基于贝叶斯预测更新的报童模型

陈志刚，贾涛，陶厚永

0 引言

需求和供给的匹配是供应链管理中核心问题之一[1]。企业在当前时刻订货，然而在未来时刻才能收到货物，因此企业必须对未来的市场需求做出预测。企业可以使用大量数据预测未来的市场需求，如可以观察相同及类似功能产品的需求、相同特性产品（如大屏幕手机）销售情况，市场经济状况走势（人们的消费会增加还是减少）等。随着互联网技术持续迅速地发展和大数据时代的到来，对于数据的挖掘和运用已成为影响企业生产力的重要因素。企业信息化建设水平不断提高，对市场需求的预测也更加精确，使供应链需求和供给更加匹配，并显著提高了供应链运作效率[2]，因此在供应链管理中市场需求预测正发挥越来越大的作用。然而预测始终是不准确的，从获取信息的角度看，企业希望订货时间离销售开始时刻越近越好[3]。企业可以通过向附近的供应商订货、工人加班和采用更快速的运送工具等来缩短提前期。通常这些手段都需要付出额外的成本，因此在每一时刻企业都需要权衡，究竟是等待在未来获得更多的市场需求信息，还是以较低的采购成本在当前时刻订货。

许多学者研究了预测更新问题。Fisher和Raman[4]首先分析两周期预测更新库存系统，企业在第一个周期开始时以较低的价格向普通供应商订货，接着持续搜集市场需求信息，在第一个周期末更新市场需求预测结果。在第二个周期开始时企业还有一次补货机会，允许以较高的价格向紧急供应商订货。企业需要决策两个周期的订货策略。Iyer和Bergen[5]进一步考虑在第一个周期末采用贝叶斯方法进行预测更新，分析了快速响应环境下供应商和零售商之间何时帕累托最优，并设计了相应的协调机制。此后有大量的基于两周期模型扩展研究，如考虑不同库存系统中顾客策略行为、采购成本随机波动和零售商之间相互竞争等[6-8]。在多周期条件下，Allen和Esopo[9]考虑了企业存在正常和紧急两种不同订货途径，采取周期盘点方式的库存模型。Moinzadeh和Nahmias[10]考虑了同样条件下采用连续盘点方式的库存问题。多周期条件下，存在两种不同提前期长度的库存模型非常复杂，大多采用数值计算方法，没有精确求解算法。Veeraraghavan和Scheller-Wolf[11]首次将模型转换为单变量的仿真问题，能够在数秒之内求得近似解。Hua、Yu和Zhang[12]探讨了这类模型解的结构性质。很少文献研究模型中存在三种不同提前期长度，Sethi等[13]研究了系统中存在快速、中等和正常三种提前期长度时最优库存策略。上述文献中尽管模型中存在两种或三种提前期长度，但提前期都为预先给定的常数或随机变量，只是在有限时间点的市场需求预测更新。

实际中企业可以自由选择合适的提前期长度。Ouyang等[14]研究了可控提前期库存模型，模型中不考虑预测过程，企业同时决策最优订货量和提前期长度使总成本最小。宋华明和马士华[15]研究了基于可控提前期的协调问题，Yi和Sarker[16]研究了存在货架空间约束问题。在可控提前期模型中尽管企业可以预先决策最优提前期长度，但没有考虑预测过程，提前期长度不能随着预测过程动态变化。Wang等[17]首先考虑了基于市场需求预测过程的库存模型。企业仅有一次订货机会，它持续不断地预测市场需求并选择合适的时间点订货。假定市场需求预测过程服从几何布朗运动，不考虑订货成本，Wang等证明最优订货时间为某一固定时点与预测过程无关。Tong等[18]进一步考虑企业不存在订货次数约束和市场需求预测过程为布朗或几何布朗运动，证明企业的最优库存策略为Basestock策略。

