构图：“构”出课堂的精彩

董秀明

[摘 要] 为了渗透数形结合思想，发展学生的直观思维能力，笔者教授“平方差公式”（苏科版七年级下册第九章）这节课时采取了“构图”模式. “构图”或许会让课堂的时间显得不那么紧凑和有效，但“构图”却“构”出了课堂的别样精彩！

[关键词] 构图；数形结合；数学教学

“构图”引入教学过程

这一学年笔者任教两个不同层次的班级——2班和4班，2班的层次好一些，在学习苏科版七年级下册第九章“9.4.2 平方差公式”时，笔者一时兴起，决定引入“构图”，在两个班级采用不同的方式讲授.

和前面几节课的引入一样，笔者在4班仍请同学们观察课本9-5的图形，然后请大家用“面积法”求阴影部分的面积.

同学们因为有了前几节课的学习基础，所以很快就类比得出了阴影部分面积的两种表示方法，即（a+b）（a-b）与a2-b2，于是可以得到（a+b）（a-b）=a2-b2.

这样的引入学生已经习惯和熟悉，所以他们很快便得到了答案，师生皆大欢喜，我们很顺利地进入下一环节……笔者大概看了一下，这里引入的时间不足五分钟.

到了2班，因为前一节课笔者已经让同学们仿照课本求（a+b）2的方法，通过“构图”求（a-b）2了，且同學们做得还不错，有了这样的铺垫，这一节课笔者“心血来潮”，想请同学们继续从图形直观的角度，通过“构图”来求（a+b）（a-b）. 这里，笔者预估的时间是5～6分钟，笔者请了四位同学来“板演”.

大约3分钟左右，黑板上同学画的图形陆陆续续出来了，笔者抬头一看，竟然清一色的是相同的图形（如图1），但没有另一种表示面积的方法呈现，几位同学都愣在那儿，笔者看完也懵了，因为这不在笔者的预料之中，于是笔者立即问下面的同学：“有同学画出来了吗？”话音刚落，有好几位同学举起了手，笔者顿感欣慰，于是请板演的四位同学回座位，请举手的同学上来，心想或许他们能“救场”.

不出所料，几位同学真不错，图形都画出来了（如图2）.

在这几位同学中，有两位同学将阴影部分分割之后拼成了一个长方形，此时长正好是a+b，宽正好是a-b，从而得出（a+b）（a-b）=a2-b2；还有一位同学将阴影部分分割成两个形状、大小相同的梯形，然后将两个梯形拼成一个新的梯形，梯形的上底是2a，下底是2b，高是（a-b），从而得到（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）=a2-b2；最后一位同学也是分割成两个形状、大小相同的梯形，只不过这位同学将梯形拼成了一个平行四边形，平行四边形的底是a+b，高是a-b，从而得出（a+b）（a-b）=a2-b2.

下面的同学看了以上的“构图”，都发出了“哦，哦……”的声音，有的同学还在窃窃私语：“我怎么没有想到呢？”“原来这么简单啊！”

此刻的笔者也很欣慰，欣慰的是第二批板演的同学都能很好地构造出图形，欣慰的是下面的同学似乎都明白了怎么构图. 乘着兴致，笔者决定问问同学们是如何思考的.

师：“A，B两位同学的图形是一样的，思路也是一样的，下面我们请A同学来说一下想法.”

A同学：“这个画法不是我想出来的，因为我之前已经预习过课本了，记住了课本上的画法.”

好一个诚实的孩子，同学们听了也哈哈大笑起来. 于是笔者请C同学来说说想法.

C同学：“我一开始也没有想出来，后来我就用多项式乘多项式的法则计算出（a+b）（a-b）=a2-b2，然后我就想到构造一个边长为a的正方形，在这个正方形里面再构造一个边长为b的正方形，图形就出来了，并且a2-b2表示的就是剩余部分的面积，只要把剩余部分的面积用另一种方式表示出来就可以了，所以我想到将它分割成两个梯形，再拼成一个大的梯形，面积正好是（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）.”

C同学说完，笔者示意他坐下，顿有感触：“同学们的想法会超出老师的预期！”下面的同学不再作声，默默地听着，若有所思地点头. 有些同学低声懊悔：“我怎么就没有想到呢？”于是笔者趁热打铁，继续请D同学来说说想法.

“我和C同学的想法差不多.”D同学有些害羞地回答道.

板演同学的回答让同学们茅塞顿开，就在这时，E同学举起了手.

