环Z2+uZ2+u2Z2(u3=1)上的2-D斜循环码

赵瑞瑞,李秀丽

(青岛科技大学数理学院，山东 青岛 266061)

环Z2+uZ2+u2Z2(u3=1)上的2-D斜循环码

赵瑞瑞,李秀丽*

(青岛科技大学数理学院，山东 青岛 266061)

本文研究了环Z2+uZ2+u2Z2上的2-D斜循环码，对二元斜多项式的性质和因式分解进行了讨论。同时研究了线性码是2-D斜循环码的充要条件、2-D斜循环码的性质及其构造方法 。

斜循环码；斜多项式；2-D斜循环码

1 预备知识

多项式环和理想通常被用来构造循环码。斜多项式环是非交换环，在代数码的构造上应用广泛。因为斜多项式环中的多项式不满足乘法交换律，因此斜多项式环中比多项式环中存在更多的理想。文献[1-2]中提出了利用斜多项式来构造循环码的一种推广形式——斜循环码，并且构造出了许多好码。近几年，编码领域的科学工作者以高斯环、Z2+uZ2+u2Z2、F4+vF4、Fp+vFp作为主要的研究对象，在斜循环码的构造方面，文献[1-6]做了很多卓有成效的工作。文献[3]中讨论了环Z2+uZ2+u2Z2上的斜循环码与多项式环理想的关系，并给出了斜循环码的生成多项式。文献[7]中介绍了在有限域上二维斜循环码的一些基本性质和构造方法，以及2-D斜循环码和斜循环码以及循环码之间的关系。

在本文中环R=Z2+uZ2+u2Z2={0,1,u,u2,1+u,1+u2,u+u2,1+u+u2}，其中u3=1。对任意的两个元素a=a0+ua1+u2a2,b=b0+ub1+u2b2∈R，定义加法规则如下：c=a+b=c0+uc1+u2c2，其中ci=ai+bi(mod 2),i=0,1,2。乘法定义为c=ab=c0+uc1+u2c2，其中c0=a0b0+a1b2+a2b1(mod 2)，c1=a0b1+a1b0+a2b2(mod 2)，c2=a0b2+a2b0+a1b1(mod 2)。

c=(c0,c1,…,cn-1)∈C⟹Τσ(c)=(σ(cn-1),σ(c0),…,σ(cn-2，))∈C,

映射Τσ称为σ-斜移位算子。如果σ是单位映射，那么C是R上的循环码。

设σ是R上的一个自同构映射，多项式集合R[x,σ]={∑aixi|ai∈R;i∈Z+}。在R[x,σ]上加法运算定义为普通多项式加法，乘法定义为axi·bxj=aσi(b)xi+j。由分配律和结合律可扩充为R[x,σ]上的任意元素之间的运算，因此R[x,σ]是一个环 。

通常，如果f(x)∈R[x,σ]生成一个双边理想，那么R[x,σ]/的左理想是一个在R上长为deg(f(x))的线性码。这样的码称为斜线性码，如果它是一个主左理想，那么称它为主斜线性码。

设σ和θ是R上的两个自同构映射，二元多项式集合

R[x,y;σ,θ]={∑∑aijxiyj|aij∈R;(i,j)∈Z+2},

在R[x,y;σ,θ]上加法运算定义为普通多项式加法，乘法定义如下：

axiyj·bxryt=aσiθj(b)xi+ryj+t，

由分配律和结合律可扩充为R[x,y;σ,θ]上的任意元素之间的运算，因此R[x,y;σ,θ]是一个环。

定义1.2 设C是一个在R[x,y;σ,θ]上长度为n的线性码，n=sl，写成矩阵的形式，∀c∈C有

如果矩阵c的行在σ斜移位和列在θ斜移位下仍在C中，称C是一个R上的在σ和θ下大小为sl的2-D斜循环码。如果σ和θ是单位映射，C是2-D循环码。

2 二元斜多项式环R[x,y;σ,θ]

设f,g∈R[x,y;σ,θ]，且f,g的最高次项的系数在R上可逆，如果存在h∈R有f=h·g，那么g称为f的右因子。左因子的定义类似。若g与任意多项式可交换，则g(x,y)∈Z(R[x,y;σ,θ])，称g为中心多项式。

