错在哪里

错在哪里

1 江苏省海州高级中学

蒋新龙 (邮编：200922)

解法错了!错在哪里?

不妨让我们先来看看正确解法：

为什么两种方法能得到两个不一样的最小值呢?

首先此题不管是错解还是正解的本质都是运用不等关系减元,错解中将所求z看作双变量x＋y和x的表达式,两次运用不等关系减元,分别去掉变量x＋y和x,从而得到最小值1.正解中将所求z看作双变量x和y的表达式,两次运用不等关系分别去掉变量x和y,从而得到最小值－.两者本质上没有区别,为什么会出现

答案不一样的最小值呢?出现错误的原因是什么呢?

我们可以画出条件所确定的可行域,记点(x,y)为P,条件所确定的可行域为图中阴影部分,

正解中第一个不等关系在去掉变量x的同时等号成立条件“x＝y＋1”将点P限制在射线BC上运动,由此可得另一个变量y的范围为[0,＋∞)(与实际范围一致),进而可得在点D(,而错解中第一个不等关系在减掉变量x＋y的同时等号成立条件“x＋y＝1”将点P限制在射线BA上运动,由此可得另一个变量x的范围为(－ ∞,1](变量x的实际范围为R),缩小了题中变量x的范围,进而可得在点B(1,0)取得最小值1(比实际最小值大).即错解中第一个不等关系成立条件缩小了减元后关系式中留元x的范围,使得实际最小值条件不可取,从而最小值变大.所以我们在运用不等关系减元的同时,要关注留元的范围.实际上,如果将此题所求改为z＝＋2y,则两种方法均可得到最小值1.

别解

2 新疆生产建设兵团第二中学

张丽娟 张国治 (邮编：830002)

题目 (王广祥.课堂新坐标高中同步导学案数学必修1[M].大连理工大学出版社2017(4)第96页第8题)

已知x、y∈ (0,1),若lgx＋lgy＝lg(x＋y),则lg(1－x)＋lg(1－y)＝ .

解析 (该资料提供的标准解答)

lg(x＋y)＝lgx＋lgy＝lg(xy)⇒x＋y＝xy,故lg(1－x)＋lg(1－y)＝lg[(1－x)(1－y)]＝lg(1－x－y＋xy)＝lg1＝0.

题目错了!错在哪里?

上述题目及解答似乎无懈可击,但却犯了一个致命的错误,即符合题意的x、y是否存在?出题者在编拟试题时有心理上的“潜在假设”,即认为符合题意的x、y是存在的,但实际上本题一开始的前提便有误,所以“差若毫厘,谬以千里”.

错误剖析：

首先思考的问题是为何有x、y∈(0,1)的限制?其范围从何而来?不难发现题设条件和待求的式子中lgx＋lgy＝lg(x＋y),lg(1－x)＋lg(1－y)的限制条件为,得到x、y∈ (0,1),似

思考 如何能救偏补弊?使得此题不失为一道提升能力训练思维的好题.

试题修正：

已知x、y∈(1,＋∞),若lgx＋lgy＝lg(x＋y),则lg(x－1)＋lg(y－1)＝ .

解析 lg(x＋y)＝lgx＋lgy＝lg(xy)⇒x＋y＝xy,故lg(x－1)＋lg(y－1)＝lg[(x－1)(y－1)]＝lg(xy－x－y＋1)＝lg1＝0.

由此题我们进行剖析可见,对于题目的编制应遵循条件相容性原则,即题设条件之间不能互相矛盾.此题的错误比较隐蔽,需要深刻地从不同角度剖析.事实上,通过正本清源发现本质的错误在于命题者忽视了lgx＋lgy＝lg(x＋含条件.

解后反思：

试题编拟过程中题目的条件对于推出结论是充分的,而有些条件不充分的题目.之所以存在,是由于编拟试题和解题时有心理上的“潜在假设”,或逻辑上的“以偏概全”.当然,在试题编拟过程中要特别注意隐含条件,题设条件不能与本系统的公理、定理、已知正确的结论等相矛盾,而且题设中的多个条件之间也不能互相矛盾.故我们应注重在解题环节中需要“常回头看看”,养成良好的检查习惯.数学解题及数学教学应该以学生已有的知识基础和经验为出发点和落脚点,跟着学生感觉走,努力寻求自然的解法.当然,自然的解题思路,往往体现在经过科学合理编制、仔细反复推敲的数学试题上.