浅谈高中数学线性变换的解题技巧

李浩然

摘 要：在新课改之后，要求高中生不仅要学会灵活运用学科基础知识解决问题，还要利用课余时间学习自身兴趣的知识点，使得每个人都能得到全面发展和锻炼。高中线性变换虽然作为选修章节，但是其所蕴含的内容是衔接高中与大学的关键点，掌握线性变换的基础知识也就是提前了解和学习了大学所要接触的高等数学知识模块，即矩阵问题。因此，笔者立足于高中选修的重要知识点——线性变换，先阐述其概念及性质，然后来探究如何巧妙解决高中数学中线性变换的难题，从而为初等数学过渡到高等数学做提前的准备。

关键词：数学 线性变换 解题技巧

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2017）11-0-01

一、高中数学线性变换的概述

1.线性变换的概念

线性变换一般是指，在构建的xOy坐标系内，存在至少一个点或多个点的集合A与另一个相对应的至少一个或多个点的集合B两者之间按照一定规则可以相互变换，且不同的点与所转变后的点不相同，即在平面直角坐标系中，把形如 进行几何变换，这就叫做线性变换。

2.线性变换的基本性质

线性变换具有三个基本性质，第一个性质是任何向量乘于零都为零，数学表达式为：T（0）=0；第二个性质是任何向量乘于任何一个负向量等于两个向量相乘的负数，数学表达式为：T（-a）=-T（a）；第三个性质是线性变换满足乘法交换律、结合律，即 ，其中A是一般矩阵， 是平面直角坐标系内任意的两个向量， 是任意实数。

二、高中数学线性变换的解题技巧

1.数形结合

例1：在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x，y）|x + y≤1，且x≥0，y≥0}，求平面区域B={（x + y，x - y）|（x，y）∈A}的面积。

解析：本题考察的是线性变换结合不等式的应用难点，解决该问题首先要分析题干信息，根据题目给出的信息列出平面区域A的不等式条件。由于本题平面区域B存在与平面区域A相重合的未知数，因此要假设两个新的未知数替代B的条件，再将新的未知数条件代入A中就能很快确定B的向量表示，最后快速建立平面直角坐标系画出平面区域B的图形就能的出其面积的大小。

设：未知数 u=x+y，v=x-y

那么 x= ，y=

因为A中满足 x+y≤1，x≥0，y≥0

所以u≤1，u+v≥0，u-v≥0.

如图所示，可將未知数u 、v所含条件建立平面直角坐标系，其面积为：

S=1/2*2*1=1

2.线性变换的不变性

例2：已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A（4，4）变成了点A（6，8），点B（4，0）变成了点B（1，4），求该二阶矩阵M。

解析：本题重点考察二阶矩阵进行线性变换的过程及反推技巧，解决这类题目可以利用线性变换的性质，即线性变换满足乘法的交换律及结合率，再结合二阶矩阵运算规律进行代入求值。纵观题目可以发现本题是将二阶矩阵作为线性变换的条件，因此需要首先假设一个二阶矩阵，再根据题干信息代入求值即可。

解析：本题考察的是对二阶矩阵运算及线性变换中线段的转换知识点部分，很多同学在看到该类型题目时总会不知所措，但只要认真挖掘题干信息，就能发现求解该种题目其实很简单。首先根据题干信息求出M、N结合后的矩阵，再假设经过线性变换后的直线表达式的未知数，代入MN中就能有效解答该题目。

三、结束语

高中线性变换问题作为一种数学的转换方法是高中数学学习中的选修项目，虽然其灵活和多变的特性导致了其难度程度较高，但其作为衔接初等数学与高等数学的知识点是高中生应该学习的重点。本文浅显地分析了解决线性变换类型题的技巧，旨在分享笔者在学习过程中积累的经验与解题的思路，让更多的同学能够在应对线性变换问题时有更多的解决途径。学习高中线性变换知识能够更好地为今后学习高等数学提供帮助，因此，作为高中生不仅应该熟练掌握课本上的知识，还应提前学习一些与课内相关的课外重点知识，为进入大学做准备。

参考文献

[1]高中数学选修4-2

[2]巧建平面直角坐标系求解向量问题.《福建中学数学》.黄国斌.2015.endprint