解析几何知识结构与拓展

河南省实验中学 丁海丽

解析几何知识结构与拓展

河南省实验中学 丁海丽

一、知识结构

详见本期封二。

二、知识拓展

1.直线的倾斜角与斜率的关系。

例1 已知直线xs i nα+y=0,则该直线的倾斜角的变化范围是____。

思路点拨:直线斜率k=t a nβ(β为直线的倾斜角)在[0,π)上是不单调的且不连续。由直线的斜率求倾斜角的范围问题,一般借助正切函数在[0,π)上的图像,数形结合确定斜率与倾斜角的范围。

解析:由题意得直线xs i nα+y=0的斜率k=-s i nα。因为-1≤s i nα≤1,所以-1≤k≤1。

2.直线方程的分类讨论。

例2 (1)a为何值时,直线l1:x+2a y-1=0与直线l2:(3a-1)x-a y-1=0平行?

(2)a为何值时,直线l3:2x+a y=2与直线l4:a x+2y=1垂直?

思路点拨:求直线方程,特别是研究含参数的直线方程问题时,一定要对直线的斜率存在还是不存在进行讨论,这是避免出错的重要方法。

解析:(1)①当a=0时,两直线的斜率不存在,直线l1:x-1=0,直线l2:x+1=0,此时,l1∥l2。

(2)①当a=0时,直线l3的斜率不存在,直线l:x-1=0,直线l:y-=0,此34时l3⊥l4。

②当a≠0时,直线l3:y=-x +与直线l4:y=-x+,直线l3的斜率为k3=-, 直线l4的斜率为k4=,要使两直线垂直,必须k3·k4=-1,即-·(-)=-1,不存在实数a使得方程成立。

综合①②可得,当a=0时,两直线垂直

跟踪练习2.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,则过点(3,5)且与圆C相切的切线方程为____。

3.圆锥曲线方程的焦点位置。

思路点拨:在求解圆锥曲线方程问题过程中,当焦点位置不明确时要注意依焦点所在位置分情况进行讨论,以免造成漏解。

综上,m=1或1 6。

跟踪练习3.以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为,求双曲线C的离心率。

4.定点问题。

例4 已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F作两条相互垂直的弦A B,C D,设弦A B,C D的中点分别为M,N。求证:直线MN恒过定点。

思路点拨:直线恒过定点是指无论直线如何变动,必有一个定点的坐标适合这条直线的方程,问题就归结为用参数把直线的方程表示出来,无论参数如何变化这个方程必有一组常数解。本题容易出错的地方有两个:一是在用参数表示直线MN的方程时计算错误;二是在得到了直线系MN的方程后,对直线恒过定点的意义不清楚,找错方程的常数解。

跟踪练习4.已知双曲线C-=1(a＞0,b＞0)的焦距为2 7,其一条渐近线的倾斜角为θ,且t a nθ=。以双曲线C的实轴为长轴,虚轴为短轴的椭圆记为E。

(1)求椭圆E的方程。

(2)设A是椭圆E的左顶点,P,Q为椭圆E上异于点A的两个动点,若直线A P,A Q的斜率之积为-,问:直线P Q是否恒过定点?若恒过定点,求出该点坐标;若不恒过定点,说明理由。

由①②解得a2=4,b2=3,所以椭圆E的方程为+=1。

当m=2k时,直线P Q的方程为y=k x+2k=k(x+2),此时直线P Q过定点(-2,0),显然不适合题意。

当m=-k时,直线P Q的方程为y=k x-k=k(x-1),此时直线P Q过定点(1 0)。

综上,直线P Q恒过定点(1,0)。

(责任编辑 刘钟华