结构化：一种必备的数学核心素养

夏玉英

【摘要】数学教学应该以数学本质为源，关注单元知识与阶段性知识结构化的设计，通过整体架构，倒逼知识解构与再建构，在解构与建构中寻求联系，培养学生思维的结构化素养.

【关键词】结构化；思维训练；核心素养

布鲁姆说过：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构”，数学学科也不例外，它除了本身知识、技能等结构元素外，还包含各个构成元素之间的联系，而主动建构这种联系，就要帮助学生形成“结构化”的思维.在教学前有统领教材整体意识，以数学本源为线索，有效整合教材知识，关注单元知识与阶段性知识结构化的设计，通过整体架构，倡导小学高年级结构化教学，并立足学生的思维水平，在实际教学过程中，以思维结构化为导向，在解构与建构中寻求联系，树立系统教学理念，从知识的整体性这个高度出发，训练学生思维的结构化，关注师生之间“教”与“学”关系的重建，再造课堂结构、教学流程，为“教”与“学”增值，更有助于发展学生的数学核心素养.那么，如何实现在教学中对学生进行结构化数学思维培养呢？

一、关注单元知识结构化设计

在数学教学中，有的教师往往缺乏对数学知识的整体结构的认识，只关注“点”的呈现，局限于课时教学，容易割裂知识的结构，削弱或偏离了数学学科的课程目标，其次缺乏对学生学习过程的整体设计，满足于当前教参的活动设计，视野短期化，忽略甚至局限了对学生数学思维结构和学习能力的长期培养，作为教师，应该树立系统的教学理念，教学前关注单元知识结构化的设计，将相关领域的知识通过横向架构，有机渗透，融入在教学过程中，使学生的学科素养得到整体提升，这才是我们要做的.

例如，学生在学习完“多边形面积”复习后完成练习（图1左）题时，

出现这道求阴影部分的面积，几乎所有的学生都采用S阴=S梯-S三来求得，而当接下来的练习中再次出现此类题但是缺少一个已知条件（图1右）的时候，学生束手无策，很多教师也用了假设法来进行讲解，这显然违背了教材的本意，其实我们在教学三角形面积的推导时，如果从教材常规思路这个基点出发，再次有意识深入引导，设计以下环节，我想会有效得多.① 出示长方形和平行四边形，都被对角线分成两个完全一样的三角形，探究得出三角形和长方形（平行四边形）之间的关系——等底等高，从而得到三角形的面积一定是与它等底等高的长方形（平行四边形）面积的一半；② 出示（图2）比较：把三角形的一个顶点沿着长方形的长不断移动，可以得到很多形状不同的三角形，那么这里的三角形是不是都是长方形面积的一半？为什么？那么你能否推想得出下列三角形和平行四边形面积之间的关系呢？

③ 拓展（图3）：两个长方形（平行四边形）形状相同、面积相等，比较两个三角形的面积，谁大一些？④ 深入推理：如，在长方形中，分割了两个三角形（图4），那么这两个三角形的面积和长方形面积有什么关系？分成三个？四个呢？⑤ 延伸：通过前面的学习，你能对下图两个三角形的面积转化成一个三角形的面积吗？如此设计，那么对于如（图5）“已知长方形的长25厘米、宽10厘米，求阴影部分的面积”此类有关题型，学生都能迎刃而解，自然地，刚刚前面的阴影部分也可以根据这一规律转化成一个三角形的面积求得（图6）.教师通过这样的设计帮助学生在运动变化联系中更直观地发现一般性规律，为后续高阶段的结构化思维做了良好的积淀.

从上面的例子可以看出，在实际的教学中，如果教师能注重数学的本源，立足知识的整体性，寻找不同知识间的本质联系，从小处入手，关注课时知识与课时知识之间的整合，可以更好地梳理和构建横向逻辑框架，为培养学生结构化思维提供可能.

二、关注阶段性知识结构化设计

教师除了关注课时与课时之间的横向知识结构化整体性的把握，更要关注阶段性知识之间的思维整体的结构化，构建纵向的逻辑框架，同时，关注知识本源与学习本源之间的沟通，在联系与沟通中发展迁移抽象的能力.比如，在教学“分数的意义”，在分数意义的应用过程中，学生很容易混淆用来表示数量倍比关系的分数以及用来表示具体数量的分数.我们可以努力尝试寻找相关的旧知识，将新旧知识进行对比，把分数与整数构建整体性联系起来.

我们在教学例2、3伊始，先由“把8块饼干平均分给4个小朋友，每人分得多少块？”来引入，得出基本数量关系，总数÷份数=每份数，由此，从总数的“8块”不断地缩小为“3块”“1块”，其余条件问题不变，得出，数量关系不变，仍然是求每份数，仍用除法来列式计算，再借助直观形象的实物图，通过动手操作演示说明得出两种不同的分法，引申出两种含义：一块饼的四分之三，三块饼的四分之一，都是四分之三块，说明求每份数是求具体量，后面有单位“块”，由此，借助除法的意义拓展了分数的意义：分数不仅表示部分与整体之间的关系，还表示求出的每份数（不满1时可以用分数表示）.同样，例4的教学，也是如此，从“红彩带4米，黄彩带8米，黄彩带的长是红彩带的几倍？”入手，得出基本数量关系：几倍数÷一倍数=倍数，接着，从“黄彩带8米”，不断地缩小为“2米”，“1米”明确数量关系不变，仍是求倍数，仍用除法来计算，得出分数还表示两个数量倍比的结果（没有单位名称）后，再回到第一课时分数的意义，教材第52页的练一练，第1题中的六分之一、七分之五……四分之三其实也可以看作：“1块三角是6块三角（六边形）的几分之几”，“5块方块是9块方块（正方形）的几分之几”……“3份圆圈是4份圆圈（一个整体）的几分之几”再次拓展、丰富了分数的意义，突出了“分数”这一概念的内涵：不仅表示部分与整体的关系的结果，还表示两个数量之间比较的结果，更好地把握了分数与整数的关系，感受分数的产生是整数发展的必然结果，那么如上提到的第57页的练习的解决也能水到渠成，同时，为后面学习稍复杂的分数应用题做了很好的铺垫.

