数学教学 不要丢掉根本

2017-12-24 09:19
数学通报 2017年7期
关键词:余弦定理椭圆解析

吴 彤

(江苏省盐城市教育局教科院 224000)

1 不正常现象

日常教学中,经常出现一些“怪”现象,令我们教师费解.如教师认为很简单的题,学生却发生了高错误率;教师认为很好理解的问题,很多学生却想不通等等.最近,笔者在高三一轮复习中,碰到了两个不正常现象,印象非常深刻.

现象之一:一些重要的数学公式、定理等,学生记得,但不知其成因.如向量数量积的坐标运算,由a=(x1,y1),b=(x2,y2),学生知道a·b=x1x2+y1y2,为什么呢?几乎无人知晓;余弦定理的公式,学生基本记得,怎么证明呢?很少有学生会;若问学生alogaN等于多少?不少学生知道等于N,什么原因呢?不知道.这类现象在高三一轮复习中,非常普遍.

现象之二:一些问题本应该有两个解题思路,而学生的方法却一边倒.如下题:

题:如图,海上有A,B两个小岛相距10 km,船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60°,现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业,且OC=BO.设AC=xkm.

(1)用x分别表示OA2+OB2和OA·OB,并求出x的取值范围;

(2)晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛,B岛至光线CA的距离为BD,求BD的最大值.

问题是第(2)小题,笔者所教班级只有3名学生完成了解答,全班没有发现1名学生建立坐标系,用解析法完成,他们的解析思想都哪里去了?真是令人匪夷所思!他们都是在寻求几何图形中的边角关系,而本题中的边角关系的建立较为灵活,使得绝大多数学生以失败告终.

2 原因分析

对现象之一,也许有人认为,这些数学结论,只要学生能灵活运用就行,能否理解其成因并不重要.这样的观点显然不妥,这是应试教育的典型表现.在高等数学中,确实有不少结论很难理解,要求学生记住,能套用公式就行,就像汽车驾驶员一样,只需要熟练掌握驾驶技术,而不需要掌握汽车原理一样.但中小学数学的内容简单,学生有必要理清其成因,其实,知识方法的本质搞不清楚,也很难灵活运用,就如现象之二,学生对解析法的本质理解不深,而无法把解析法用到几何问题的解答中去.此外,中小学数学的这点简单知识,都不弄清其内涵而建空中楼阁,学生将来怎能进一步深造学习?

那么,是什么原因造成上述两个现象的呢?是急功近利的思想在作怪.社会和教育主管部门对学校的高考期望值很高,学校向教师要高考成绩,加快教学进度,高中数学课程两年学完,高三一年复习.教师为了考试成绩,一些重点问题,反复讲,让学生反复练,因为现在的数学试卷题量偏大,要求学生快速反馈方法,并能熟练准确运算,这种教学方法的应试效果还就很好.其实,这种快节奏的教学方法,淡化了学生对数学内涵的理解,使我们的数学教学丢掉了根本!

新课程理念强调以学生为主体,得到了广大教师的认同,大多数课堂教学都注意引导学生思考,让学生学会解决问题.然而,依笔者看,过度引导的课堂教学比比皆是,不然,学生自己思考出来的东西,怎么到了高三就荡然无存的呢?纵观我们的一些公开课,课堂气氛活跃,教师问题一出,很多学生都能回答,全没有冷场现象,这正常吗?要么是学生已经预习过,他们就是说说答案而已;要么是教师的问题过细,千方百计让学生能回答他的问题,也就是笔者所讲的“过度引导”.学生的思考并不深刻,根本谈不上探究发现!试想,一个知识方法的构建,哪有这么容易?不少时间花在问题情境上,一半时间花在知识方法运用上,20分钟左右就生成一些重要的知识方法,难道我们的学生都是天才吗?当然不是,我们的学生到了高三,出现上述两种现象,也就不足为怪了.

3 教学案例分析

不知读者有没有注意到,一些快节奏教学的教师,他们所教班级平时成绩确实不错,然而高考成绩却平平,有时还不如人意,笔者所在学校确有此情况. 其原因很简单,很多知识方法快速生成,甚至直接告诉学生,速度快,课堂容量就大,学生成绩的提高见效快,但这是一种急功近利的短期效应,平时考试熟题多,这些班级的学生熟能生巧,分数高点,而高考有不少新题,这些班级的学生理解水平、分析能力并不强,分数就不高了.因此,笔者认为,不过度引导,真正以学生为主体,落实好探究教学,为促进学生的理解而教(见文[1]),这不仅对学生的高考成绩有帮助,对学生的终生发展大有裨益.以下结合一些具体的教学片段,谈谈笔者解决现象一、二的做法,与读者交流,以期抛砖引玉.

