善“变”出“乐”学——一道中考题的变式教学引发的思考

江苏省张家港市梁丰初级中学 徐兰萍

善“变”出“乐”学
——一道中考题的变式教学引发的思考

江苏省张家港市梁丰初级中学 徐兰萍

在数学中考中，大部分同学对综合题的解决存在不同程度的困难。因为数学综合题不仅考查学生对基本知识的掌握，还要考查学生综合应用各种知识解决问题的能力。所以综合题的教学不应该是对题目单纯的讲解，更需要教师的精心设计，使学生能够举一反三，融会贯通。

综合应用；变式训练；解题能力；思维拓展

对于数学这门学科的学习，很多考生为了取得高分而陷入题海战术，无法自拔，但很多时候却事倍功半，收效甚微。所以，如何提高学生做题的效率，减轻学生的负担，是我们广大数学教师应该探讨的问题。下面笔者将从一道中考题的变式教学出发，谈谈在数学课堂教学中应如何开展变式教学，使学生免于大量重复的做题，达到做一题通一类题的效果，同时提高学生的解题能力，拓展学生的思维深度和广度。

考题摘录：(2015泰安）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（-6，0），与y轴的交点为C（0，3），且经过点G（-2，3）。

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是线段OA上一动点，过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，设△CDQ的面积为S，求S的最大值；

（3）若点B是抛物线与x轴的另一交点，点D、M在线段AB上，点N在线段AC上，∠DCB = ∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标。

本题主要考查二次函数的综合应用，涉及等腰三角形、线段垂直平分线及二次函数的性质、勾股定理、平行的判定、三角形中位线等较多知识点，综合性很强，有一定的难度。

在该题中，问题（1）比较基础，绝大部分同学都能够自行解决，所以可请学生讲述。学生一般直接利用待定系数法，把A、C、G三点坐标代入求得抛物线解析式。完成后，教师可以进一步挖掘题目，引导学生发现C（0，3）与G（-2，3）是对称点，求出对称轴为直线x=-1，从而设出顶点式求解；或者求出A（-6，0）关于x=-1的对称点是（4，0），从而设出两点式求解。完成题目的同时，让学生复习抛物线解析式的几种设法，并回顾了抛物线的几个基本知识点，如顶点、与坐标轴的交点、对称轴等。 问题（2）的教学仍然以学生讲解为主，但讲解后，教师需引导学生归纳出由动点问题产生的线段长的一般表示方法，学会设点的坐标来表示。 问题（3）的解决需引导学生积极发现其中的基本图形，如由线段垂直平分线的性质发现等腰三角形DNM或CNM，由等腰三角形和角平分线发现DN平行于BC，找出A型相似图或直接发现三角形的中位线NM，从而顺利突破本题难点。

上课讲到这里，仅仅是完成了对该题的一般解答，如果想要进一步加深学生对该题的掌握程度，开阔学生的眼界，拓宽学生的思路，则需要对题目进行进一步的加工和改造。作为教师，可以选择添加变式，达到知识和方法的渗透。如可以添加如下变式进行教学：

变式一：在（2）的情况下，延长PQ交抛物线于点E,求EQ的最大值。

该变式的教学可以引导学生进一步归纳动点产生的线段求最值问题的解法。

变式二：点P是线段OA上一动点,在抛物线上是否存在点F，使得△APF相似于△AOC？

该变式的教学可以引导学生构造相似三角形，应用对应线段成比例来求点的坐标。

变式三：在线段OA上是否存在点P，使∠PCB为直角？

该变式的教学可以引导学生进一步掌握射影定理的基本图形。当然，该题的解法不唯一，有的学生习惯于转化为直线PC与BC的垂直关系来做，或者相似来做都可以，但最直接的方法仍然是应用射影定理来完成。

变式四：点P是线段OA上一动点, 点Q是线段CA上一动点,能否找到这样的两点，使得△APQ为直角三角形与△PQC为等腰三角形同时成立？

该变式的教学需要引导学生分类讨论，而分类讨论问题一直是学生的难点。当△APQ为直角三角形时，引导学生要想到分成两种情况讨论：P、Q分别为直角顶点，接着还需分析出每种情况下，各对应一种△PQC为等腰三角形的情况。