与[5]中证明类似，可得到以下结论：

引理2.1 如果g·h∈Z(R[x,y;σ,θ])，那么g·h=h·g。即一个中心多项式的右因子也是它的左因子。

(xs-1)·f(x,y)=f(x,y)·(xs-1)和(yl-1)·f(x,y)=f(x,y)·(yl-1)。

证明：设f(x,y)∈∑∑ai,jxiyj,ai,j∈R，

另一等式同理可证。

下面将文献[4]中定理1推广到到二元斜多项式环。

定理2.3 设两个非零多项式f1(x,y),f2(x,y)∈R[x,y;σ,θ]，满足deg(f1(x,y))≥deg(f2(x,y))，那么存在两个多项式h(x,y)≠0,g(x,y)∈R[x,y;σ,θ]满足f1(x,y)=h(x,y)·f2(x,y)+g(x,y)有h(x,y)=0或deg(f2(x,y))!≤deg(g(x,y))deg(f1(x,y))。(其中!≤表示不严格小于)

证明：设deg(f1(x,y))=(k1,λ1),deg(f2(x,y))=(k2,λ2)满足(k1,λ1)≥(k2,λ2)。假如f1(x,y)和f2(x,y)的最高次项分别为ak1λ1xk1yλ1和bk2λ2xk2yλ2，ak1,λ1≠0且bk2λ2≠0，在R上可逆，存在h1(x,y)=ak1λ1(σk1-k2θλ1-λ2)-1(bk2λ2)xk1-k2yλ1-λ2和g1(x,y)=f1(x,y)-h1(x,y)·f2(x,y)，显然有g1(x,y)=0或deg(g1(x,y))deg(f1(x,y))。如果g1(x,y)≠0，deg(f2(x,y))!≤deg(g1(x,y))结论得证，否则deg(f2)≤deg(g1)。类似地，存在h2(x,y)和g2(x,y)有g1(x,y)=h2(x,y)·f2(x,y)+g2(x,y)，满足g2(x,y)=0或deg(g2(x,y))deg(g1(x,y))。如果g2(x,y)≠0，deg(f2(x,y))!≤deg(g2(x,y))，结论得证，否则deg(f2)≤deg(g2)。继续按上述方法迭代，在有限次运算之后停止，我们得到h1(x,y),h2(x,y),…,ht-1(x,y)和g1(x,y),g2(x,y),…,gt(x,y)有

f1(x,y)=h1(x,y)·f2(x,y)+g1(x,y)，

g1(x,y)=h2(x,y)·f2(x,y)+g2(x,y)，

…，

gt-1(x,y)=ht(x,y)·f2(x,y)+gt(x,y)，

满足gt(x,y)=0或f2(x,y)!≤gt(x,y)。如果gt(x,y)≠0，有

deg(gt(x,y))deg(gt-1(x,y))…deg(g1(x,y))deg(f1(x,y))。

例2.4 设f1(x,y)=x4y2-2xy+5，f2(x,y)=x2y-2x+2，满足deg(f1(x,y))>deg(f2(x,y))，容易得出f1(x,y)=h(x,y)·f2(x,y)+g(x,y)，其中h(x,y)=x2y-2，g(x,y)=-xy-2x+9，满足定理要求。

