Banach空间中φ-强增生型变分包含解的迭代逼近

万美玲，张树义*，丛培根

（渤海大学数理学院,辽宁 锦州 121013）

Banach空间中φ-强增生型变分包含解的迭代逼近

万美玲，张树义*，丛培根

（渤海大学数理学院,辽宁 锦州 121013）

在实自反Banach空间框架下,研究一类φ-强增生型变分包含问题,利用新的分析技巧,证明了这类φ-强增生型变分包含问题解的带混合误差的迭代序列的强收敛性定理,最终从多方面推广和改进了有关研究中的相应结果。

φ-强增生映象；变分包含；Ishikawa迭代序列；混合误差

自从20世纪60年代变分不等式理论被提出以来，变分不等式及其相关问题理论逐步发展成当今非线性分析理论的重要组成部分，其广泛应用于微分方程、运筹学与控制论、非线性规划、数理统计、优化理论、工程科学和经济模型等各个科学领域。由于非线性变分包含是变分不等式的一种重要推广形式，因此研究非线性变分包含问题解的存在与唯一性、收敛性的理论具有重要的理论意义。Chang[1]在一致光滑Banach空间中，研究了如下变分包含问题：设X是实Banach空间，D(T)表示映象T的定义域。T,A:H→H和g:H→H是3个映象，而ψ:H→R∪{+∞}为一真凸下半连续泛函。对给定的f∈H，求u∈H，使得

其中 ψ表示ψ的次微分。Ding[2]给出了η-次可微的概念，谷峰[3]利用η-次可微的概念对上述变分包含问题进行了推广，在这之后张树义等[4-6]将上述变分包含问题做了进一步推广。

设T,A:X→X，N（·,·）:X×X→X,η:X*×X*→X*和 g:X→X*是 5个映象，ψ（·,·）:X*×X→R∪{+∞}是使得对每一固定y∈X,ψ（·,y）是具有η-次微分的真凸下半连续泛函。文献[4-6]考虑下列Banach空间中的变分包含问题：对给定的f∈X，求u∈X，使得

上式中：ηψ(·,u)表示ψ(·,u)的η-次微分。易见，当ψ(x1,y)=ψ(x1),y∈X,x1∈X*时，问题(1)化为文献[3]研究的变分包含问题，再取η(x1,y1)=x1-y1,x1,y1∈X*和N(x,y)=x-y,x,y∈X，问题(1)化为文献[1]研究的变分包含问题。另一方面，文献[7-22]使用新的分析方法，讨论了几类非线性算子不动点与方程解的迭代收敛性问题。受上述工作的启发，本文的目的是在实自反Banach空间的框架下，研究φ-强增生型变分包含问题(1)解的具有混合误差的Ishikawa迭代序列收敛性问题，本文结果推广和改进文献[1，3]和其它一些已知的结果。

1 预备知识

设X是实Banach空间，X*为X的对偶空间，〈·,·〉表示X与X*之间的广义对偶对。正规对偶映象J:X→2X*定义为J(x)={f∈X*:〈x,f〉=||x||2=||f||2}。

定义 1[2]：设X是一实 Banach空间，ψ:X*→R∪{+∞}为一真凸泛函，η:X*×X*→X*是一个映象，若对x0∈X，存在f∈X*，使得ψ(y)-ψ(x0)≥〈f,η(y,x0)〉,y∈X,则称ψ在x0处是η-次可微的，并称f为ψ在x0处的η-次梯度。在x0处的一切η-次梯度的集合用ηψ(x0)表示。

定义2：设T:X→X是一映象，称映象T为增生的，如果x,y∈X，存在

j(x-y)∈J(x-y)，使得〈Tx-Ty,j(x-y)〉≥0。

熟知T是增生的，当且仅当x,y∈X及r＞0 有

定义 3：设 T:X→X是一映象，φ:[0,+∞)→[0,+∞)是严格增加函数且φ(0)=0，称映象T为φ-强增生的，如果对任给的x,y∈X，存在j(x-y)∈J(x-y)，使得

〈Tx-Ty,j(x-y)〉≥φ(||x-y||)||x-y||。

引理 1[4-6]：设X是实自反Banach空间，则下面的结论等价，

(i)x*∈X是变分包含问题(1)的解；

(ii)x*∈X是映象S:X→2X的不动点，其中S(x)=f-(N(Tx,Ax)+ηψ(g(x),x))+x。

(iii)x*∈X是方程f∈N(Tx,Ax)+ηψ(g(x),x)的解。

引理 2[23]：设X是实 Banach空间，T:X→X是连续的φ-强增生算子，则对任给的f∈X，方程Tx=f在X中有唯一解。

引理 3[24]：设{an},{bn}和{cn}是 3个非负实数列，且满足条件an+1≤(1-tn)an+bn+cn，n≥n0,其中n0是某一非负整数∞，则

2 主要结果

定理1：设X是实自反 Banach空间，T,A:X→X，N（·,·）:X×X→X,η:X*×X*→X*和g:X→X* 是 5个映象，而φ（·,·）:X*×X→R∪{+∞}是使得对每一固定y∈X,ψ（·,y）是具有η-次微分的真凸下半连续泛函。设{αn}，{βn}是[0，1]中的实数列，{un},{vn},{un′},{u″n}都是X中的序列，且满足以下条件

