基于教师数学说题教研活动的思考与认识

福建省南安市教师进修学校 陈俊斌 (邮编：362300)

基于教师数学说题教研活动的思考与认识

福建省南安市教师进修学校 陈俊斌 (邮编：362300)

1 国内外研究现状综述

1.1 国内研究现状综述

上世纪90年代,“说数学”就引起了国内教育界的高度关注.曹才翰先生和章建跃博士所著的《数学教育心理学》中提出通过“说数学”的教学活动能有效实现“数学的交流,2003年颁布的《普通高中数学课程标准》提出“提高数学表达和交流能力”的课程目标,直到21世纪,国内数学教育工作者把“说数学”研究扩大到实践层面,不断把“说数学”细化从而出现了教师“说题”教学活动.2011年出版的《义务教育数学课程标准》,提高了学生“说”的地位,更重视提升学生的数学应用能力,而开展学生说题教研活动便是提升学生能力的一种实质性举措.对中学数学说题的研究较早,但发展不成熟,大多是一线教师零散经验的积累和总结,未成体系.本文结合教研实践主要谈谈教师如何进行数学现场说题.

1.2 国外研究现状综述

对于说题,最早可以追溯到古希腊著名的哲学家苏格拉底的“产婆术”教学法.他主要采用话式、讨论式、启发式的教育方法,通过向学生提问,不断揭露对方回答问题中的矛盾,引导学生总结出一般性的结论,它的本质是教师引导学生去“说”,在“说”的过程中提升认识(师生互动说).1989年加拿大数学课程标准中,第一次提出把“说数学”作为评课的标准;新加坡的《大纲》十分重视学生用语言表达数学的能力;俄罗斯《大纲》则在描述培养学生习惯方面更加明确,要求学生无论是口头交流还是书面交流都要清晰流畅;美国数学教师协会(NCTM)在2000年制定的《学校数学的原理和标准》中的学习原理指出：“学生应该以理解的方式学习数学,在自身经验和原有知识的基础上建构对新知识的理解.”因此,教学中需要让学生说出自己的思维过程;法国的数学教学大纲提出要让学生能够“明确地表述”,“使学生在书写和口头交流方面形成清楚的习惯”;日本的数学教学大纲中也要求学生能够“数学的表示、表达”.此外,荷兰、英国等国家的教学大纲或课程标准也都把学生能“说数学”作为一个重要目标.

2 相关概念及案例

在日常的教育教学中我们经常会听到这样的交流：“某某同学讲的这道题,比老师讲的还明白”;“某某同学某学科会讲题,他这科的成绩比其他学科就是高!”;“你看,这组习题我在下面自己研究透了,给自己讲明白了,上课的时候得心应手”.作为教研员,下校听课调研时,经常看到有些教师上课满堂灌、学生被动听,花大量时间解题训练,不注重调动学生学习积极性,不关注或少关注学生数学思维活动.

鉴于此,从2014年10月起我们开始组织中学数学教师现场“说题比赛”,在我们的推动下,我市各初、高中教研片每年均有开展相应活动,其中2014年10月29日五星中学教研片(6所)举行初中数学说题比赛(教师);2015年4月13日,实验中学教研片举行初中学生数学“说题”比赛活动;侨光中学初中教研片每年都会根据我们的活动安排相应地举行片区人员选拔赛.2016年8月,以此活动为基础的课题《中学数学师生说题教研活动的理论与实践研究》被泉州市教育科学规划领导小组办公室批准为泉州市教育科学“十三五”规划(第一批)立项课题之一(批准编号：QG1351－161).三年来,我们开展了南安市2014年中学数学教师现场“说题”比赛、2015年中学生数学“说题”交流评比活动、2015年中学数学教师现场“说题”交流比赛、2016年中学生数学现场说题比赛、2017年中学数学教师现场说题比赛共十场市级教研活动(分初中组、高中组),共有初中组教师68人次,高中组教师45人次,初中组学生63人次,高中组学生61人次参加现场说题比赛.我们还分别于南安三中(2017.1.4)、洪梅中学(2017.3.31)、柳成中学(2017.4.6)、五星中学(2017.5.9)开设四节课题研究市级观摩课(初中、高中各两场),让学生在中学数学课堂中进行说题展示.老师们认可学生数学课堂说题对训练学生思维与表达、暴露学生知识体系中存在问题、引导学生在数学课堂体验成功等方面有独到的作用.现笔者结合本市开展的中学数学教师现场“说题”比赛活动及教研实践对几个相关概念进行界定.