3 2-D斜循环码的结构

且l是满足上述条件的最小正整数。

这意味着，在R上长为n=sl下标为l的斜准循环码C是在映射Τσ,l下Rsl的不变的R-子模。

设C是R上的长为n=sl的线性码，它的码字可以写成s×l的矩阵形式：

从定义中可知C是2-D斜循环码的充要条件是：

①C1是一个在σ下长为sl指数为l的斜准循环码；

②C2是一个在θ下长为sl指数为s的斜准循环码。

设F=R[x,y;σ,θ]/l，给出如下自同构映射：

Rs×l→F，

Rs×l记为s×l的矩阵的集合。那么一个码字c∈C可以被记为在上述映射下的一个二元多项式。因此在R上的斜循环码也可以认为是F的左R[x,y;σ,θ]-子模。

定理3.2F上的码C是一个2-D斜循环码，当且仅当C是一个F的左R[x,y;σ,θ]-子模。

证明： “⟹”在F中的码C是2-D斜循环码，码C中的任意码字的行σ-移位和列θ-移位仍在C中。设f(x,y)是C中的码字的二元多项式表示，对任何非负整数i,j{xiyjf(x,y)}R仍是C中码字的二元多项式表示，{xiyjf(x,y)}R表示x的指数模s,y的指数模l。C是线性的有{r(x,y)f(x,y)}R∈F，对∀f(x,y)∈R[x,y;σ,θ]，所以C是F的左R[x,y;σ,θ]-子模。

“⟸”设C是F的左R[x,y;σ,θ]-子模，那么对∀f(x,y)∈F我们有{x·f(x,y)}R∈C，{y·f(x,y)}R∈C。因此C是一个2-D斜循环码。

例3.4 取R上的自同构映射σ、θ为：σ(a0+ua1+u2a2)=a0+u2a1+ua2，其中ai∈Zi,i=0,1,2，σ=θ。易知若a∈R，则θ2(a)=a，即θ的阶为2。 设l=4,s=2，那么D=是F的一个左理想，D/是一个4×2的2-D斜循环码。

理想D有一个生成元为xiyj(x2+uxy+u2x2y)模，0≤i≤3,0≤j≤1的集合，相对应的码字为：

4 结语

本文对2-D斜多项式环的性质和因式分解进行了讨论，给出了环Z2+uZ2+u2Z2上的一个自同构，讨论了其上的2-D斜循环码的性质及其构造，并给出了一个实例加以说明。由于Z2+uZ2+u2Z2上的斜循环码是广义斜循环码，其个数要比循环码多，因此研究斜循环码有利于找到更多的好码。

[1]BOUCHERD, GEISELMANN W, ULMER F. Skew cyclic code[J]．Applied Algebra in Engineering Communication and Computing，2007，18(4): 379-389.

[2]BOUCHER.，ULMER F. Coding with skew polynomial rings [J]．Journal of Symbolic Computation，2009, 44: 1644-1656.

[3]李锦，朱士信.Z2+uZ2+u2Z2上的斜循环码[J].合肥工业大学学报(自然科学版)，2011,34(11)：1745-1748.

[4]徐贤奇，朱士信.F4+vF4上的斜循环码[J].合肥工业大学学报(自然科学版)，2011, 34(9)：1429-1732.

[5]BHAINTWAL M. Skew quasi-cyclic codes over Galois rings[J]. Des Codes Cryptogr，2012，62: 85-101.

[6]ABUALRUB T, GHRAYEB A, AYDIN N , et al. On the construction of skew quasi-cyclic codes [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2010, 56: 2081-2090.

[7]LIX L, LI H Y. 2-Dskew-cyclic codes overFq[x,y;ρ,θ][J]. Finite Fields and Their Applications, 2014，25：49-63.

2-DskewcycliccodesovertheringZ2+uZ2+u2Z2(u3=1)

ZHAORui-rui,LIXiu-li*

(SchoolofMathematicsandPhysics,QingdaoUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266061,China)

∶In this paper, the2-Dskew cyclic codes over the ringZ2+uZ2+u2Z2was studied. The properties and factorizations of bivariate skew polynomial were also discussed. Then the necessary and sufficient condition for linear code to be 2-Dskew cyclic code were given. Finally,the properties and the structure of 2-Dskew cyclic code were researched.

∶skew cyclic codes; skew polynomial;2-Dskew cyclic codes

10.3976/j.issn.1002-4026.2017.06.020

2017-01-09

山东省中青年科学家奖励基金(BS2011DX011)；山东省科技厅联合专项(ZR2013AL011)

赵瑞瑞(1992—),男，硕士研究生，研究方向为组合设计编码。

*通信作者，李秀丽，女，副教授，硕士生导师，研究方向为组合设计编码。1436354481@qq.com

O157

A

1002-4026(2017)06-0119-05