犹豫模糊指数熵及其应用

谭吉玉，刘高常

0 引言

1965年，Zadeh教授首次打破康托尔经典的集合理论，提出了模糊集的概念，即用隶属函数来刻画元素对集合属于程度的连续过渡性，将经典集合的二值逻辑推广到区间内的连续性逻辑[1]。如今，模糊集理论已经成功地应用于现代社会的各个领域，如模糊控制、模糊决策、模糊聚类、模糊模式识别、模糊预测等。随着社会的发展，以及人们对研究问题的不断深入，用单一数值表示隶属函数的传统模糊集在实际应用中受到了制约。于是，学者们从不同的角度出发，相继提出了模糊集的多种拓展形式，其中最具代表性的是直觉模糊集[2]和犹豫模糊集[3]。

模糊熵是模糊多属性决策分析中的一个非常重要的概念。1948年，Shannon提出了“信息熵”的概念，在信息论中，信息熵度量的是信息量的大小，反应的是一件事情所包含的不确定性的大小[4]，数学表达式是一种对数形式的平均概率熵。1972年，Deluca和Termini[5]用模糊集的隶属函数替代信息熵中的概率函数，提出了模糊集的非概率熵测度，用以度量模糊集合的模糊程度。1989年，Pal和Pal[6]从图像处理的角度进行分析，定义了一种指数形式的模糊熵测度公式，在此基础之上，本文将模糊集指数熵的概念拓展到犹豫模糊集中，定义了一种新的犹豫模糊集的熵测度，即犹豫模糊指数熵，并与文献[7]中的犹豫模糊熵测度公式进行了对比分析，分析表明新的熵测度公式更合理。然后，将犹豫模糊指数熵应用到多属性决策中，提出了一种犹豫模糊多属性决策方法。

1 基本概念

定义1[3]：设X为一个给定的集合，X上的一个犹豫模糊集A定义为：

其中,hA(x)是由[0,1]中若干个不同的数值所组成的集合，代表X中的元素x属于犹豫模糊集A的所有可能的隶属度所组成的集合。为了表达方便，称hA(x)为一个犹豫模糊元(HFE)，用 h 表示[8]。

显然，对于一个犹豫模糊集而言,若其每个犹豫模糊元中的隶属度有且仅有一个,则犹豫模糊集退化为普通的模糊集。

基于定义1中犹豫模糊元的表示法，假设三个犹豫模糊元分别为 h,h1，h2,Torra[3]：

定义了犹豫模糊元的基本运算法则：

后来，徐泽水和夏梅梅[9]基于犹豫模糊集和直觉模糊集之间的关系，并为了集结犹豫模糊信息的需要，定义了犹豫模糊元的新的运算法则：

2 犹豫模糊集的指数熵

其中，t≠0，s≠1，s＞0。

针对犹豫模糊元，给出如下四条公理化准则：

（1）E(α)=0当且仅当 α={0}或α={1}；

（3）E(α)=E(αc);

（4）E(α)≤E(β)，即 β 比 α 更模糊，如果犹豫模糊元α和β 中元素个数都为 l，且满足 0≤ασ(i)≤βσ(i)≤0.5(i=1，2，...，l)，或者 0.5≤βσ(i)≤ασ(i)≤1(i=1，2，...，l)。

定义3：设 α={ασ(1)，ασ(2)，...，ασ(l)}为任意一个犹豫模糊元，lα为犹豫模糊元α中隶属度的个数，犹豫模糊元α的指数熵定义为如下形式：

下面证明定义3中所定义的犹豫模糊元α的指数熵满足熵的公理化准则：

证明：设函数 f(x)=xe(1-x)+(1-x)ex，并令其导数为零：

令 g(x)=xex，0≤x≤1，设任意的 x1，x2属于[0，1]，则g(x1)=x1ex1，g(x2)=x2ex2

如果 x1＜x2，则 ex1＜ex2，得到 g(x1)＜g(x2)；如果x1＞x2，则 ex1＞ex2，得到 g(x1)＞g(x2)；因此，要使得g(x1)=g(x2)，当且仅当 x1=x2。所以，g(x)=xex，0≤x≤1是一个双射。

（1）当 α={0}或α={1}，根据公式（1）显然有 E(α)=0；反之，若 E(α)=0，由上面的分析，有 α={0}或α={1}。

（4）由函数 f(x)=xe(1-x)+(1-x)ex在 (0，0.5)单调增加，在(0.5，1)单调减少，易知熵准则（4）满足。

例：设 α={0.2，0.5，0.8}，β={0.45，0.5，0.55}为两个犹豫模糊元，显然有α=αc，β=βc，直觉上，β的熵应大于α的熵。应用文献[7]中四个熵公式计算得到：

然而，应用本文中提出的犹豫模糊指数熵公式进行计算得到如下结果：

从运算结果可以看出，当犹豫模糊元跟它的补集相等时，由文献[7]中四个犹豫模糊熵公式计算所得的熵相等且都等于1。但从直觉上看这些犹豫模糊元的熵明显不一样。而本文所提出的犹豫模糊指数熵更合理，能够克服这个缺陷。

