x2=data（：，3）；

x3=data（：，4）；

x4=x1.^2；

x5=x2.^2；

x6=x3.^2；

x7=x1.*x2；

x8=x1.*x3；

x9=x2.*x3；y=data（：，1）；

x10=[ones（25，1）]；

x=[x10，x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9]；

[b，bint，r，rint，stats]=regress（y，x）

for i=1：25 L（i）=b（1）+b（2）*data（i，2）+b（3）*data（i，3）+b（4）*data（i，4）+b（5）*（data（i，2））^2+b（6）*（data（i，3））^2+b（7）*（data（i，4））^2+b（8）*data（i，2）*data（i，3）+b（9）*data（i，2）*data（i，4）+b（10）*data（i，3）*data（i，4）；

end

L

其主要数据列在下表：

从R^2、F、p可以看到8个模型都是可用，并且完全二次模型R^2=0.99057，说明该模型回归质量更好，其次看它们的平均误差与误差的方差完全二次模型明显更小，根据以上比较，确定二次模型中，完全二次模型最好，并求得L与R，G，B之间的关系满足以下完全二次模型：

L=146640.8869-2288.20429R+460.1482G-83.0718B+〖10.63497R〗^2+0.973G^2+0.3904B^2-5.6242RG-0.9313RB+0.7849GB

4.2.3误差分析

根据上式，用MATLAB求得样本的回归值、绝对误差、平均误差、误差方差[3]如下表：

从绝对误差可以看到誤差与估计量的大小无单调相关性，但大误差在中间部分20、30、50时明显分布较多，两头的误差较小，最大误差为8.4444，最小误差为0.0431，可以看到并非基数越大误差越大，基数越小误差越小，与基数无关，平均误差为3.873604，误差的方差为3.150453。

5、模型推广与评价

模型仅针对该问题作了线性回归和二次回归，并没有去考虑其它非线性回归的方法，在其它模型类型方面可能还会有更好的模型，但是作为本文中的模型，方法正确，结果明确，也具有一定的价值，期待以后会有更好更正确的认识。

6、参考文献

[1] http：//mcm.blyun.com/

[2]http：//blog.csdn.net/xhhjin/article/details/7020449

http：//zhouqingfeidie.blog.163.com/blog/static/301717722011112395956592/

[3]吴建国.数学建模案例精编[M].北京：中国水利水电出版社，2005.

[4]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社：三版，2003.

作者简介：

王金生（1980-1-2），男，汉族，浙江金华人，讲师，湖南师范大学基础数学专业硕士，主要从事动力系统和数学建模方面的研究。endprint