2.1 数学说题

数学说题是指说题者在精心解题的基础上,面对被说题者,阐述自己对该题的知识内涵、能力要求、思想方法、拓展变式、反思总结等方面作出解说,以口头表达为主,以数学思想方法为依据,以问题本身涉及的知识内涵为基础的一种教学研究活动.简单地说,“说题”就是把审题、分析、解答和回顾等思维过程按一定顺序说出来的一种教研展示活动.

从说题主体来看,说题可分为教师说题、学生说题、教师和学生互动说题.

2.2 教师现场说题

教师通过“选题、做题、想题、改题、编题”等一系列活动,向同行、专家等系统而概括地把自己对题目的理解、分析、解答和反思的思维过程按一定规律和顺序表达出来,是一种深层次的备课.教师说题主要包括如下环节：一说“背景来源”,即试题来源于教材、中(高)考试题、经典试题或数学竞赛试题改编等;二说“试题立意”,即指明试题考查哪些知识点,什么能力,哪些思想,考查目标,考试说明对应的要求;三说试题解法.一方面说教师如何分析讲解,如讲题的基本方法,具体操作流程等;另一方面说如何指导学生作答,比如指导学生注意根据分值,分点分层作答、指导学生根据材料寻找采分点意识;指导学生养成相应的答题习惯;四说“拓展引申”,即结合学情、考情说对试题的评价或改进,解题规律的推广,试题的拓展及变式分析,对今后命题趋势的分析及方向预测.

案例1 (泉州市2013－2014学年度必修2模块水平测试卷第24题)

如图,已知三棱柱ABC－A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,且AC⊥BC,AA1＝3,AC＝CB＝2.E、F分别为线段B1C1、BB1上的动点.

(I)证明：直线AC⊥平面B1BCC1;

(II)若BF＝B1E＝x(0＜x＜2),当x为何值时,三棱锥F－AEB1的体积最大?最大值为多少?

(III)在(II)的条件下,在平面A1B1C1内过B1点作一条直线与平面AEF平行,且与A1C1交于点P,并直接写出的值,要求保留作图痕迹(不要求证明过程和求解过程).

本题为我市“2014年中学数学现场说题比赛”南安一中洪老师的说题试题,该教师从题目立意、解题思路、解后反思、追根溯源、衍生拓展、总结提升六个方面进行现场说题,现节取部分内容以展示教师如何进行现场说题.

解题思路分析 第(I)题是送分的小问,考查简单的线面垂直问题.学生在解决该步的时候可能存在的问题是容易忽视判定线面垂直的条件,比如“两直线相交”即“BC∩BB1＝B”.第(II)步解题的关键实现两个转化：一是体积的转化：VF－AEB1＝VA－FEB1;二是几何问题转化为代数问题：由BF＝B1E＝x,有B1F＝3－x,所以时,三棱锥F－AEB1的体积最大,最大值为.这也是中等学生可以拿到分数的一步,可能存在的主要问题有：如何把三棱锥进行顶点转换,如何正确求解一个二次函数的最值.

第(III)问,难点在作图,而作图是学生学习的薄弱点,需要他们具备较强的空间想象力,可采用如下两种方法作出直线B1P.在正确作出直线B1P后,再把空间问题平面化,即可顺利求出

学生在解决本小题可能存在的错误有：一是把“直线与平面AEF平行“有经验”地变成了“直线与平面AC1F平行”;二是误认为平面AEF与平面A1B1C1的交线为MN等.

点评 这里老师说题主要从解题讲题的角度示说,主要说教师如何分析讲解,解题思路分析、解题的关键点、学生疑难点等方面,目的是针对学生理解问题中可能出现的难点,指导学生养成良好的解题习惯,总结出经验性解题规律,促进教师讲题效率和学生学习质量的提高,从而推动教师和学生的共同发展.

案例2 (2014全国I卷理科第21题)

(1)求a,b;(2)证明：f(x)＞1.

本题为我市“2017年中学数学现场说题比赛”南安一中廖老师选取的说题试题.该师从题目背景、解法初探、进一步探究、解法总结、试题拓展、解题反思等方面进行说题.现节取其中比较典型的部分以展示该教师如何进行现场说题.

