数学思维对数学做题的研究

唐靖

摘 要：对于不少人而言，学好数学是一个非常难的问题，这是因为他们功底不深、对数学的理解不够深入，在思想上还局限于传统的数学观念。因此，我们有必要对数学思维在数学做题中的作用和具体应用进行分析，让数学变得轻松愉快，从而达到事半功倍的效果。

关键词：数学思维；做题；兴趣；高中学生

数学是自然科学中最为基础的课程之一，它的运用非常广泛，数学思想渗透人类各个方面，其显著特点是富有思想智慧。但是数学又是一门研究思想事物的抽象学科，其特点有二：一是数学研究成果揭示了事物数量和形式的一般规律；二是数学研究过程及其成果中蕴含有一般思维规律。因此，分析数学思维在数学做题中的应用意义非凡，我们也有必要对这一问题深入探讨。

1 数学思维概述

数学思维就是数学地思考问题和解决问题的思维活动形式，也就是人们通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。比如转化与划归，从一般到特殊、特殊到一般，函数/映射的思想，等等。一般来说数学能力强的人，基本体现在两种能力上，一是联想力，二是数字敏感度。前者能够把两个看似不相关的问题联系在一起，这其中又以构造能力最让人折服；后者便是大多数曝光的所谓geek，比如什么Nash之类的。当然也有两种能力的结合体。

2 数学思维在数学做题中的作用

现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一個重要课题。培养兴趣，促进思维。兴趣是最好的老师，也是每个学生自觉求知的内动力。教师要精心设计每节课，要使每节课形象、生动，有意创造动人的情境，设置诱人的悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望，并使同学们认识到数学在四化建设中的重要地位和作用。经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题。拓宽思维的广度和深度，对开发学生的智力有着极其重要的意义。数学思维的重要性主要是体现思维的敏捷性、深刻性、灵活性、批判性、概括性、广阔性以及独创性等。

2.1 数学思维敏捷性

数学思维的敏捷性表现在一个“快”字上。这种快的主要体现在两个方面：其一，多方开辟思维点，加快思维启动速度；其二，力求缩短思维过程，迅速获得思维产品。我们经常遇到很多的数学问题，解法的多元性能使学生的思维具有多起点，使其由数见形，由形见数，巧换方法思考与判断。这无疑简缩了加工思维产品的过程。数学思维的敏捷性给我们一个启示：当你遇到很难解决的问题是，不妨从多方面去思考问题找到问题解决的最优答案。

2.2 数学思维的深刻性数学思维的深刻性就是在分析数学问题和解决数学问题的过程中，能探索所研究数学问题的实质及与现实之间的相互联系。而数学思维正告诉我们沟通了各种数学问题之间的内在联系，与及在现实的运用。如数学中形数结合思维，透过形的外表，揭示代数问题的内在数量特征，探讨数与形的本质联系与规律，这是由表及里的过程。这个正告诉我们一个哲理：透过现象看本质。只有你能够真正掌握了事物的实际，你才能够说真正的了解了事物的属性等。避免里只是看现象而看而毫无收获。

3 数学思维对数学做题中的应用

3.1 函数与方程的思想

函数与方程的思想是高中数学中最基本也是最重要的思想方法之一，在高考中有非常重要的地位。数学中很多函数的问题需要用方程的知识和方法来支持，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决，即函数与方程可相互转化。

下面来看这样一道例题：和的定义域都是非零实数集，是偶函数，是奇函数，且求的取值范围。

分析：已知两个函数的和，求商，好象从未见过。我们不能只看符号，不注重文字，其实这一题的关键在于“是偶函数，是奇函数”，于是就有，又有再把换成。这时不能再把当函数解析式来看了，知道了+，-就可以把它们当成两个未知数，只需去解一个二元一次方程组问题就解决了。

由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考要考察的重点，它在解析几何、立体几何、数列等知识中都有广泛应用。

3.2 一次性数学解题方法的应用

波利亚在“怎样解题表”中给出了一个宏观解题程序，分成4步：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾.在每一步中都配有许多问句或提示，从而体现出模式识别、联系转化、特殊化与一般化、归纳、类比等思维策略的指导。

例 如果二次函数f（x）=x2-（a-1）x+5在区间（■，1）上是增函数，求f（2）的取值范围。

解题分析过程。

第一步：你必须理解题目。

理解题目

1.未知量是什么？已知量是什么？

2.这是一个什么问题？答：这是一个求范围的问题，求f（2）（即-2a+11）的范围。

3.已知条件是什么？

答：已知二次函数f（x）的解析式（一次项系数含参数a）。二次函数f（x）的一个增区间（■，1）。

第二步：找出已知条件与未知量之间的联系。

最终你应得到一个解题方案。

拟订方案

以前做过或见过类似的题目吗？当时是怎样想的？

我们已经做过许多求二次函数单调区间的题目。

要求出未知结论，需要知道哪些条件？由已知条件能推出哪些有用的东西？

要求出f（2）的范围，需要求出参数a的范围，需要构造关于a的不等式。

由已知条件（二次函数f（x）的解析式）能求出二次函数图象的对称轴，能求出二次函数的单调区间D。

解这类问题通常有哪几种方法？可能哪种方法更方便？试一试如何？

想法1：先求出函数f（x）的单调增区间D，再由增区间（■，1）？哿D，构造关于a的不等式。

想法2：二次函数的单调区间与二次函数图象的对称轴有关，通过数形结合，由对称轴与区间（■，1）的相对位置构造关于a的不等式。

第三步：执行解题方案.

执行方案

执行解题方案，检查每一个步骤.你能确保每个步骤是正确的吗？

解答过程（略）。

第四步：检查已经得到的解答.回顾解题过程，积累知识与方法。

回顾与积累

你能检验这个结果吗？

通过做这道题，能给你带来什么启示？应用了哪些数学基础知识，基本方法，数学思想？

这是一道“已知（含参）函数的单调区间，求参数的范围”的问题，属于求函数单调区间的逆向问题。

知识点：二次函数的单调性，二次函数的图象，二次函数的对称轴。

方法：构造法，配方法。

思想：数形结合。

你能在别的什么题目中利用这种方法吗？

举一反三：函数f（x）=■在（-2+∞）上单调递增，求a的取值范围。

从教学反馈效果来看，听课教师认为教学方法新颖，充分暴露了解题的思维过程，真正解决了解题教学中的许多问题，起到了良好的示范作用.学生认为通过这节课解决了“拿起题无从下手”的问题，大部分同学觉得解数学题变得容易了，真正认识了数学解题，很大程度上解决了学生对数学题“畏难”的心理问题，提高了学习兴趣。

结束语

总之，数学的特点之一就是培养学习者的思维能力，而思维能力的培养主要是通过解题训练达到的。因此，利用数学思维来提高学生做题技巧十分重要，我们也有必要对这一方法进行推广和普及。

参考文献

[1]姜正凯.高中数学教学中培养数学思维能力的实践研究[J].语数外学习：数学教育，2013（12）：84-84.

[2]浦春华.高中数学教学中注重解题反思与优化思维品质的研究与实践[D].上海师范大学，2012.endprint