变式五：在（3）的条件下，平行于x轴的一条动直线与AC交于H,与抛物线交于K，以D,M,H,K为顶点的四边形是平行四边形，求H,K的坐标。

该题变式主要考查平行四边形的相关知识，教师教学中应善于引导学生抓住平行四边形对边相等的性质并结合点的表示解决该题。

变式六：在（3）的条件下，抛物线上是否存在点R,使得△ADC与△DRB全等？

该题变式考查了全等三角形的相关知识，对于学生来说，难点仍然在于判断对应边与对应角，及按照点R所在象限的不同分情况讨论，难度较大。教学中，教师需引导学生从已有的相等关系出发，寻找出一对对应点，然后讨论剩下的两种对应情况，画出草图分析。

当然，对于变式来说，题目是永远也变不完的，对应不同的知识点，放入不同的背景中，就可以造出许多不同的变式。但对于解题本身来说，很多技巧和思想方法是相通的，如线段与面积最大值问题，分类讨论三角形全等或相似问题，四个点构成平行四边形问题等等，方法都是有规律可循的。一些常见的数学思想，如数形结合，分类讨论，方程思想，化归思想等都是平时教学中经常渗透的。我们作为数学教师，不能局限于单纯知识点的讲授或某一问题的解决，而是要着眼于学生能力的提升，应该更加重视数学思想方法的传授与点拨、数学基本图形的归类整理。通过一些变式教学，引导学生去模仿、探索和归纳出某些知识的内在联系，进而提升学生的思维迁移能力，为学生知识的获得和思维的拓展提供广阔的发展空间。

那么，对于一道综合题，应该如何设计变式题呢？笔者认为可以从以下三个思路进行尝试：

一、添加已知条件

在原有题目的基础上，选定一个想要考查的知识点，添加相应的条件。如上述中考题的六个变式，基本上结合了要考查的内容而给出了不同的条件。如变式一，考查的仍然是动点问题构成的线段最值问题，不同点的选择就会产生不同的题目，如选择与线段的交点或与抛物线的交点，或者也可选择特殊点构成的线段，如线段的中点、三等分点等。当然，解题的最后，教师要善于引导学生发现变式中不变的部分，如由动点的坐标表示出线段的长度，归纳出求线段最大值问题，一般与求函数的最值挂钩，而求线段的最小值问题，一般又与垂线段最短有关；求两条线段的和最短问题又涉及作对称点的问题。甚至，教师可以继续引导学生思考到线段的变化又会引起图形面积的变化等等，将思路进一步拓宽。我想，经过这样的变式，学生对线段的最值问题一定记忆深刻。

二、改变图形位置与形状

运用多种手段改变图形的位置，如常见的平移、旋转、翻折等改变图形的位置；或者由点的运动或线的运动改变图形的形状等，如上述中考题，笔者可以继续如下变式：将△COD沿x轴向右平移m个单位，用含m的式子表示出它与△COB重叠部分的面积等。值得注意的是,教师可以引导学生归类的是一些求特殊结论的题目，如一些线段或角的数量关系，往往图形变了，但是图形的全等或相似的结论是不变的。这个时候的教学要突出基本图形的寻找，如K形全等或相似、射影定理基本图形等。

三、改变题目的陈述

将一些相关联的内容一起呈现。例如书本上一道经典的变式题：

求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

变式一：求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。

变式二： 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。

变式三：顺次连接什么四边形各边中点，可以得到平行四边形？

变式四：顺次连接什么四边形各边中点，可以得到菱形？

这道变式题强化了特殊四边形之间的联系，再一次把四边形的性质与判定紧密相连，给学生以质的飞跃。

叶圣陶说过这样一段话：教师当然要教，而尤宜致力于导，导者，多方设法，使学生自求得之，卒低于不待教师教授之谓也。我想，变式教学就是通过教师不断地引导、不断地深挖，提高学生综合应用各种知识的能力，让学生感受到思维的跳跃，碰撞出智慧的火花，享受到学习的快乐。