笔者还没来得及进行进一步分析，目光和E同学的目光相遇后，他就迫不及待地站了起来：“我还是上去讲吧！”他一边说着一边往讲台上走，走到讲台时很麻利地擦了黑板，拿了粉笔就画起图来，显然此时的他胸有成竹，迫不及待.

“我一开始和刚上来的同学一样，一想到（a+b）（a-b），就想到构造一个长为a+b、宽为a-b的长方形，刚刚受C同学的启发，我就想，将这个长方形分割成两个长方形，一个是长为a、宽为a-b的长方形，大家看，另一个则是长为b、宽为a-b的长方形.”（如图3）他边说边画，由于有些激动，讲台上的三角尺他都没有用，所以画出来的线有些弯曲，不过无碍.

“接着，我把右侧的长方形移到下面来，就是这样（如图4）.”

“上面的大长方形（图3）整体求面积就是（a+b）（a-b），下面的图形（图4），我用‘补的方法，补上去的左下角的图形正好是边长为b的正方形（如图5），所以面积是a2-b2.”

E同学讲得很激动，下面的同学估计还没有完全听明白，他已经兴奋地回到座位了.

显然E同学的想法很棒，他积极思考，有了新的见解，此时，笔者为孩子们的精彩表现而倍感高兴. 此刻笔者也习惯性地抬头看了看时间，这一看吓了一跳，半节课的时间已经过去了，于是笔者欣喜又无奈地结束了这段“构图”的引入，因为后面还有很多内容等着我们去学习……

教学反思

1. “构图”：教与学的“桥梁”

到下课的时候，笔者的例题还没有讲完. 回到办公室，笔者的心情无法言说. 4班不到五分钟的引入，在2班却整整用了半节课的时间，问题出在了哪里？难道笔者的一时心血来潮是错误的？2班也应像4班那样引入？但笔者回过头来想2班同学的种种想法，尽管“耽误”了课堂时间，但孩子们有真思考、真想法、真表现，这些在课堂上闪现出来的“智慧”火花，又何尝不宝贵呢？这些疑虑让笔者陷入了沉思……笔者决定再次打开教参，仔仔细细地阅读这部分内容，同时，笔者还借来了人教版的教参，想一下子研究透彻.

苏科版“9.4乘法公式”的教学目标中明确指出：一是能推导平方差公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算；二是经历探索平方差公式的过程，进一步感悟数与形的关系，感悟数形结合思想，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性. 笔者也翻阅了人教版的教参，课本中明确指出：本章教科书注意了代数与几何之间的联系，体现了数形结合的重要数学思想和方法，在乘法公式部分，借助几何图形对运算法则及公式做出了直观解释，体现了代数与几何的内在联系和统一，能让学生更好地理解有关知识.

同时，笔者还和组内的老师一起进行了讨论，老师们的意见如下：对于层次较好的班级，应该可以用笔者的引入方式，同学们多思考、真思考，肯定会带来真见解，对平方差公式的理解会更到位、更深刻！但对于层次一般的班级，我们应该提供相关图形，以使学生能够发现并归纳即可，因为本课的重点是平方差公式的特点归纳及应用.

经过以上查阅、探讨、分析，笔者觉得有必要找学生谈谈. 第二天，笔者请了4班和2班各两位层次相近的同学，笔者现场出题，请四位同学“构图”，用面积法求（a+b）（a-b），3分钟不到，2班的两位同学就完成了，而4班的两位同学大概花了8～10分钟，接着，笔者又出了四题应用平方差公式进行计算的题目，这次四位同学不分伯仲，竟然都很快地计算出来了且都正确.

2. “构图”：知与能的“支点”

笔者静静地梳理着这一节课从开始到现在四位同学测试结束的这段时间，有了如下一些想法：第一，笔者还是坚持自己的做法，启发学生类比前面所学的内容，继续“构图”，通过面积法求（a+b）（a-b），甚至笔者可以在两个班都这样操作；第二，为了不喧宾夺主，学生又能进一步感受并经历“构图”的过程，能更好地感悟数与形的关系，笔者觉得这样的操作可以放在课前进行，成为同学们预习的材料；第三，“数缺形时少直观”，今天的学习并不仅仅是为解决平方差公式，同学们还要经历初中数学学习中更多的“数形结合”，今天课堂“耽误”的时间，一定能够在今后的数学学习中节省更多的时间. 学生锻炼得愈多，收获也一定愈多！