解法初探 首先由(1)知f(x)＝exlnx＋要证f(x)＞1的第一个想法便是求f(x)min,诚然想法很单纯,但是道路太坎坷,但不妨试一试,可求得(x＞0).显然此处的一阶导函数,相当复杂,是否继续前行,得有一个判断,否则很可能一条胡同走到黑,费时费力没有好成效.我们认为,一阶导数应该有四个理想的模式：①恒大于0或者恒小于0;②可求出具体零点;③有单调性(可直接观察出或者二阶导数恒正或恒负),④二阶导函数可求出零点.而此处一阶导数并没有看到上述理想的四种状态,显然二次导(除去恒正的项ex－1,x2)再求导也没利用价值,所以考虑放弃此法(四阶导数才恒正).某些解法没能看出有这四种理想状态,但是照样能解出题,所以才称其为理想状态.意思就是能理想最好,不理想也无妨,也能解题.

点评 解法一所用的方法是处理不等式恒成立问题最常用的通法,也就是将不等式恒成立问题转化为差函数最值问题,但这里的一阶导数的零点目前高中学生尚无法求出,故我们采用“设而不求”的方法处理,另外此种方法共需求导三次,难度不可谓不大.

点评 变形②较变形①化简更彻底,化简到我们熟悉的函数g(x)＝xlnx以及,充分体现了化归转化思想的真谛,继而通过加强命题证明原命题,计算量较法一大幅减少,真可谓磨刀不误砍柴工.

由教材选修2—2第32页B组第1题的第3小题的原题易证ex≥x＋1由于ex≥x＋1,可将x用x－1替换可得到ex－1≥x,所以求导易得g(x)min＞0,所以原命题得证.

解法四(他山之石)

点评 此法借助两个函数不等式ex≥ex和来直接证题,相当简洁明了.但这两个不等式在平时的学习当中,学生要能有意识地去记忆和运用,才能信手拈来,用得得心应手,恰到好处.

这里老师说题主要从压轴题的多种解法角度示说,主要说解题思维的全过程,最常见的解法碰壁后如何处理(化归),学生解题经验的积累运用等方面,目的是培养学优生善于发现转化、归纳总结,克服解决难题的心理畏惧感,深化学生思维,为成功拿下压轴题奠定良好的知识储备和心理基石.

3 说题的思考

3.1 说题的形式

(1)一题一说

在教研活动中,不事先给说题者指定题目,由说题者根据自身需要,选择所说的试题.说题者可查阅相关资料,认真学习相关理论,深刻研究试题所涵盖数学知识的结构与分类,围绕试题来源、考查目标、解法分析、拓展价值分析等方面,进行一系列的充分准备,然后再在教研活动现场向评委(专家)示说.

评析 本题说者可从试题的来源、试题的解法探究(三种解法)、试题的推广(简单改编)、试题的命题思路探寻、试题的实质性改造、教学启示等方面进行说题.

(2)一题多说

在教研活动中,组织者指定说者针对同一习题(试题),在同一次活动中展开示说.在活动中,教师能展示自身教育理论功底、学科知识掌握程度、解题方法理解能力、对教学前瞻性理念的探求等,参与者能得到案例示范和理论滋养两方面的收益,营造良好的教研氛围.学生在说题时,能展现其解答及思考过程,暴露对试题的思维过程.长期坚持说题,能提升其数学语言交流能力,培养学生敢于探索和创新的精神.

案例4 (2011年三明市质检文科第21题)

在足球场上,甲由A处向北偏东45°的方向作匀速直线奔跑,速度为52米/秒,甲从A处奔跑的同时,乙从A处正东20米的B处出发,朝北偏东θ的方向作匀速直线奔跑(其中),速度为35米/秒.建立如图所示的平面直角坐标系.

图1

(Ⅰ)求甲、乙两人奔跑t秒后,他们各自所处位置的坐标;

(Ⅱ)试问：甲乙两人出发后多长时间相距最近?最近距离为多少米?

评析 对本题,组织者可对说题者提出如下的说题要求：(1)试题及解法展示;(2)试题的评析(优、劣、存在的问题);(3)改编说明(主要阐述思路和理由);(4)改编题展示;(5)改编题期望说明(主要考查目标,试题预设难度和区分度);(6)改编题的解法(以通性通法为主);(7)其它需要说明的问题.

