初中数学例习题教学价值的挖掘

江苏省南京市金陵中学龙湖分校 谢丽丽

初中数学例习题教学价值的挖掘

江苏省南京市金陵中学龙湖分校 谢丽丽

数学教材中的例题、习题都是专家精挑细选、反复斟酌的、历久弥新，数学教师在日常教学中不能就题论题、表面解决，而要深入研读、提炼反思、深度挖掘，对例题、习题进行充分变式、创造、再利用，推陈出新。要看到例、习题所蕴含的显性知识与技能，更要看到例、习题隐含的数学认知策略和思想方法。文章结合具体教学实例，浅谈对充分利用教材例、习题的资源的一些浅显认识。

例习题；创设情境；整合资源；梯度变式

一、巧妙利用习题，创设教学情境

教学的艺术不仅在于传授知识，更在于唤醒、激发。适当、有效地创设情境能激发学生的学习兴趣和动机，但数学情境的创设不一定要时时生活化、趣味化和生动化。教师根据学生的认知规律，立足于学生知识的生长点和延伸点，研读习题并加以开发，在此基础上创设有效的问题情境，为学生提供一定的思维空间，利用数学问题导入新课，不失为一种有效的途径。

如苏科版数学九年级上册第二章第3节《确定圆的条件》一课中，若直接按照依次探究一个点、两个点都不能确定一个圆，进而将条件增加为3个点，引导学生探究，笔者认为此法过于单调，缺乏一定的新意。也有教师采用如下情境引入：考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一个圆形瓷器碎片（如图1），你能帮助考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？要确定一个圆需要几个条件？但笔者认为此情境创设有一点“为了创设而创设”的感觉，可自己备课时也没有找到好的情境创设方法。

无意中，笔者批阅了学生作业《启东作业本》的作业15第1题：

下列说法中，正确的是（ ）

A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等

C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等

很多同学空题未选，也有同学在括号里标注：“此题没有答案”。

回顾2.2节《圆的对称性》这一课时的几个定理：

1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

教师在讲授时都特别强调“在同圆或等圆中”这个条件，还举了很多反例来说明这个条件的必要性，所以多数学生在解答这一题时，认为该题四个选项均没有提及此条件，所以没有正确答案！

在2.3《确定圆的条件》的引入时，笔者直接给出该习题，并结合2.2节的几个定理运用排除法直接排除了A、C、D三个选项，学生发现：只剩下B这个选项，但是B选项中也没有“在同圆或等圆中”这个条件。教师提问：难道B选项“等弧所对的弦相等”这个命题的条件“等弧”已经暗示了“在同圆或等圆中”这个条件吗？学生经历了排除法，再结合课本定理的前提条件，肯定地回答——是！教师追问：“即一段弧能够确定一个圆？” 学生肯定地回答，但是又不知其所以然！以此引出课题——2.3确定圆的条件。

这样的问题设置，既解决了上一课时学生的问题疑惑，又顺利地引出了本节课的课题，避免为了情境而创设，而且效果也不错！由此说明：数学课的导入完全可以数学化，而不必一味追求生活化、趣味化，数学导入亦可激发学生碰撞出思维的火花。

二、习题梯度变式，开展教学探究

如苏科版数学第68页有一道练习题：如图2，点P在⊙O上，过点P画⊙O的切线。此题学生解决起来较易。

图2

解：如图3，连接OP，过点P作OP的垂线l，则直线l即为所求的切线。

图3

考点是切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。但似乎意犹未尽，于是增设两个梯度变式：

变式1：若点P在⊙O外，过点P画⊙O的切线。

首先明确过圆外一点作圆的切线有两条，但不明确切点的位置，切线自然不易画；

其次让学生观看原题的成图中的 ，用手里的作图工具能否实现这一成图？学生在自己的作图工具中利用直角三角板可以做出此图：

利用直角三角板，移动直角三角板，使其两条直角边分别经过点O、P,且直角顶点落在圆周上，则其直角顶点A即为所求的切点，直线AP即为所求的切线之一(如图4），同样的方法可作出另一条切线(如图5）：

图4

图5

变式2：若点P在⊙O外，利用直尺和圆规，过点P 画⊙O的切线。

此问在于用尺规作直角，还需使直角顶点在圆周上，解法如下(如图6）：

图6

第一步：连接OP；

第二步：作线段OP的垂直平分线l，l与线段OP的交点M即为线段OP的中点；

第三步：以线段OP为直径作⊙M，⊙M与⊙O相交于点A、B；

第四步：连接OA、OB，PA、PB。

∵ OP是⊙M的直径，

∴ ∠OAP=∠OBP=90°。

又 ∵点A、B在⊙O上，

∴AP、BP是⊙O的切线。

经历两个梯度变式问题的解决，学生对圆的重要定理：圆周角定理、切线的判定定理以及尺规作图的认识又提升了一个新的层次。

例、习题源自教材，但又不局限于教材，教师在研读教材的例、习题时，要善于发现其规律、出题意图和学科价值，再结合教学目标和学生的学习水平及能力对例、习题进行变式，挖掘例、习题的潜在价值，使其更加有利于学生的理解和掌握，培养学生对问题的思考能力，以达到培养学生的逻辑思维、开发学生的智力、激发学生学习兴趣的效果。

数学教师应认真思考如何发挥教材例题、习题资源的作用，让学生走出题海，实现一题高效、高能的目标，力争使数学教学达到事半功倍的效果。