浅谈大地坐标系应变张量表达及其与地心直角坐标系的相互转换

李孟飞

摘要：大地坐標系应变张量表达与地心直角坐标系之间可以通过矩阵的方式完成相互转换。本文对大地坐标系应变张量表达进行了简单概述，并且在此基础上重点分析了正交曲线坐标系的普适表达推导过程以及大地坐标系应变张量表达与地心直角坐标系之间的转换问题，旨在为关注这一领域的人士提供一些可行性较高参考意见，推动我国相关领域的发展与完善。

关键词：大地坐标系；应变张量；地心直角坐标系；正交曲线坐标系

引言：

随着我国国民经济的发展以及人民生活水平的提高，社会各界对于我国地质勘探与地形测绘工作，特别是大地坐标系在其中的应用关注程度越来越高。在地球物理学以及大地测量当中，计算由质点位移引起的地表应变和地表某点的空间位置变化都会应用到坐标系。因此，如何在此种环境背景下完成大地坐标系应变张量表达与地心直角坐标系之间的转换工作，是相关领域工作人员的研究重点之一。

一、大地坐标系应变张量表达

设定点M为地面上的某一个定点，并且将这一点的坐标设定为θ、L与h，分别用于表示这一点的大地纬度、大地经度和距离地面的高度。则点M（θ，L，h）的位置向量可以用以下的公式进行表达，即：

等式中的R1为点M在椭球面与曲线法线之间交点的半径，可以用以下公式进行表达，即：

等式中的a和b分别是大地坐标系当中的旋转椭球的长半径与短半径，可以用以下公式进行表达，即：

二、大地坐标系应变张量表达与地心直角坐标系的转换

（一）正交曲线坐标系的普适表达推导过程

将正交曲线坐标系参考面作为推导研究的基础，在正交曲线当中选定任意一点P，以点P的坐标（q1，q2，q3）可以对曲线的坐标进行定义，将点P的前两个坐标q1，q2作为这点到参考面法线投影在面上的曲线坐标，这一点到参考面法线之间的距离设为q3，这样一来，点P的三个坐标分别形成了一个相互正交的三维立体网络，这一点形成的局部直角坐标系在欧式空间当中会与某个连通域Ω笛卡尔直角坐标系相互连接[1]。变量xi是由连续可微、双方单值且可逆的变换联系进行定义。因为变量xi对应Ω当中的某一点，所以对不同坐标变量之间的逆向和正向两种形式的变换矩阵需要通过雅可比行列式进行求导，即

det[T]ij=det（axi/aqi）≠0

det[T-1]ij=det（aqi/axj）≠0

与之对应的变换矩阵具有互逆性，因此可以得到

（aqi/axk）×（axk/aqj）=aqi/aqj

当等式中的i=j，那么等式的结果为1，若i≠j，那么等式的结果为0。

考虑到正交曲线坐标系的特性，在变换矩阵当中，雅可比行列式不为0，所以曲线坐标与笛卡尔坐标之间的坐标变换矩阵列向量不平行且正交。

（二）大地坐标系应变张量表达与地心直角坐标矩阵转换

在利用GPS观察技术和地质观测资料对地壳的应变形式进行分析的过程中，通常情况下选择的坐标系为大地坐标系或者是地心直角坐标系当中的一种，实现应变张量的分析。应用应变张量的矩阵转换公式，可以将其中一种坐标系所得出的结果转化成为另一种坐标系当中的数值，从而避免了二次测绘计算的麻烦。不用重新在另外一种坐标系当中进行张量计算，还可以降低测绘结果的误差，获得更加准确的坐标系地壳应变信息。作为一种空间直角坐标系，地心直角坐标系的曲线是彼此相交的正交曲线，与相比，虽然大地坐标系的坐标曲线也是彼此相交的正交曲线，但是大地坐标系是一个旋转的椭球参考面，二者都是正交曲线的坐标系，具有正交曲线坐标系活动标架彼此正交的特性。

在对二者之间的相互转换过程进行研究时，笔者经过对矿山测量与地籍测绘的结果进行分析，设定在某处监测站作为地心直角坐标系的原点，得出设置该监测站在旋转椭球的坐标系当中局部标架应变张量函数为τ，再将新坐标系同旧坐标系之中应变张量矩阵进行转换，便可以得出相应的结果。设置点M处建立的直角坐标系为单位固定标架，因此点M的单位向量左边之间也是相互正交状态。因为地心直角坐标系是直角坐标系当中的一种，大地坐标系是旋转椭球坐标系当中的一种，所以地心直角坐标系与大地坐标系之间的相互转换可以视为是直角坐标系与旋转椭球坐标系之间的转换。在某椭球体当中嵌入框架为地心直角坐标系的三维空间，并且将椭球体的球心点O与地心直角坐标系的原点相互重合，X1轴置于椭球起始子午面内部，球心的自转轴与X3轴相互重合，根据转换的原则，可以通过计算得出大地坐标系当中的点M在地心椭球面上的坐标标架表达式，再带入到地心直角坐标系框架当中进行转换，由此可以得出大地坐标系应变张量在地心直角坐标系当中参考面应变张量。

经过计算分析可以了解到，大地坐标系与地心直角坐标系当中相同位置的同一个点应变张量矩阵所给出的在该点地壳应变活动同坐标系之间不发生任何关系。结合我国某地区GPS数据，以当地某处进行大地坐标系应变张量与地心直角坐标系进行相互转换为例，设定某处参考点为N，用L表示其大地经度，用大地余纬数值作为坐标转换时的参数，将其带入前文当中的转换矩阵当中可以得出这一点经过转换之后在地心直角坐标系当中所对应的位置，同时还可以确定该点应变张量是一个同所选择坐标系不发生关系的不变量[2]。

总结：

综上所述，作为常用的坐标系，大地坐标系与地心直角坐标系都在GPS地壳形变分析当中发挥了重要的作用。GPS观测技术可以在监控地壳运动时，提出不同的参考框架。借助地心直角坐标系应变张量，在正交曲线坐标系基础上，能使用最简洁的方法推导出正交曲线坐标系应变张量表达式。推导出不同正交曲线坐标系应变张量表达式，能够作为地壳分析工作当中的参考数据，。

参考文献：

[1]王晶晶.流形的张量测量及其在工程应变测量中的应用[D].河南理工大学，2015.

[2]尚建奎.浅谈2000国家大地坐标系的启用[J].地球，2016（6）.endprint