数学中的“变”与“不变”

尚飞

我从人教版数学六年级下册的《整理复习》关于“数的运算”中，挖掘出了一节“特别的数学课”，想通过这节课的教学，来强化学生从千变万化中寻找不变规律的意识，进一步感受数学万变不离其宗的神奇之美。

数学教学应该给予学生什么？我想，不仅仅是知识与能力，更应该是一种眼光，即数学的眼光。这节课中我们就一直在培养学生的数学眼光——从变化中寻找不变。

特别一：“乘法分配律”的变与不变

要说“变化”，“数的运算”中乘法分配律最具有代表性，是最灵活的，很多看似非乘法分配律的形式，需要仔细观察分析后，才能转化成乘法分配律的基本形式。这节课就以“乘法分配律”的变化为主体，让学生充分感受数学的千变万化而又万变不离其宗的特别之处。

1.前置小研究——汇聚丰富的变式题

根据乘法分配律计算公式，你能想到哪些相关例子？试着写一写，画一画。

【设计说明】前置小研究的设计意图就是想让学生从不同角度提供丰富的例子，通过观察找到它们的共性。

2.借助几何图形直观理解变式题中的abc

（a+b） ×c=ac+bc

学生通过大量的感知后，丁莉同学提出：“我还可以利用面积图来解释乘法分配律”，于是出现了上图。接下来，孩子们便结合图例解释乘法分配律：

吕佳晨：对于75×101-75这个算式，我是利用算式的意义来思考的，101个75减去1个75，等于100个75。

郭欣宇：这里其实就是把75看作75×1。

现在就是把整个长方形的长看作b，即101，它的面积是101×75，那么a就是1，即这部分的面积是1×75，它们相减后就变成长是100，宽是75的长方形面积，即100×75。

郭欣宇：

刚才大家分享的都是两个计算的，我这道是三个的。3.87个减去0.87个，再加上1个。可是我这个算式用黑板上的面积图解释不了。

师：那你来自己画图解释。

郭欣宇边画边结合自己的算式向大家解释含义。

郭欣宇：只要找准不变的c就好。这里不变的c是，最后算的就是3个加上1个。不管括号里是两个数还是三个数相加减，万变不离其宗，都能找到乘法分配律的影子。

只要找准不变的c！

这样，学生借助几何直观图，通过分析大量例子后发现：看似变化万千的非乘法分配律都有一个共同的特点，那就是总有不变的c，即宽。所以在后面的学习中，学生看到题自然而然地就会先联系面积图，找不变的c。

最后有学生说：“原来我们认为的最易混淆的乘法分配律，好简单！”这样学生就初步体会了从数学千变万化的现象中，抽象出其不变的本质。

【设计说明】几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称2011年版课标）的十个核心概念之一，也是新增加的核心词汇。本课基于课程标准的要求，即通过学生借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，提高对数学的研究对象（即空间形式和数量关系）的直接感知、整体把握的能力。所以本课以面积图形与乘法分配律的运算对接为暗线，不断强化学生对不变量的把握，进一步培养学生的几何直观。几何直观既符合学生的认知需要，又利于学生对自己的变式做出直观清晰的解释，更能突出万变不离其宗的“宗”。

3. 乘法分配律在多位数乘法竖式中的运用

仔细回想，我们口算乘法、笔算乘法的算理都是在使用乘法分配律。所以课上在大家都没有其他类型题能列举时，刘缘同学站起来说：“其实在我们以前学习的笔算乘法中也能找到乘法分配律。比如：25×24=25×4+25×20，这里4个25加上20个25，就是24个25。”

2 5

×2 4

1 0 0

5 0

6 0 0

【设计说明】当孩子们发现乘法分配律与笔算乘法的关系时，在大量感知的基础上，又有了几何直观的深刻表征，孩子们恍然大悟，原来我们曾经认为的难点就在我们日常的计算中。当把这些知识贯通后，会潜移默化地影响学生对数学的态度：数学并不难，它的背后有简单的道理。此外，也使学生深入感受乘法分配律的广泛应用价值。

特别二：数学中的变与不变

其实，通过对乘法分配律进行交流，学生感知了千变万化的现象后面有很多不变的数学道理，这只是本节课的一个引子。接下来呈现的材料二才是一石激起千层浪，学生的思维一下子被打开了。

材料二：

观察材料二，你还能找到什么变了，什么不变吗？

异分母变成同分母，变就是为了不变。3个六分之一加上2个六分之一等于5个六分之一，即变是为了找到乘法分配律中不变的c，这里即是分数单位，分数加减法就是在计算几个分数单位相加减的过程。孩子们有的整理了正反比例的例子，有的整理了等积变形的现象，有的整理了数量关系，还有的从观察一组直柱体找到了它们的共性，即体积计算的方法可以表示为底面积乘高。

大家“哇——”的一声，响起了热烈的掌声。可是郭欣宇同学还紧皱眉头：“我还有一个问题没有解决，当底面是圆形、长方形、正方形、三角形甚至梯形时我们都会算，可是如果是五角星、不规则图形我们该怎样计算它的面积呢？”

孩子们在交流中，不断寻求变化后面的不变。

【设计说明】 当我们从一个新的视角回视所学知识时，会突然发现原来复杂的数学知识背后其实隐含着简单的、根本的数学规律，原来很多数学知识都是万变不离其宗。而这些数学规律能让学生有能力把数学看得简单，学得有趣。在大量的体验感悟中，进一步提升学生对数学的认识——千变万化背后蕴藏着不变的规律。这样便激活了学生的思维，学生能够从大脑中调取很多数学学习中变与不变的例子，初步培養了学生用数学的眼光看世界的意识。在交流中，学生敢于质疑，能提出真问题，更重要的是转变了对待数学、对待学习的态度，敢于寻求真理。

特别三：大自然中的变与不变

在孩子们真正感受到数学千变万化中不变的规律时，开普勒的一句名言可以领着他们走进自然课堂：数学就是研究千变万化中不变的规律。最后在欣赏“斐波那契数列”的美中，孩子们对变与不变的感受有了进一步升华：美丽的大自然中就有我们不变的数学规律，数学太特别、太奇妙了！

【设计说明】让孩子们体验到，数学规律不仅存在于数学知识中，更存在于多姿多彩的大自然中。让孩子们的数学眼光突破数学教材的壁垒，冲破数学知识狭小的空间，看向神奇的大自然。给孩子们一种眼光，一种数学的眼光，在那里寻找数学的奇妙之美。这就是我在前面说到的，“我想学生对数学的感觉会由枯燥繁难转变为简单神奇，甚至是感动和震撼。”endprint