文献[17]和文献[18]均假定在每一时点预测值调整量分布的参数已知。但实际中分布的精确参数值是未知的，得到的是根据市场需求信息数据估计的参数（如均值和标准差等）。本文假定预测过程为布朗运动，企业可以根据收集的数据获得市场需求的预测值及随时间变化时预测值调整量的方差，运用贝叶斯方法预测市场需求。建立了基于贝叶斯预测更新的报童模型，分析数据对预测市场需求的影响，并给出了企业最优库存策略。通过敏感性分析说明采购成本和市场需求信息对库存策略的影响。

1 问题描述、符号说明及假设

企业计划在未来某个时刻销售某种商品。通过选择不同供应商或运作流程企业可以在整个计划时期内不同时间点订货。由于不同供应商产品之间有差异，生产工艺流程不相同和存在订货成本等原因，假定企业仅有一次订货机会，订货量Q＞0。整个计划时期由N+1个时点组成，企业所有能够订货的时间点对应时点1到时点N，在时点T=N+1时，销售季节开始，销售开始并迅速完成。产品销售价格给定为r。在时点i订货时，订货成本为Ai≥0，单位采购成本为ci且采购成本随着提前期的缩短而增大，即0＜c1＜c2＜...＜cN＜r。为了简化模型假定销售季节结束后剩余产品价值为零，不考虑折现影响（这些情形简单且不影响问题性质和结论）。

企业连续不断的收集市场需求信息。N+1个时点将计划时期分为N个时段。在各时点市场需求均值为θi。在各时段上根据收集的市场需求信息得到相邻时点间市场需求的调整量为 εi，递推关系满足 θt+1=θt+εt。 εt为正态分布，均值为零，标准差为σt，相互独立且与预测值和决策过程无关。若当前时点为i，在未来当t≥i时，εt为随机变量，在过去当t＜i时，εt为随机变量的实现值，是一个确定值。当前时点为t时，市场需求均值为θt=θ1+ε1+ε2+...+εt-1。而在时点 t=T 时，θT即为真实的市场需求，下文中记真实的市场需求θT为符号D。企业根据以往的历史数据，可以估计出所有 σi，i=1，2，...，N的大小。在当前时点t，根据已知的市场需求信息数据可以得到市场需求预测值dt。企业不知道参数θt的具体值，但可以根据σt和dt值利用贝叶斯方法估计参数θt。在前一时点t-1，根据已有数据获得了-θt-1的后验分布（-代表后验分布），结合已知调整量εt-1的分布，可以得到-

θt的先验分布（用-代表先验分布）。先验分布没有包含时点t-1至时点t间收集的市场需求信息。企业根据收集的市场需求信息在时点t重新对市场需求做出预测得到dt。根据新的预测值dt采用贝叶斯方法可以得到更精确

2 模型构建和求解

2.1 市场需求D和θt的分布

在开始时点1，由于时点1以前没有市场需求预测值，因此 θ1=d1，θ1可视为方差为0的正态分布 N(d1，0)（其中N代表正态分布）。假设当前时点为t(t＞1)。在当前时，参数θt未知。企业获得的信息预测市场需求值为dt。根据贝叶斯理论，可得更精确的θt分布（后验分布），其均值和标准差为[5]：有：（1）在前一个时点t-1获得-θt-1的后验分布为正态分

在当前时点 t，预测值 di，i=1，2，...，t已知，所有σi，i=1，2，...，N 也已知。根据递推关系可以求得 θt的后验分布 N(-μt，-σt2)。因此在时点t预测市场需求D为正态。如果企业不在当前时点订货，则需要在时点t预测未来时点θt+1的后验分布，根据递推关系式，-μt+1=ρt+1dt+1+(1-ρt+1)-μt。但其中未来dt+1为随机变量。在时点t预测市场需求可以有两种方法，一种如前述直接预测时点T的市场需求。另一种将预测过程视为两部分之和，从时点t至未来时点t+1和从未来时点t+1至时点T。第一部分为调整量εt服从正态分布N(0，εt)，第二部分为在时点t+1预测市场需求dt+1。两种方法实质一样，因此两部，递推关系

