刚体定轴转动与质点直线运动的简单类比

王栋

摘 要 在大学物理中，刚体定轴转动部分的内容，几乎全部物理概念、物理规律及推导过程都可以与质点直线运动进行类比。文章从运动的描述、动力学方程、做功及动能、冲量矩及角动量四个方面展开类比。教师通过类比把知识呈现给学生，可以使学生快速而牢固地掌握这部分内容。

关键词 定轴转动 直线运动 类比

中图分类号：O311 文献标识码：A

在大学物理课程中，刚体的定轴转动部分是一个难点，有些概念是质点力学中从未提及的，又比较抽象，老师讲起来比较困难，学生学起来也比较困难。即使记住公式，也不知道该怎么代。实际上，刚体定轴转动是刚体力学的基础，也是最简单的部分，只要掌握一定的方法，就可以达到较好的教学效果。在物理学中，不论是科学研究过程，还是教学过程，有一个方法必须重视，那就是类比法。物理教学中的类比法随处可见，在帮助学生理解物理概念和规律方面非常值得推荐。刚体定轴转动与质点直线运动就有很多可以类比的地方。本文从以下四个方面进行类比。

1运动的描述

质点直线运动是一维的，只在一条直线上运动，因此其位置只用一个坐标就可以确定。建立一条坐标轴x轴，用坐标x描述质点的位置，速度和加速度也可用标量v和a表示。从x到v再到a，是求导的关系，而反过来，就是积分的关系。刚体定轴转动时，虽然各质点均做圆周运动，但整个刚体的转动也是“一维”的，这是因为转轴是固定的。类似地，其位置用角坐标 描述，角坐标的变化快慢用角速度 描述，角速度的变化快慢用角加速度 描述。从 到 再到 ，是求导的关系，而反过来，就是积分的关系。

关于方向，刚体的转动是用转轴的指向来描述的。因为转轴固定，所以方向只有两个。先选定一个正方向，正如质点运动学中的坐标轴一样。约定：从转轴正方向看过去，刚体逆时针转动为正，即 取正值；顺时针转动为负， 取负值。也可以用右手螺旋法则，右手四指绕向刚体转动的方向，拇指的指向若沿转轴正方向，则刚体转动方向为正，反之为负。虽然转动的方向判定比质点运动复杂，但依然可以找到对应关系。刚体逆时针转动对应于质点沿坐标轴正方向运动，顺时针转动则对应于质点沿坐标轴负方向运动。

2动力学方程

在质点力学中，若质点所受的合外力为零，则质点运动状态不变，即运动速度的大小和方向均不发生变化；若所受合外力不为零，质点将获得一个加速度，使其运动状态发生变化。因此，力是改变质点运动状态的原因。质点做直线运动时，力与加速度之间滿足，这就是质点运动的动力学方程，人们熟知的牛顿第二定律。

在刚体定轴转动中，力不再是改变运动状态的原因了，与力相对应的，是力矩。与质点力学类似，若刚体所受的合外力矩为零，则刚体的转动角速度不发生变化；若所受合外力矩不为零，刚体将获得一个角加速度，使其转动状态发生变化。因此，力矩是改变刚体转动状态的原因。力矩与角加速度之间满足M=I ，这就是刚体定轴转动的动力学方程，称为转动定律。当然，这里需要注意，M、I、 都必须是对于同一固定转轴而言的。I为刚体的转动惯量，是一个描述刚体转动惯性的物理量，正如质点力学中的质量一样。

3功与动能

在质点直线运动中，力对空间的积分称为做功，数学表达式为：W=Fdx；而在刚体定轴转动中，力矩对空间的积分称为做功，只是空间量用角度描述：：W=Md 。在两种运动中做功都等于动能的增量，这就是动能定理。质点的动能等于惯性质量乘以速度平方除以2：Emv2，刚体定轴转动的动能也是非常类似的，只要把惯性质量换成描述转动惯性的转动惯量，把速度换成角速度就可以了，表示为：Ek= I2。

4角动量与冲量矩

在质点力学中，有两个非常重要的物理量：冲量和动量。力对时间的积分称为冲量，惯性质量和速度的乘积称为动量，用p表示：p=mv。一段时间内，作用于质点上的合外力的冲量等于质点动量的增量，这就是质点的动量定理。该定理可以从质点运动的动力学方程-牛顿第二定律推导而来：

F= Fdt=dp Fdt=dp=p2p1。

类似地，在刚体定轴转动中，也有两个对应于冲量和动量的物理量：冲量矩和动量矩，动量矩常称为角动量。力矩对时间的积分称为冲量矩，转动惯量和角速度的乘积称为角动量，通常用L表示：L=I 。一段时间内，作用于刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量，这称为刚体的角动量定理。同样，这个定理也可以从刚体定轴转动的动力学方程-转动定律推导而来：M= Mdt=dL Mdt=dL=L2L1 。

冲量矩和角动量是两个全新的物理量，也比较抽象，学生理解起来会比较困难。但这两个量又非常重要，在后续的学习中，特别是在量子力学中，角动量会经常出现。因此必须让学生理解透彻，与质点力学的类比可以帮助学生快速理解角动量。

以上四个方面囊括了刚体定轴转动的大部分内容。通过类比可以看出，虽然刚体定轴转动与质点运动是完全不同的两种运动，但研究方法却非常类似，几乎每一个物理量、定理及推导方法都能够对应。对两种运动进行类比教学，不仅能够使学生快速而牢固地掌握刚体定轴转动的知识，而且可以领略物理学中理论结构的对称美。

参考文献

[1] 廖耀发，陈义万.大学物理学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 钱卉仙.对称性原理在刚体定轴转动教学中的应用[J].科技信息，2010（04）：516.endprint