(i)N(T(·),A(·))+ηψ(g(·),·):X→X是连续的φ-强增生算子；

对任给的x0∈X，具有混合误差项的Ishikawa迭代序列{xn}定义如下

若{xn}有界且 ||Sxn+1-Syn||→0(n→∞)，则{xn}强收敛于该变分包含问题(1)的唯一解x*。

证明：因 ||u′n||=o(αn)，存在λn≥0，λn→0(n→∞)，使得 ||u′n||=αnλn。因为映象

N(T(·),A(·))+ηψ(g(·),·):X→X是连续φ- 强增生的，由引理2知，对f∈X,方程

N(T(x),A(x))+ηψ(g(x),x)=f在X中有唯一解x*。由于X是自反的，故由引理1知，x*是变分包含问题(1)的唯一解，因而也是映象S在X中的唯一不动点，即Sx*=x*。因N(T(·),A(·))+ηψ(g(·),·)是φ-强增生的，于是对任意x,y∈X，存在j(x-y)∈J(x-y)，使得

因此I-S-A(x,y)I是增生算子。由式(2)有

由式(3)有

因 1-(1-A(xn+1,x*))αn→1(n→∞),故存在n1,n≥n1,有，由式(5)n≥n1有

令 ||xn-x*||=αn,ταn=tn,bn=2αn||Sxn+1-Syn||+2αnλn和cn=2||u″n||则由式(7)和引理 3 有:an→0(n→∞),即xn→x*(n→∞)。如果r=0，则存在子列，使得

(1)若 ||xnj0+k+1-x*|≤ε，则 ||xnj0+2-x*||≤ε+2||

(2)若||xnj0+2-x*||＞ε，则由φ的严格增加性有

由式(6)有

即xn→x*(n→∞)。

定理1证毕。

注 1：如果N(T(·)，A(·))+nψ(g(·),·):X→X是Lipschitz 的，且βn→0,||vn||→0(n→∞)，则满足||Sxn+1-Syn||→0(n→∞)。

注2：本文定理1从下列方面改进与推广了文献[3]中的结果。

(1) 用ψ(·,·):X*×X→R∪{+∞}取代 ψ(·):X*→R∪{+∞}，其中 ψ(·,·)是使得对每一固定y∈X,ψ(·,y)是具有η-次微分的真凸下半连续泛函。

(2)不要求nψ。g::X→X一致连续性，也不要求序列{nψ(g(xn),xn)}有界性。

(3)定理1的证明方法不同于文献[3]所用的方法。

注3：定理1改进与推广了文献[1]中的结果。

[1]Chang S S.On the Mann and Ishikawa iterative approximation of solutions to variational inclusion with accretive type mappings[J].Comput Math Appl，1999，37(9):17-24.

[2]Ding X P.Generalized quasi-variational-like inclusions with nonconvex functions[J].Appl Math Comput，2001，122(3):267-282

[3]谷峰.一类新的φ-强增生型变分包含问题解的存在性与迭代逼近[J].数学进展，2008，37(4):469-477.Gu F.The existence and iterative approximations of solutions for a class of variational inclusion withstongly accretive type mappings[J].Advances in Math，2008，37(4):469-477.

[4]张树义.Banach空间中k-次增生型变分包含解的存在与收敛性[J].系统科学与数学，2012，32(3):363-376.Zhang S Y.The existence and convergence of solutions for variational inclusions withsubaccretive type mappings in Banach spaces[J].J Sys Sci Math Scis，2012，32(3):363-376.

[5]Zhang S Y，Guo X Q，Wang J.Noor iterative approximation for solutions to variational inclusions with subaccretive type mappings in reflexive Banach spaces[J].An St Univ Ovidius Constanta，2012，20(1):505-517.

[6]张树义，郭新琪，宋晓光.一类k-次增生型变分包含解的存在性与Noor迭代逼近[J].数学的实践与认识，2013，43(7):170-175.Zhang S Y，Guo X Q，Song X G.The existence and Noor iterative approximation of solutions for a class of variational inclusions withsubaccretive type mappings[J].J Math in Practice and Theory，2013，43(7):170-175.

[7]Zhang S Y.Implicit iteration approximation for a finite family of asymptotically quasi-pseudocontractive type mappings[J].Bull Iranian Math Soc，2014，40(1):263-279.

[8]Zhang S Y.Song X G.Another note on a paper“Convergence theorem for the common solution for a finite family ofφ-strongly accretive operator equations”[J].Appl Math Comput，2015，258(1):367-371.

[9]Yang L P.Convergence theorems of implicit iteration process for asymptotically pseudocontractive mappings[J].Bull Iranian Math Soc，2012，38(3):699-713.

[10]Gurudwan N，Sharma B K.Convergence theorem for the common solution for a finite family ofφ-strongly accretive operator equations[J].Appl Math Comput，2011，217(15):6748-6754.