从上述预测过程可以看到：（1）在每一时点预测更新后，预测精度提高。获得市场预测数据dt后，θt后验分布的标准差为先验分布的 ρt倍，且 ρt＜1；（2）当预测献比重1-ρt增大。说明当前时点t离销售季节开始时越近，预测的精度就会越高，且当前时点的预测值对预测的结果影响更大。（3）由递推关系（1）可知，对 θt预测时，每一个时点i（i＜t），预测值di都对均值 μt有贡献，权重大由于 ρj均为0至1之间，因此过去时点i离当前时点t越远（i值越小），数据di占 μt的权重就越小，对预测的贡献较小。

2.2 模型的求解

（1）时点 N

在时点N最优库存策略为basestock策略，当-μt＞SN

（2）任意时点t

在未来市场需求预测值为随机变量，因此企业可能在当前或未来任意时点订货并停止决策。模型为较复杂最优停止问题[19]，没有通用的递推计算方法。将采用数学归纳法证明对于所有的时点i均存在唯一的Si满足Ri(Si)=FRi(Si)，且Θ(-μi)函数为单调递增函数。当i=N时，根据上文假设成立。假设i≥t+1时假设均成立，若当前时点为t时企业不订货，则有：

定理1：企业最优库存策略为basestock策略，在当前时点t存在且唯一的Sdt，其值与当前或未来的市场需求预测值di，i=t，t+1，...，N无关。若当前市场需求预测值dt＞Sdt时，最优库存策略为订货，订货量为 -μt+zt

由式（5）和式（2），Θ(-μt)为单调递增函数且导数大于正常数ct+1-ct。Θ(-μt)=0必定存在唯一解St，证毕。根据递推式（1），可以得到对应预测值dt的订货点为：若当前市场需求预测值dt≤Sdt时，企业继续等待，直到下一时点进行新的决策。

2.3 采购成本和市场需求信息

这里分析采购成本和市场需求信息对企业决策的影响。探讨当前时点为t时，参数ci（采购成本）和σi（市场需求信息）变化时对企业决策的影响。参数ci增大时，若i＞t时，Rt(-μt)值不变，FRt(-μt)减小，Θ(-μt)值增大；若i=t时，类似可得 Θ(-μt)值会减小；若i＜t时，过去的ci对 Θ(-μt)值无影响。由Θ(-μt)为单调递增函数且Θ(St)=0，可得相应的St和Sdt变化趋势。参数σi增大时，若i≥t时，未来时点i+1的变化可理解为，时点i+1向前移动（远离销售季节开始时间T），而保持其余时点不动。此时Rt(-μt)值不变，FRt(-μt)减小，Θ(-μt)值增大；当i＜t时，由递推式（1）知Rt(-μt)和FRt(-μt)同时减小，Θ(-μt)变化不能确定。汇总结果见表1。

表1 敏感性分析

表1体现了采购成本和市场需求信息对企业决策的影响。当参数ci增加时，若当前时点为t＜i，则未来期望利润减小，企业更愿意在当前时点订货，St和Sdt减小。若当前时点为t=i，则当前期望利润减小，企业更愿意在未来时点订货，St和Sdt增大。而在过去，采购成本ci无影响，St和Sdt不变。当参数σi增大时，当市场需求信息的调整量εi发生在当前时点t（t≤i）之后，则当前期望利润不变，未来期望利润减小，企业更愿意在当前时点订货，St和Sdt减小。若εi发生在当前时点t（t＞i）之前，则当前和未来期望利润同时减小，St和Sdt变化趋势不能确定。