3.1 不过度引导 自然生成

知识方法的生成,重在“自然”.所谓自然生成,笔者是这样理解的,教师主要指明研究方向,以学生探究为主,尽量减少过程干预,通过学生的思考、以及合作交流,顺其自然地发现一些有价值的规律、定理等,教师再帮助学生总结归纳.如学习了正弦定理之后,怎样生成余弦定理呢?笔者将分析以下一个慢生成的教学过程.

问题1前几节课,我们通过探究发现了正弦定理,并且发现正弦定理在三角形中有广泛的应用,由此,同学们能联想到什么呢?

有些教师的课堂导入是:“前面我们已经学习过正弦定理,实际上还有余弦定理,本节课我将和大家一起来探讨余弦定理”.这就是过度引导,它严重削弱了学生的问题意识,是教师要求学生去找余弦定理,而问题1是要让学生想到余弦定理.如果学生长期在类似问题1的熏陶下,他们在发现正弦定理之后,很可能自己就会主动思考,是不是还有余弦定理和正切定理呢?有学习能力的学生,课后通过自主探究,自己发现余弦定理或正切定理,那才是更本真的自然生成!比学生多做几道关于“正、余弦定理”的题目,不知要强多少倍!只可惜我们现在的学生缺乏这种能力.

问题2既然同学们联想到了余弦定理和正切定理,那我们今天先来看看到底有没有余弦定理,是否有正切定理?大家课后再探讨.在三角形中,我们要去找余弦定理,有什么思路入手呢?请同学们交流研讨,看能不能找到探究思路?

如果我们课堂上,经常研讨类似问题2这种指向性不强的问题(特别是生源好的学校,更有必要),学生的研究分析能力会大大增强.虽然难度比较大,但只要我们给足时间,学生还是能够找到解决方案的.既然是余弦定理,当然要侧重研究三角形内角的余弦了,那么如何研究三角形一个内角的余弦呢?

方案1:可以作高,在直角三角形中研究一个内角的余弦;

方案3:建立平面直角坐标系,可以利用三角函数的定义,也能研究一个内角的余弦;

至此,大约需要半节课左右的时间,但这费时的讨论是有意义的,学生自己思考出来的方法,他们印象深刻,记忆持久.剩下的半节课,让学生根据3个方案,自主解决发现余弦定理,学生代表交流发现余弦定理的过程,最后总结归纳余弦定理(其实,一些生源不好的学校,还未必能完成余弦定理的最终归纳).

也许有人会提出质疑,你这节课课堂结构不完整,没有余弦定理的运用.确实是没有运用余弦定理解决三角形问题,但不能说是没有运用,我们这里运用直角三角形的边角关系、运用向量的数量积、运用解析法等去研究三角形的一个内角的余弦,是实实在在的运用,而且是综合运用.余弦定理的运用放到下一节课,又何妨呢?慢一点,让余弦定理自然生成,使学生深刻理解余弦定理并经久不忘,这就是这节课的教学目标.

3.2 不过度引导 注重成因

方法的生成教学,其成因是关键,得有道理,否则学生只能生搬硬套,遇到新情境,就不能灵活运用了.上述现象之二,学生为什么想不到解析法?因为他们没有深刻解析法的内涵“用代数的方法解决几何问题”.新授课中,我们为什么要研究“直线与圆的方程”以及“椭圆的标准方程”,得分析清楚道理,才能建立起学生的解析思想.那么,“椭圆的标准方程”的新授课教学,如何帮助学生建立解析思想呢?

苏教版2-1“椭圆的标准方程”这节内容有一段引言,提出“汽车贮油罐的外轮廓线的形状像椭圆,是不是椭圆?”,“聚光灯泡的反射镜等仪器都是运用椭圆的性质制造的,怎样才能精确制造?”.随后指出,借助椭圆的方程,可以回答上述问题.(详见文[3])这是一种解析思想的建立,不能一带而过,我们要创造性地使用教材,让学生慢慢思考,逐步内化.

与教材一样,课堂导入从一些实际的椭圆问题入手,也可以替换一些问题,如“过椭圆上一点,怎样准确作出椭圆的切线呢?”,虽然高中阶段没有定义椭圆的切线,但学生肯定认可这样的问题.然后,提出如下问题引导学生思考.

问题1这几个问题,同学们能解决吗?(停顿)那这是一类什么样的问题呢?