三、关注教材重组结构化设计

作为教师不仅要注重教材横向和纵向的研究设计教学过程，有时对教材本身的解读也需要有反思意识，通过对教材的重组整合，整体把握知识结构，重新设计新的思路，尽可能使学生所学的知识有拓展延伸性，训练学生结构化思维，提升学生综合性地、创造性地解决问题的能力.如，教学“简易方程”时，先教学等式的性质，然后再利用等式的性质进行解方程，舍弃了传统的利用四则运算的六种关系来解简易方程，是不利于关于方程解法的中小学的衔接，也不利于学生体会“同解变形”这一解方程的核心思想，在教材的练习中回避了除数和减数为未知数的方程，不过在解决实际问题中，很难避免会列出形如a-x=b这类的方程，学生往往会束手无策，一方面，我注重对于含有字母的式子（代数式）进行恒等变形的强化训练，更启发他们灵活应用等式的性质进行思考，体会“同解变形”这一核心思想之外，另一方面，引导学生利用学过四则混合运算的六种关系这一旧知来思考，帮助他们从不同角度理解方程的解法，说明利用等式的性质和四则混合运算的互逆关系解方程两者并不矛盾，并对这两种方法进行比较分析，最后把这一性质应用拓展到有关图形面积的计算，例如，（图7）甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米，求CE的長度.根据条件得出甲的面积=乙的面积+6，利用等式性质，在等式的左右两边同时加丙的面积，就可以转化成正方形的面积=三角形的面积+6，算出三角形面积从而使问题得到解决，这样的课例，感觉才是等式性质的最好体现和应用.endprint

通过课前的设计，后期的实际教学，学生很好掌握了此类知识，对这类的探究过程形成清晰的认识，在实际遇到的各类有关图形的面积关系都能灵活计算，教学就是这样，深入知识内部去整体把握，科学设计，摆脱了原有课时的束缚，充分尊重学生的学习需求，灵活使用教材，更有利于学生将新知主动纳入到原有的认知结构中，更有利于发展学生的结构性思维，那么对于如（图8）：已知正方形甲的边长是5厘米，正方形乙的边长是4厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？（第1317期《小学生数学报》），学生不仅可以用一般方法求得，更可以连接AC用等底等高知识把阴影部分的面积转化成右小正方形面积的一半，使计算更为简洁，思维更为明朗.

四、关注阶段性复习中教学过程的设计

教师除了从教材出发在教学前整体把握内容框架，关注知识的整体性以外，在实际的教学中，更要立足学生的思维水平，以思维结构化为导向，在每个单元的复习阶段根据教学进程及教学内容设置感性的积累环节，在丰富的表象积累的基础上，对原有的知识经验进行重组，也就是倒逼知识重新建构，在解构和建构的动态交互过程中，引导学生联系以往的知识，整体把握各知识点之间的关系，训练学生在遇到问题时有深度的思考，用结构化的方法理解题意，有效表达，主动结构和完善自己的认知结构和思维方式，培养学生结构化思维，引导学生运用推理和归纳等高级的抽象的概括思维去解决问题，达到举一反三触类旁通的目的，显得尤为重要.如，有关长方形和平行四边形的周长与面积的比较，教材一共出现以下三种类型：（1）平行四边形面积推导过程中，沿着平行四边形的一条高剪下一个三角形或梯形平移后可以转化成一个长方形；（2）把一个由木条钉成的长方形木框拉成平行四边形；（3）（图9）20本练习本摞成长方体，它的前面是长方形，再把这摞练习本均匀地斜放，前面变成了一个平行四边形.

学生思维的深度决定学生思维水平的高度，通过设置丰富生动的前置性体验活动，课上探究活动和后续巩固活动，积累丰富的经验，从这三个典型的实例中通过对比观察，探究实践分别从题目本身、解决方法、结论等角度抽象概括共同特征，找出规律性的知识来，所以，在复习期间出现的如，“同样长的两根铁丝，分别围成长方形和平行四边形，比较它们的面积和周长的大小”时，学生很快能借助假设、画图、列举等策略（图10）.如，当周长都为4厘米的时，平行四边形的底和高之间的差越小，即底和高越接近正方形，面积越大，而长方形的长与宽之间的差越大，即形状越扁，则面积越小，从而很轻松得出“周长不变，面积无法确定”这一结论，不会再受到思维定式的影响，而是自觉把掌握的知识提炼成简洁的原理性结构，形成结构化思维，系统解决问题.同样，在六年级复习中，这种阶段性知识之间的整体结构化的体现最为明显，如，在复习比的性质时，通过商不变规律——分数的基本性质-比的性质，帮助学生对知识结构的把握和把握结构后自主建构学习的积极状态中，这样有结构、有逻辑的系统学习，长久以往，一定能形成数学学科观念、数学思维方式和探究技能、促进数学知识和技能的持续结构化，使学生的理性思维不断走向成熟.

“教是为了不教”，因为结构化思维是用于解决所有问题最关键的一把钥匙，如果教师能够从教材本源这个高度出发，合理把握数学知识的整体框架，从横向或纵向的角度或对教材的重组整合，架构结构化教学过程，引导他们在学习过程中边学边串联，將数学学习逐步整体化、结构化，让学生的思维走向自主建构的结构化，发展学生数学核心素养就不再是纸上谈兵了.endprint