避开无穷 返璞归真(上)

2017-12-26 03:18张景中彭翕成
湖南教育 2017年47期
关键词:弓形阿基米德中点

文︳张景中 彭翕成

避开无穷 返璞归真(上)

文︳张景中 彭翕成

数学中的无穷,常用符号∞表示,来自于拉丁文的“infinitas”,取“没有边界”之义。

无穷内容之丰富,就像一个深不可测的海洋,其中不知蕴藏着多少秘密。古今中外关于无穷的著作浩如烟海。

对于无穷,数学家又爱又恨。面对无穷,常常能避则避,但避开无穷不是一件容易的事情。

1.《几何原本》中的无穷

欧几里得《几何原本》中第五公设就涉及无穷。叙述如下:

如图1,如果一条线段与两条直线相交,在某一侧的内角和小于两直角的和,那么这两条直线在不断延伸后,会在内角和小于两直角和的一侧相交。

图1

这里“不断延伸”的字句,已经涉及无穷。

“由圆外一点P向⊙O作切线”,现在常见的的作图法如图2,连接OP,作OP中点M,以M为圆心,MO为半径作圆,交⊙O于N,则PN即为所求作的切线。

而《几何原本》中的作图法如图3,连接OP,交⊙O于A,过A作OP的垂线,交以O为圆心,OP为半径的圆于点B,连接OB,交以O为圆心,OA为半径的圆于点C,则PC即为所求作的切线。

图2

图3

为什么《几何原本》中不采用图2的简单作法呢?因为圆的直径所对的圆周角为直角,是由三角形内角和等于180°推导得到的。使用图3的作法,就是希望避开平行公设,也就是避开无穷。

素数有无穷多个,在《几何原本》中的说法却是“质数比任意给定的一群质数还多”。注意这里避开了无穷。

2.从有限到无穷——三角形内角和定理的证

理解无穷,要从有穷开始。

研究表明:通过验证一个三角形的内角和为180°,就能断言所有三角形的内角和都为180°!

首先把几何问题代数化。如图4,建立平面直角坐标系,设△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0),B(1,0),C(u1,u2)。取 BC 的中点 M,延长AM至D,使得DM=AM,则∠DCB=∠CBA。取AC的中点N,延长BN至E,使得NE=NB,则∠ECA=∠CAB。于是要证明的命题转化为:∠ECA+∠ACB+∠DCB=180°,也就是 D,C,E 三点共线。

设 M(x1,x2),N(x3,x4),D(x5,x6),E(x7,x8),则命题的假设条件为 H:f1=2x1-(u1+1)=0,f2=2x2-u2=0,方程f1,f2表示M是BC的中点。

f3=2x3-u1=0,f4=2x4-u2=0,方程 f3,f4表示 N 是AC的中点。

f5=x5-2x1=0,f6=x6-2x2=0,方程 f5,f6表示 AM 延长1倍到D。

f7=x7-2x3+1=0,f8=x8-2x4=0,方程 f7,f8表示 BN延长1倍到E。

而要证明的结论是D,C,E三点共线,即C:g=(x5-u1)(x8-u2)-(x7-u1)(x6-u2)=0。

问题一共涉及10个变元。其中u1,u2可任意取值,叫做自由变元。一旦 u1,u2定了,x1~x8都可以由条件H定下来,所以x1~x8叫做约束变元。利用条件H接触x1~x8代入C,可得到关于u1,u2的多项式 G(u1,u2)。要证明条件H 之下有结论 C,也就是证明多项式G(u1,u2)恒等于0。容易推出G关于u1,u2的次数都不超过1,于是只要在u1,u2的一个2×2的格阵上检验G是否为0即可。这个格阵可取(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1),立刻可以算出G在这几组数值下为0。事实上,对于(u1,u2)=(0,0)=(1,0)根本不用算,因为此时 A,B,C 三点共线,结论显然。而在(u1,u2)=(1,1)和(u1,u2)=(0,1)这两种情形下得到的△ABC是全等的。因而只要对(u1,u2)=(0,1)作检验即可。把 u1=0,u2=1代入 H,得 x8=1,x6=1,x7=-1,x5=1,代入 C 得 g=0,这就完成了命题的证明。(参阅《自然杂志》1991年第1期《举例子能证明几何定理吗》)

图4

这表明,只要检验4个三角形(实质上是一个),便足以证明三角形内角和定理!

3.“飞矢不动”中的无穷

古希腊著名哲学家芝诺曾经提出“飞矢不动”的怪论。他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置,因而在每一个时刻都没有动。既然每个时刻都没有动,它怎么能够动呢?

为了驳倒这个怪论,就要说清楚什么叫动,什么叫没有动。

如果一个物体的位置在时刻u和后来的一个时刻v不同,我们就说它在时刻u和v之间动了。反过来,如果它在任意时刻t∈[u,v]都有相同的位置,就说它在u到v这段时间内没有动。

这样,动或不动都是涉及两个时刻的概念。芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!

芝诺论题的令人迷惑之处,在于运动物体好像要经过无穷多个时刻才能完成运动。而我们在理清动与不动的概念时,可以避开无穷,只在两个时刻考虑。

4.避开无穷的天才——阿基米德

古希腊的阿基米德是避开无穷的天才。他从抛物线弓形的内接三角形面积出发,成功地求出了抛物线弓形的面积。

如图5,设抛物线的方程为y=kx2(k>0)。考虑区间[a-h,a+h]上的一段抛物线所构成的弓形。

图5

从抛物线弓形去掉这个三角形之后,剩两个小弓形。类似地作每个小弓形的内接三角形;重复操作,剩4个小弓形,如图6。作每个小弓形的内接三角形,其面积为k·)3。

图6

不断做下去,得到无穷多的三角形,它们的面积之和是

在阿基米德时代,他必须避开无穷,说出一个令人信服的理由。

阿基米德计算到第n项就打住,得到等式

这个方法在数学史上以“穷竭法”著称。

(待续)

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