前者,学生显然无法回答;后者,让人感到有点可笑,学生还不怎么好回答.其实,不就是几何问题吗?笔者的目的,就是要让学生知道,椭圆的学习,就是要研究椭圆这个几何图形的性质,为怎样研究椭圆的几何性质作铺垫.

问题2前面我们刚刚学习过椭圆的定义,现在就要我们研究椭圆的几何性质,同学们有思路吗?

如果教师直接告诉学生,借助椭圆的方程,我们可以研究椭圆的几何性质,可以解决上述问题,那就是照本宣科,就是过度引导,学生的解析思想就很难建立.事实上,如果学生在“直线与圆”的学习中,解析思想建立的好,就应该有不少学生能回答问题2,否则会冷场,没有学生能回答.假如是后者,我们还需要再进行问题的引导.

问题3请同学们思考:在初中,我们已经研究过三角形、四边形、圆等图形的性质,为什么高中阶段,我们还要学习直线与圆的方程呢?

读者试想:我们的学生能够回答这样的问题吗?他们的解析思想真的建立了吗?恐怕未必.初中阶段研究过这些基本图形,建立了一套定理体系,由此研究关于“多边形和圆”的更复杂的图形的几何性质,我们称之为“几何法”;而高中阶段学习“直线与圆的方程”,是用代数的方法研究与“直线和圆”相关图形的几何性质,是“解析法”.至于多边形,它是由线段构成的,只要研究直线的方程即可.

如此,再让学生思考问题2,就容易了.对于椭圆,才刚学习过它的定义,根本无法用几何法研究其几何性质,我们可以建立坐标系,研究其方程,通过方程计算处理研究几何性质.总之,这里教学一定要慢一点,多让学生思考,为什么要研究椭圆的方程?让学生领悟解析思想,知道解析法的用途,就是解决几何问题的,面对一个几何问题,我们有两个思考方向:一个是几何法;一个是解析法.这会耗去不少教学时间,知识的运用会减少,但这是根本,不能忽视.如果我们的学生只会做所谓的“解几题”,没有建立坐标系的几何题,他们只能想到几何法,那我们高中的数学教学是不是很失败呢?其实,哪有什么“解几题”?几何问题是客观存在的,坐标系是为了研究几何图形而人为建立的,是一种方法,是要我们去运用的.

3.3 不过度引导 突出分析

如果高一、高二将课堂节奏放慢,充分尊重学生的主体地位,不过度引导,以学生的探究发现为主,那么,学生对知识方法的理解水平必然有较大的提升.但我们面对的是不同层次的学生,总会存在一些学生理解不到位的情况,他们的知识方法或多或少还会存在一些漏洞,当然这些漏洞,在高三的复习教学中,我们还需要帮助学生弥补.高三教学不能仅仅是知识的回归,要深化理解知识体系;不能仅仅是题型的总结归纳以及机械重复的训练,要突出问题的分析,突出学生的思维过程,要让学生领悟方法的内涵,达到灵活运用的目的.纵观各类中学数学教学类杂志,发现有不少教师提出高三复习“一课一题”的教学方法,笔者非常认同这种教学方法,一节课强化分析一、两个问题,透彻理解其中所涉及的知识方法,有助于学生的灵活运用.就如上文现象之二的那道题,其中第(2)小题,学生的正确率很低,需要加强分析引导.

问题1在第(1)小题中,我们已经用x表示了OA2+OB2和OA·OB,并求出了变量x的范围,现在第(2)小题要研究BD的最大值,我们的解题目标是什么呢?

日常的备课组听课中,我们发现大多数教师的处理方法是,先请学生谈方法,并问学生:你是怎么想到这个方法的?让学生谈思维过程,教师帮助补充分析,然后进行方法的自总结归纳.对此,笔者认为有点操之过急,部分学生的解题方法及其思维过程,其他学生未必能顺利内化.有必要从解题方向上进行思维监控,让学生先从整体上把握解题方向,再进行具体分析.问题1,要学生分析解题目标,怎样求BD的最大值呢?第(1)小题选取了变量x,并求出其范围,因此,若能建立BD关于x的函数f(x),就可以求其最大值.这既是一种理性分析,也是一种解题经验的分析,即要注意各个小题间的关联.

问题2怎样用变量x表示BD建立函数f(x)呢?我发现同学们都非常注重寻找图形中边角关系,但由于其复杂性,很多同学难以建立边角关系式而失败;只有少数同学找到了简洁的边角关系而迅速完成函数关系的建立.同学们注意,你们解决这个几何问题,缺少了一个方向性思考,你们再想想,少了一个什么解题方向?

