二项分布与泊松分布教学探析

朱华

摘 要 二项分布与泊松分布是离散型随机变量的两个重要分布，具有非常重要的实际意义。笔者结合教学实践，引导学生理解并运用公式去解决实际问题，体会概率在生活中的魅力，达到学以致用的目的。

关键词 二项分布 泊松分布 教学初探

中图分类号：O211.3 文献标识码：A

在日常生活中处处都和概率有着千丝万缕的联系，因此，在概率论的教学中应以生活为出发背景，理论联系实际。二项分布与泊松分布是离散型随机变量的两个重要分布，与实际联系紧密，也是学生学习过程中的两个难点，经常出现学生照搬公式，照葫芦画瓢，出现很多漏洞。笔者通过几年来对概率论课程的教学研究，反复总结自己多次教学过程的优缺点，结合小概率原理，以此调动学员的学习热情，提高学员用概率知识解决实际问题的能力。

实例1：设一汽车在开往目的地的道路上需要经过4盏信号灯，每盏信号灯以的概率允许或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已经通过的信号灯盞数（设各信号灯的工作是相互独立的），求X的分布律。

实例2：设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。

实例3：设骑一次摩托车出事故的概率为0.02，独立重复400次，求至少出2次事故的概率。

实例4：由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售额可以用参数 =10的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，试问商店在月底至少应该进这种商品多少？

1二项分布

二项分布实质即为贝努里定理的全部情形，是独立性问题的典型应用，为此，关于独立性的理解一定要充分。

如实例1：

汽车通过信号灯只有两种可能：红灯或者绿灯。这是很典型的贝努里试验，但这与贝努里定理有区别，X表示首次遇到红灯时通过的信号灯盏数，我们不妨以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则汽车通过的概率为1p，0

以p=代入得P（X=k）=（1）k=（）k+1，k=0，1，2，3，4

实际上，p（1p）k，k=0，1，2，3，4是几何级数p（1p）k的一般项，于是人们称它为几何分布。

二项分布是指n次独立的贝努里试验中事件A恰好发生k次的概率。

如：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击10次，试求恰好击中5次的概率。

解析：将每次射击看成一次试验。设击中的次数为X，则X～B（10，0.02）.

X的分布律为P（X=k）=Cpk（1p） 10-k=C0.02k（10.02）10-k，k=0，1，2，…，10于是所求概率为：P（X=5）=C0.025（10.02）

2泊松（Poisson）分布

体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其参数 可以由观测值的平均值求出。

实际问题中若干随机现象是服从或近似服从Poisson分布的：

服务台在某时间段内接待的服务次数X；

交换台在某时间段内接到呼叫的次数Y；

矿井在某段时间发生事故的次数；

显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；

单位体积空气中含有某种微粒的数目

如实例2：

解析：书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，所以可得：P（X=1）=P（X=2），即e- =e- ，算得 =2；

于是X～P（2），每页的印刷错误的个数为0的概率P（X=0）=e-2=e-2；

任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率为（e-2）4=e-8；

本例是泊松分布与二项分布的综合应用。

3二项分布的泊松近似

在二项分布中，要计算P（X=k）=Cp（1p），当n比较大时，计算量是令人烦恼的，如果这时np不太大，那么有泊松定理就有

B（k，n，p）≈e-

其中 =np，而要计算e- ，有专用的泊松分布表可查，这就方便多了。

实例3

解析：设骑摩托车发生事故的次数为X，则X～B（400，0.02）

至少出2次事故的概率P（X≥2）=1P（X≤1）=1P（X=0）P（X=1）=10.98400C14000.021（10.02）400-1

令 =np=4000.02=8，查泊松分布表k=0及（下转第145页）（上接第143页）k=1的值，可得

P（X≥2）=1P（X≤1）=1P（X=0）P（X=1）≈10.0030.0027=0.997

4泊松分布的实际应用

由于许多实际问题中的随机变量都可以用泊松分布来描述，从而使得泊松分布在概率论中有着广泛的应用。

实例4：

解析：设该商店每月销售某种商品x件，月底的进货为a件，则当x≤a时就不会脱销，因而按题意要求为：

P（X≤a）≥0.95

因为已知X服从 =10的泊松分布，也就是

e-10≥0.95

查泊松分布知

e-10≈0.9166<0.95

e-10≈0.9513>0.95

于是，这家商店只要在月底进这种商品15件（假定上个月没有存货），就有95%以上的把握保证这种商品在下个月内不会脱销。

5小结

二项分布与泊松分布在实际中有着非常广泛的应用，本文从实际出发介绍了两个分布的具体应用方法，重点是要弄清本质再多加练习。

参考文献

[1] 朱晓颖，蔡高玉，陈小平.概率论与数理统计[M].人民邮电出版社，2016.

[2] 吴传生.经济学——概率论与数理统计[M].高等教育出版社，2009.

[3] 傅文玥.案例教学法在《概率论与数理统计》教学中应用[J].教育教学论坛，2013.

[4] 胡慧敏，张礼波.《概率论与数理统计》教学策略几点思考[J].科技创新导报，2011（27）：159-161.