广义Nekrasov矩阵的新实用判定准则

石玲玲

(晋中学院数理学院，山西晋中 030619)

广义Nekrasov矩阵的新实用判定准则

石玲玲

(晋中学院数理学院，山西晋中 030619)

通过对矩阵的指标集进行细分，巧妙地构造特殊的正对角矩阵，给出广义Nekrasov矩阵的一组更实用的判定准则，扩大了广义Nekrasov矩阵的判定范围。

广义Nekrasov矩阵；Nekrasov矩阵；正对角矩阵

设A=(aij)∈Cn×n，N={1,2,…,n}。

对N进行划分，记

则N1⋃N2⋃N3=N。把N1进一步划分为，其中m为任意正整数。而

定义[1]设A=(aij)∈Cn×n。若则称A为弱Nekrasov矩阵；若每个不等号都是严格的，则称A为Nekrasov矩阵；若存在正对角矩阵D，使得AD为Nekrasov矩阵，则称A为广义Nekrasov矩阵。

引理1[2]若A为广义Nekrasov矩阵，则(i∈N)。

引理2[3]若A为Nekrasov矩阵，则A为广义Nekrasov矩阵。

由引理1知，如果A的主对角元素有零元素，那么A一定不是广义Nekrasov矩阵。若N1⋃N2=Ø，则A为Nekrasov矩阵，由引理2知A为广义Nekrasov矩阵。若N3=Ø，则A不是广义Nekrasov矩阵。因而本文总假设aii≠0，N1⋃N2≠ Ø，N3≠ Ø。

定理1设A=(aij)∈Cn×n。若

则A为广义Nekrasov矩阵。

证明由r的表达式知0≤r＜1，且有

于是，对∀i∈N3有

故由s的表达式得0≤s≤1，且有

再结合式(1)、(2)、(3)，可取充分小的正数ε，使得

且满足

构造正对角矩阵D=diag(d1,d2,…,dn)，并记B=AD=(bij)，其中

则有

显然 0＜di≤ 1(∀i∈N)，于是

假设i≤h时，Λi(B)≤Λi(A)成立，则当i=h+1时，有

由数学归纳法可知 Λi(B)≤ Λi(A)(∀i∈N)。再由(8)式可得li(B)≤li(A)(∀i∈N)。下证B为Nekrasov矩阵。

2)对∀i∈N2，由式(7)可得

3)对 ∀i∈N3，有

再利用式(5)可得

在定理1中取m=1时可得推论1。

推论1设A=(aij)∈Cn×n。若

则A为广义Nekrasov矩阵。

注由于0≤s≤1，所以可见推论1优于文献[4]中的定理1。

在定理1中取m=2时可得推论2。

推论2设A=(aij)∈Cn×n。若

则A为广义Nekrasov矩阵。

[1]石玲玲,徐仲,陆全,等.广义Nekrasov矩阵的新迭代判别法[J].数值计算与计算机应用,2013,34(2)：117-122.

[2]WANG Q,SONG YZH,LI W G.Estimates of Upper Bounds of the Spectral Radius for some Iteration Matrices[J].Journal of Nanjing University Mathematical Biquarterly,2005,22(1)：96-106.

[3]WEN L.On Nekrasov matrices[J].Linear Algebra and its Applications,1998,281：87-96.

[4]郭爱丽,刘建州.广义Nekrasov矩阵的判定[J].工程数学学报,2009,26(4)：697-702.

The Practical Criteria for Generalized Nekrasov Matrices

SHI Ling-ling
(School of Mathematics and Physics,Jinzhong University,Jinzhong Shanxi,030619)

In this paper,by subdividing the index set of a matrix,and skillfully constructing a specially positive diagonal matrix,some new practical criteria of generalized nekrasov matrices are given,which expand the judgement scope of generalized Nekrasov matrices.

generalized nekrasov matrices;Nekrasov matrices;positive diagonal matrices

O151.21

A

1674-0874(2017)06-0018-03

2017-06-30

石玲玲（1989-），女，山西临汾人，硕士，助教，研究方向：矩阵理论及其应用。

〔责任编辑 高海〕