初中数学中图形面积与反比例函数的结合问题分析

庄光新

在新课程改革背景下，初中阶段数学学科应当逐步形成以知识技能、数学思考、问题解决以及情感态度为核心的四维目标.上述目标的实现结果会直接影响对学生学习能力的考评结果.近年来，通过对中考试题的观察与分析，不难发现，几何图形与函数知识点的结合已成为考查的重点内容之一.为进一步提高学生的数学成绩，关键应当在教学过程中积极探索图形面积与反比例函数相结合的方法，以培养学生解决图形面积与反比例函数结合问题的能力，突破思维定式方面的局限性，达到更为理想的教学效果.

一、研究基本图形，掌握图形特征

如，在引导学生对反比例函数一般解析式y=kx图像相关知识点进行学习的过程中，常常遇到这样的结论：“已知某反比例函数y=kx，且过图像上任意一点A（a，b）分别向x轴以及y轴作垂线，构成矩形面积为ab，由于点A在图像上，故ab=k.”根据这一关系可知：同一个反比例函数图像的点构成这样的矩形面积都相等，以此作为基本图形，可以为教师后续有关图形面积与反比例函数知识点的深入探究提供基础，进而促进知识点的深入掌握.

二、重视基本图形，解决相关问题

初中数学教师在教学实践中应当将关注学生在初中数学教学活动中的主体地位，尽可能引导学生自主探究，以培养他们良好的创新能力.应引起学生对基本图形的重视，促进学生对相关问题解决能力的提高.以下结合例题进行说明：

例1 如图1所示，过y轴正半轴任意一点P作与x轴相平行的直线，且分别与该坐标系中反比例函数y=-4x与反比例函数y=2x交叉于A点以及B点.假定C点为x轴上任意一点，连接线段AC与BC，求△ABC的面积取值.

分析 在求解该题的过程中，解题的关键在于寻找已有的认知结构，将已有结构图形面积与反比例函数相结合，以简化分析过程，得出准确结果.故在探究该题目的过程中，可以连接OA以及OB，根据图形面积基本性质可知△AOP与△BOP的面积之和为△AOB的面积，均为3.在此基础之上，需要利用三角形图像性质“两个同底等高三角形面积一致”推导出△ABC与△ABO属于同底等高三角形，故面积一致，因此△ABC面积同样为3.除此以外，还可分别过点A以及点B作x轴的垂线，所得到的矩形图像面积为6，然后将需要求解的△ABC面积转换为12矩形面积问题，以得出正确的结果.

由此可见，学生通过对图形面积与反比例函数相结合知识点的灵活掌握，能够在求解题目的过程中积极寻找所熟悉的基本图形，并应用图形面积特点以得出准确结果，提供多种不同的求解思路与方法，这对于培养学生探究能力以及发散性思维也是非常重要的.

三、加强知识联系，培养问题解决能力

在初中数学教学实践中，教师必须对教学观念进行积极更新，以促进师生思维层面的积极影响，主动展开对相关问题的思考，形成更富新意的思维结构.因此，在图形面积与反比例函数相结合知识点的教学中，教师应当牢牢抓住知识环节，重视能力发展与知识结构的结合，积极引导学生提高自身能力，以提高问题解决的整体能力.以下结合例題进行说明：

例2 如图2所示，已知存在某双曲线y=kx（且满足k>0）经Rt△OAB中斜边OB中点D，同时与直角边AB相交于C点.假定△OBC面积为6，求k的值.

分析 在求解该题的过程中，需要在复杂的图形中找准需要进行分析求解的图形，以寻找突破口，即△OAC，根据反比例函数与图形面积之间的对应关系，可知△OAC面积为k2，同时△OAB的面积可表示为2k+6.加之题目给出已知条件“双曲线y=kx（且满足k>0）经Rt△OAB中斜边OB中点D，同时与直角边AB相交于C点”，根据以上表述可知DH与OA呈垂直关系，再根据图形面积特点可知△ODH面积同样可用2k的方式表示，故可根据中位线得知△OAB与△ODH在面积间的对应关系，即△OPB=4×△ODH，故可形成等式关系“k2+6=2k”，解得k值为4.

四、结束语

结合笔者教学实践工作经验来看，在初中阶段数学学科的教学实践中，渗透数形结合思想是非常重要的内容与目标之一.而数形结合在初中数学学科中的最佳体现就是图形面积与反比例函数的相关性问题.因此，教师必须将图形面积与反比例函数相结合知识点的教学以及相关问题的求解分析作为教学重点，指导学生掌握两种知识点之间的对应关系，培养学生主动进行知识归纳与总结的能力，在主动且有效的探究性学习过程中，不断提高对图形面积以及反比例函数知识点的掌握程度，最终促进数学成绩的不断提高.endprint