3 基于熵权法的犹豫模糊多属性决策方法

对某一多属性决策问题，设 A={A1，A2，...，Am}为一组备选方案集,决策方案的属性集合为 G={G1，G2，...，Gn},属性的权重向量为 W=(w1，w2，...，wn)T ，满足 wj∈[0，1]，案进行匿名评估，各专家提供方案 Ai(i=1，2，...，m)对于属性Gj(j=1，2，...，n)的满足程度(隶属度)，若某几个专家所提供的隶属度一样则只出现一次，那么所有专家提供的方案Ai(i=1，2，...，m)对属性Gj(j=1，2，...，n)的隶属度就构成一个犹豫模糊元(HFE)，用hij(i=1，2，...，m;j=1，2，...，n)表示。对专家组提供的所有决策信息进行处理可得犹豫模糊决策矩阵D=(hij)m×n。在属性权重信息完全未知的条件下，本文给出一种属性权重的确定方法，并基于熵权法提出一种犹豫模糊多属性决策方法，具体步骤如下：

第一步：由决策者提供方案Ai(i=1，2，...，m)对于属性Gj(j=1，2，...，n)所有可能的满足程度，用犹豫模糊元表示为hij(i=1，2，...，m;j=1，2，...，n)。

第二步：利用熵最小化原则和犹豫模糊指数熵确定属性权重向量，公式如下：

第三步：确定正负理想方案，并计算各备选方案与正负理想方案的距离。设J1，J2分别表示效益型属性集和，各方案与正负理想方案的距离计算公式如下：

第四步：计算各方案相对于正理想方案的相对贴近度，用如下公式计算：

第五步：根据贴近度大小对方案进行排序和择优。

4 算例分析

本文用文献[7]中的数据对上述方法进行分析。某汽车公司想要为某种关键性的零件挑选最合适的供应商，经过前期的初步评估，最终确定在四家供应商中选择一家进行合作，考虑了四个评估指标：产品质量、关系密切度、交货执行情况、产品价格。

第一步：文献[7]中的犹豫模糊决策矩阵如表1所示：

表1 犹豫模糊决策矩阵

第二步：为了确定属性权重向量，首先利用公式（1）计算犹豫模糊熵，以h11={0.2，0.4，0.7}为例：

E(h11)=1+0.7e0.3+0.3e0.7-1)=0.8197，计算所有的犹豫模糊指数熵，得到如下矩阵（见表2）：

表2 犹豫模糊指数熵矩阵

计算各指标下的平均熵，计算结果如下：

E2=0.7710，E3=0.7825，E4=0.7171；根据公式（2）计算权重向量得：

w1=0.1717，w2=0.2600，w3=0.2470，w4=0.3212。

第三步：四个属性中，显然前三个为效益型属性，第四个为成本型属性。则正负理想方案分别为：

分别计算各方案与正负理想方案的距离，计算结果如表3所示：

根据公式（3）和式（4），利用表3数据计算加权距离：

第四步：根据公式（5）计算各方案相对于正负理想方案的相对贴近度：

S(A1)=0.4997，S(A1)=0.4997，S(A1)=0.4997，S(A1)=0.4997，因此，四个供应商的排序结果为：A2≻A4≻A1≻A3，A2为最佳选择。

5 结论

本文基于模糊集的指数熵，提出了犹豫模糊集的指数熵，给出了犹豫模糊指数熵的公理化定义，并给证明了构建的犹豫模糊指数熵测度公式满足公理化准则。然后，基于熵权法的思路，给出了一种权重信息完全未知的犹豫模糊多属性决策方法，并进行了算例分析，证明了该方法的科学性和有效性。

[1]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965,8(3).

[2]Atanassov K.Intuitionistic Fuzzy Sets[J].Fuzzy Sets System,1986,(20).

[3]Torra V.Hesitant Fuzzy Sets[J].International Journal of Intelligent Systems,2010,(25).

[4]Shannon C E.A Mathematical Theory of Communication[J].Bell System Technical Journal,1948,(27).

[5]De Luca A,Termini S.A Definition of A Non-Probabilistic Entropy in the Setting of Fuzzy Sets Theory[J].Information&Control,1972,(20).

[6]Pal N R,Pal S K.Object-Background Segmentation Using New Definitions of Entropy[J].IEE Proceedings,1989,136(4).

[7]Xu Z S,Xia M M.Hesitant Fuzzy Entropy and Coss-Entropy and Their Use in Multiattribute Decision-Making[J].International Journal of Intelligent Systems,2012,(27).

[8]Xu Z S,Xia M M.Distance and Similarity Measures for Hesitant Fuzzy Sets[J].Information Sciences,2011,(181).

[9]Xia M M,Xu Z S.Hesitant Fuzzy Information Aggregation in Decision Making[J].International Journal of Approximate Reasoning,2011,(52).