比如对本题可以进行这样的试题评析：本题以学生熟悉的足球场为背景,背景公正、合理,考查三角问题的实际应用,考查学生综合分析问题和解决问题的能力;问题解决的过程中要求学生能利用图形结合实际问题,建立坐标系,实现点的坐标化,体现了数形结合思想;利用两点间距离公式,把最近距离问题化为二次函数的最小值问题,体现了化归与转化思想;存在的问题是试题中没有指出甲在足球场的具体位置,t的范围如何进行具体限制?

(Ⅰ)求甲、乙两船航行4小时后,他们各自所处位置的坐标;

(Ⅱ)试问在(Ⅰ)的条件下,如何确定乙船航行的方向?使两船此时距离最近,最近距离是多少?

改编说明 把足球场改为海域,避免t的进一步限制,把行驶的时间设为定值,把乙行驶的方向角设置为变量,难度设置成“易”,使中等偏下的同学都能求解;第(II)问中等难度,使中等程度的学生能顺利求解.改编后的试题环环相扣、梯度分明,能较好地体现试题的区分度,有效区分出知识掌握程度不同的学生,体现“不同的人在数学上得到不同的发展”理念.

(3)多题一说

在教研活动中,说题者针对多道试题,就其共性方面(通解、数学思想方法等)展开示说.如围绕以下四道高考试题可就“数形结合”思想来进行多题一说.

题1 (2009高考辽宁·理8)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如 图 所 示,

说题1 利用对称性,由形到数.

题2 (2013高考安徽·理8)函数y＝f(x)的图象如图所示,在区间 a,b[ ]上可找到n个不同的数x1,x2,…,xn,使得

A.3,4{} B.2,3,4{ }

C.3,4,5{ } D.2,3{}

说题2 “由数思形”,建立对应关系.

题3 (2013高考安徽·理10)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值

点x1、x2,且f(x1)＝x1,则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是

A.3 B.4 C.5 D.6

说题3 “由数思形”、“以形助数”

由数思形：由极值点的意义可得x1、x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的两实根,再由该方程结构特征(二次项系数正)可得函数f(x)的单调性(先增后减再增),从而可利用单调性作出该函数的草图,故要判断方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数,只需观察直线t＝x1,t＝x2与函数f(x)图象的交点个数情况.

以形助数：作出直线t＝x1,t＝x2以及函数f(x)的草图可得解.

题4 (2012高考浙江·理17)设a∈R,若x＞0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0,则a＝_____.

说题4 “由数到形”、数形结合.

按照常规思路,本题求解时通常分为两种情况：

受传统的经验影响,可能会认为本题是错题或解不出来.事实上,本题可先“由数到形”,即把所给含参不等式转化成两个函数值的符号相同问题,然后通过分别作图,观察它们的共同特征,“数形结合”地得出它们的另一个交点位置是确定的,从而有效地避免了传统解法的分类及繁杂的数学运算及推理,顺利求出参数a的值.

4 结论

教师现场说题比赛、教师备课组说题活动的开展,既充分发挥出说题者的作用,使其自身的教育理论得以提炼,还往往发挥了集体智慧,亦给旁人带去思考与触动.本课题研究开展一年以来,我们能充分调动我市各中学的积极性,边实验、边交流、边展示、边传播.课题组成员所在学校数学组教师共开设片区级以上的展示课共20多节,课题组成员所在学校教师(学生)在南安市级及其以上的优秀教学论文、教学设计、教学案例、现场说题比赛评选活动中有80多人次获奖,课题组成员所在校的班级学生参加全国初中数学竞赛获南安市级以上奖励的有9人次,全国高中数学联赛、泉州市高中数学竞赛获泉州市级以上奖励的有22人次,参加南安市中学生数学小论文评选获奖的有30多人次.

教师在说题前,要进行一系列准备工作,如查阅相关资料,认真学习相关理论,深刻研究数学知识结构与分类,掌握试题的来源、考查目标、考查知识点等.通过这些活动,教师提高了自身素质,教研水平得到提升.在现场说题时,教师能充分展现数学教育的理论功底、数学知识的掌握程度、数学方法的理解能力及对数学本质认识,通过教师现场说题比赛,教师的数学素养得到提升,很快成为教改教研的骨干.

1 陈俊斌.一道高考数学试题引发的探究与思考[J].数学通讯,2017(1)：30-33

本文为泉州市教育科学“十三五规划”(第一批)立项课题《中学数学师生说题教研活动的理论与实践研究》(QG1351－161)研究成果.

2017-09-28)