[11]Petrusel A，Sahu D，Sagar V.An extragradient iterative scheme for common fixed point problems and variational inequality problems with applications[J].An St Univ Ovidius Constanta，2015，23(1):247-266.

[12]Soori E.Strong convergence for variational inequalities and equilibrium problems and representations[J].Int J Industrial Math，2013，5(4):341-354.

[13]Nguyen B，Nguyen T H P，Nguyen T T T.Explicit iteration methods for a class of variational inequalities in Banach spaces[J].Russian Math，2015，59(10):16-22.

[14]张树义，刘冬红，李丹.k-次增生算子方程的迭代解[J].北华大学学报（自然科学版），2015，16(5):574-578.Zhang S Y，Liu D H，Li D.The iterative solution ofsubaccretive operator equation[J].J Beihua University(Natural Science)，2015，16(5):574-578.

[15]赵美娜，张树义，赵亚莉.Banach空间中k-次增生算子方程解的迭代逼近[J].北华大学学报（自然科学版），2015，16(6):720-724.Zhao M N，Zhang S Y，Zhao Y L.Iterative approximations of solutions for operators equation withsubaccretive in Banach space[J].J Beihua University(Natural Science)，2015，16(6):720-724.

[16]张树义，宋晓光，万美玲.非Lipschitz渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近[J].北华大学学报（自然科学版），2014，15(5):581-587.Zhang S Y，Song X G，Wan M l.Iterative approximations of fixed point for non-Lipschitz asymptotically pseudocontractive mappings[J].J Beihua University(Natural Science)，2014，15(5):581-587.

[17]张树义，赵美娜，李丹.渐近半压缩映象具混合型误差的迭代收敛性[J].北华大学学报（自然科学版），2015，16(3):165-169.Zhang S Y，Zhao M N，Li D.Convergence of iterative sequences with mixed errors for asymptotically demicontractive mappings[J].J Beihua University(Natural Science)，2015，16(3):165-169.

[18]张树义，万美玲，李丹.渐近伪压缩型映象迭代序列的强收敛定理[J].江南大学学报（自然科学版），2014，13(6):726-730.Zhang S Y，Wan M L，Li D.Strong convergence theorem of iterative sequences for asymptotically pseudocontractive type mappings[J].J Jiangnan University(Natural Science)，2014,13(6):726-730.

[19]林媛，张树义，丛培根.渐近非扩张型映象具有误差的迭代收敛性[J].石河子大学学报(自然科学版)，2017，35(4):513-517.Lin Y，Zhang S Y，Cong Peigen.Convergence of iterative sequences with errors for asymptotically nonexpansive type mappings.Journal of Shihezi University(Natural Science)，2017，35(4):513-517.

[20]张树义，李丹，丛培根.增生算子零点的迭代逼近[J].北华大学学报(自然科学版)，2017，18(2):1-7 Zhang S Y，Li D，Cong Peigen，Iterative approximation of zero points for accretive operators.J ournal of Beihua Universities(Natural Science)，2017，18(2):1-7

[21]赵美娜，张树义，郑晓迪.一类算子方程迭代序列的稳定性[J].轻工学报，2016，31(6):100-108.Zhao M N，Zhang S Y，Zheng Xiaodi.Stability of sterative sequences for a class of operators equation.J.of Light Industry，2016，31(6):100-108.

[22]赵美娜，张树义，赵亚莉.有限族广义一致伪Lipschitz映象公共不动点的迭代收敛性[J].烟台大学学报(自然科学与工程版)，2017，30(1):7-10.Zhao M N，Zhang S Y，Zhao Yali.Iterative convergence of common fixed points for a finite family of generalized uniformly quasi-Lipschitz mappings.J ournal of Yantai Universities(Natural Science)，2017，30(1):7-10.

[23]Liu Z Q，Kang S M.Convergence theorems forφstrongly accretive andφhemicontractive operators[J].J Math Anal Appl，2001，253(1):35-49.

[24]Liu L S.Ishikawa and Mann iterative process with errors for nonlinear strongly accretive mappings in Banach spaces[J].J Math Anal Appl，1995，194(1):114-125.

Iterative approximations of solutions for the variational inclusion withφ-stongly accretive type mappings in Banach spaces

Wan Meiling，Zhang Shuyi，Cong Peigen
(College of Mathematics and Physics， Bohai University， Jinzhou， Liaoning 121013， China)

The purpose of this paper is to study a class of variational inclusion problem withφ-stongly accretive type mappings in real reflexive Banach spaces and prove strong convergence theorem of Ishikawa iterative sequences with mixed errors of solutions for this class of variational inclusion problem withφ-stongly accretive type mappings by using a new analytical method.The results obtained in this paper extend and improve the corresponding results in some references from many aspects.

φ-stongly accretive mappings;variational inclusion;Ishikawa iterative sequences;mixed errors

O177.91

A

10.13880/j.cnki.65-1174/n.2017.05.021

1007-7383(2017)05-0648-04

2016-03-25

国家自然科学基金项目（11371070）

万美玲（1991-）女，硕士研究生，专业方向为非线性泛函分析。

*通信作者：张树义（1960-），男，教授，研究方向为非线性泛函分析，e-mail:jzzhangshuyi@126.com。