3 结束语

本文基于贝叶斯预测更新的报童模型，分析企业如何根据数据运用贝叶斯方法进行决策。企业可以在计划时段内任意时点订货。离销售季节开始越近，市场需求预测精确度越高，但采购成本会增加。根据搜集的数据建立市场需求的预测过程，分析数据对预测市场需求的影响。当市场需求预测的调整量为正态分布且存在订货成本时，建立了基于贝叶斯预测更新的报童模型。证明在当前时点t存在且唯一的Sdt，其值与当前或未来的市场需求预测值di，i=t，t+1，...，N无关。若当前市场需求预测值高于Sdt时，企业最优库存策略为当前时点订货；否则企业最优库存策略为继续等待，收集更多市场需求信息在未来某个时点订货。分析了采购成本和市场需求信息对企业决策的影响。未来进一步可以研究更复杂供应链环境中的预测更新问题，如供应商和零售商协调问题。

[1]Cachon G,Terwiesch C.Matching Supply With Demand[M].Mc-Graw-Hill Higher Education,2009.

[2]Fitzsimmons J,Fitzsimmons M.Service Management:Operations,Strategy,Information Technology[M].McGraw-Hill Higher Education,2013.

[3]Simchi-Levi D,Kaminsky P,Levi E S.Designing and Managing the Supply Chain:Concepts,Strategies,and Cases[M].New York:Mc-Graw-Hill Companies,1999.

[4]Fisher M L,Raman A.Reducing the Cost of Demand Uncertainty Through Accurate Response to Early Sales[J].Operations Research,1996,44(1).

[5]Iyer A V,Bergen M E.Quick Response in Manufacturer-retailer Channels[J].Management Science,1997,43(4).

[6]Swinney R.Selling to Strategic Consumers When Product Value is Uncertain:The Value of Matching Supply and Demand[J].Management Science,2011,(57).

[7]Liu Z,Nagurney A.Supply Chain Networks With Global Outsourcing and Quick-response Production Under Demand and Cost Uncertainty[J].Annals of Operations Research,2013,208(1).

[8]Lin Y T,Parlakturk A.Quick Response Under Competition[J].Production and Operations Management.2012,(21).

[9]Allen S G,D'Esopo D A.Letter to the Editor—An Ordering Policy for Stock Items When Delivery Can Be Expedited[J].Operations Research,1968,16(4).

[10]Moinzadeh K,Nahmias S.A Continuous Review Model for an Inventory System With Two Supply Modes[J].Management Science,1988,34(6).

[11]Veeraraghavan S,Scheller-Wolf A.Now or Later:A Simple Policy for Effective Dual Sourcing in Capacitated Systems[J].Operations Research,2008,56(4).

[12]Hua Z,Yu Y,Zhang W,et al.Structural Properties of the Optimal Policy for Dual-sourcing Systems With General Lead Times[J].IIE Transactions,2015,47(8).

[13]Sethi S P,Yan H,Zhang H.Peeling Layers of an Onion:Inventory Model With Multiple Delivery Modes and Forecast Updates[J].Journal of Optimization Theory and Applications,2001,(108).

[14]Ouyang L Y,Yeh N C,Wu K S.Mixture Inventory Model With Back-orders and Lost Sales for Variable Lead Time[J].Journal of the Operational Research Society,1996,(47).

[15]宋华明,马士华.二阶段供应链中提前期压缩的影响与协调[J].管理科学学报，2007,10(1).

[16]Yi H Z,Sarker B R.An Operational Consignment Stock Policy Under Normally Distributed Demand With Controllable Lead Time and Buyer'S Space Limitation[J].International Journal of Production Research,2014,(52).

[17]Wang Y,Tomlin B.To Wait or Not to Wait:Optimal Ordering Under Lead Time Uncertainty and Forecast Updating[J].Naval Research Logistics,2009,(56).

[18]Tong W,Kurtuluş.A Multi-ordering Newsvendor Model With Dynamic Forecast Evolution[J].Manufacturing and Service Operations Management,2012,14(3).

[19]Shiryaev AN.Optimal Stopping Rules[M].Berlin：Springer,2007.