现象之二说明学生解析思想建立的缺失,面对纯粹的几何题,想也不想就直接找边角关系而不能自拔,问题2的目的就是要让学生思考,对几何题而言,除了这种几何法外,还有另一个研究方向,用代数方法解决几何问题,即解析法.问题2的提问有点琐碎,但简洁的提问,学生又无从思考,如“这样的几何问题,我们有哪些思考方向呢?”,学生往往只回答自己的思考方法,不得已,统称为“边角关系的思考”即几何法,这样再让他们思考另一个解题方向,目的是要让他们恍然大悟,原来我们忘记了一个重要的方法,即“解析法”.最后作方向性思考的总结,面对一道纯粹的几何题,我们应有两个解题方向,一是几何法,侧重于几何关系的建立,以寻找边角关系为主;二是解析法,侧重于代数运算,主要是建立坐标系,以坐标运算为主.当然,几何法与解析法也不是完全割裂的,如坐标系下研究直线与圆的问题,我们也可以适当运用一些圆的基本性质,以简化运算.

问题2的研究后,先让学生用解析法完成这道题,要让他们体会解析法的思路,思路很清晰,运算也不很难,要让他们知道,解决问题不能一棵树上吊死,要多方向思考.最后,再让部分学生谈谈几何法的思考过程,教师作一些总结性分析等等.

4 几点反思

两个现象的发现,以及几个教学案例的分析,笔者对高中数学教学有以下几点思考,与读者研讨,以期抛砖引玉.

(1)数学教学,不要丢掉根本.让学生掌握基本数学知识和重要的数学思想方法,并学会运用这些基本知识方法思考解决问题,是我们数学教学的重要任务,这些知识方法的生成过程是教学的根本,如果高考之后,学生不从事数学方面的学习工作,他们高中所学习的知识方法很快就遗忘了,那其实就是根本不牢.笔者对高中阶段数学归纳法的学习,一直历历在目,记得有一节课,我们高二数学老师,在黑板上画了一排小矩形,他问道:假设这是一排砖块,现在要让它们全部倒下,需要满足什么条件呢?然后让我们讨论,学生代表发言,教师提取有效信息总结数学归纳法,课堂气氛很活跃.这其实就是现在的探究教学理念,教学效果很好,那为什么现在还会出现上述现象之一的呢?可能与我们问题过细、引导过度有关;与我们舍不得花时间让学生讨论有关,大型公开课还行,平时上课只是象征性地让学生讨论,要节省时间进行知识方法的运用.其实,我们教师不缺少教学理念,只要我们合理创设教学情境,合理设问,让学生充分思考,应该不会丢失数学根本.

(2)让课堂节奏慢下来,促进学生的理解.不知读者有没有注意这样一个现象,当我们与考试有问题的学生交流时,有不少学生都表示上课听得懂,这就是我们所讲的“懂而不会”的现象.为什么会出现这种现象呢?学生虽然听懂了知识方法,但他们未必真懂其内涵,“依葫芦画瓢”还行,问题一变,就不能灵活运用了.因此,我们的课堂教学不仅仅是让学生听得懂,还要让学生真正地理解,有必要让课堂节奏慢下来,认真落实课程理念,尊重学生、注重探究教学.知识方法的生成,不能引导过度,要不惜时间充分引导学生自主发现,他们的理解自然深刻,不仅能记忆持久,还能激发学生的探究热情;例题教学要少而精,题型讲得多,学生见识广,短时间内可能有效,时间一长,仍然不会,不如一节课只讲一、两个问题,引导学生学会思考,真正把问题研究透彻了,这样逐步培养学生解决问题的能力,即使问题变化,但所用的知识方法不变,他们还是能够解决.

(3)提高自身的专业素养.一名数学教师要教好学生,要具备两个条件:一是要有较强的专业素养,仅仅会解题是不够的,要能站得高看得远,他所教的学生才能视野开阔,问题的认识才深刻;二是要会教,要有较强的教育教学理论知识,要有先进的教学理念,他所教的学生接受能力才强,接受速度才快.因此,我们要积极参加一些正规的教学研讨活动,多聆听那些专家的教学指导;要多阅读一些数学专业书籍,加强自身的认识水平;要多订阅一些中学数学教学类杂志,拓宽视野,一节数学内容,大家都教过,人家却整理发表了,与我们日常的教法有什么不同?一个数学问题,我们都研究过,为什么人家能成文发表?作者的理解比我们深刻吗?多学习、多研究,我们的专业素养定能提高,我们教出的学生定能更优秀!

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