基于核心素养的数学探究活动—以《等腰三角形的性质》为例

广东省中山市石岐启发初级中学(528400) 孔进

史宁中教授指出,数学核心素养的达成目标就是积累数学活动经验：用数学的眼光看问题,用数学思维思考问题,用数学语言表达问题.不论是数学核心素养还是数学活动经验,都需要在“做”的过程和“思考”的过程中积累.有效的数学探究活动,是学生积累数学核心素养和数学活动经验的重要途径.可以说,数学探究活动始于基本活动经验的积累,终于数学核心素养的发展.

教材中有较多实验型探究活动,即需要通过操作实验、观察并抽象才能完成的活动.教师应该如何准确理解这些探究活动,在课堂教学中如何组织教学,以期提高学生的数学核心素养呢?下面以人教2011版八年级上册《等腰三角形的性质》为例,谈谈自己的做法.

一、教材内容呈现

本节课的内容是探索并证明等腰三角形的性质,在此之前,学生学习了全等三角形和轴对称等知识.在回顾了等腰三角形的概念后,教材设置了探究活动1：

探究活动1比较简单,不用耗费太多的时间,学生先折叠,再剪出三角形.学生在剪完这个三角形后,教师把这个动手操作活动进行数学化处理：这个三角形有什么特点?为什么是等腰三角形?从而回顾等腰三角形的概念,同时在剪三角形的过程中也保留了中间折痕,这是等腰三角形的对称轴,为第二个探究活动做准备.

探究活动2

这是上一个探究的继续,也就是“剪后再折”的活动.受剪出等腰三角形过程的启发,学生很容易想到它是一个轴对称图形,通过找出其中重合的角和线段,利用轴对称的性质,很容易引导学生发现并概括等腰三角形的两个性质：“等边对等角”和“三线合一”.然后让学生画一个等腰三角形,剪下来后通过“折”的方式再验证一次.

二、探究活动设置意图

(一)激发学生的学习兴趣

“让学生体验到一种自己在亲身参与掌握知识的情感,乃是唤起少年特有的对知识的兴趣的重要条件.”八年级学生,好奇心强,思维活跃,讨厌枯燥乏味式学习,喜欢动手操作,在这节课中,如果能从他们熟悉和喜欢的内容、方式出发,从“折叠、剪纸”操作开始,既能回顾这节课的教学起点——轴对称,又为后面的新知识、新方法作出铺垫,起到激发兴趣、承上启下的作用.

(二)有利于突破难点

八年级学生刚接触到几何证明,对于添加辅助线经验不足,本节课的难点就是在证明“等边对等角”性质的过程中,学生对为什么要添加辅助线,怎么添加辅助性感到茫然,通过这两个“探究”的铺垫,学生再证明时就水到渠成了.此外,由于学生认知经验不足,对等腰三角形“三线合一”的理解容易出现错误,通过这两个探究活动,可以加深学生对“三线合一”性质的理解.

(三)为学生的学习提供直接经验

对初中生而言,知识的获得要以直接经验做基础.如果教师直接将结论告诉给学生,学生不了解这一结论的来龙去脉,只能机械地记忆和运用,并不能真正的理解,既容易遗忘又不利于后续相关几何知识的学习.学生通过亲自动手、裁剪,经历了等腰三角形性质的发现过程,对等腰三角形的性质才会有深切的了解和认识,此时的动手实践活动为学生提供了深刻而直接的数学活动经验,另外,通过与老师和同学们的大量交流,这种经验又得到了进一步的升华.

(四)形成研究几何图形问题的基本思路

等腰三角形性质的探索是通过轴对称进行的,教材以这两个动手实践活动,发现了等腰三角形的性质,也获得了添加辅助线证明性质的方法.性质的证明是把欲证明相等的两个角或者两条线段置于两个全等三角形中,这是证明两个角相等或者两条线段相等的基本策略.

三、落实核心素养的途径

(一)在探究活动中培养学生用数学的眼光观察问题的核心素养

什么是数学的眼光?数学的“看”就是抽象,也就是把实际问题抽象为数学问题.在探究活动1中,学生在经历了“折叠”和“剪”动手操作之后,老师引导学生思考这样的数学问题：

1.你剪出来的图形为什么是等腰三角形?

2.和你周围的同学交流一下,你们剪出来的等腰三角形大小相同吗?形状相同吗?都具有什么特征?

学生手中已经有数量合适的模型,在思考老师提出问题、和同伴的分享交流的过程中,学生有了充分的从感性的具体的材料进入抽象的概念的机会,更加体会了数学概念的本质属性就是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征,数学抽象素养得到了发展.

探究活动2,是把剪出来的等腰三角形进行再次“折叠”,在学生动手实践后,老师引导学生思考这样的数学问题：

1.把你手中的等腰三角形沿着折痕对折,找出其中重合的线段和角.

2.由这些重合的线段和角,你能发现等腰三角形又哪些性质?

3.与你周围的同学交流一下,你们剪出来的等腰三角形是否都符合上述概括的特征?

受剪出等腰三角形过程的启发,学生容易想到它是一个轴对称图形,通过找出其中重合的角和线段,利用轴对称的性质,很容易引导学生发现并概括等腰三角形的两个性质：“等边对等角”和“三线合一”.也就是说,老师应该引导学生从实验操作走向理性思考,把这些动手操作活动抽象为数学问题,让学生观察、猜想、发现、归纳出等腰三角形的性质,从而为新知、新性质的概括做出铺垫,积累数学活动经验.

(二)在探究活动中培养学生用数学的语言表达问题的核心素养

在把实际问题抽象为数学问题后,接下来需要做的工作就是把数学问题符号化,培养学生规范的数学语言来表述数学问题的核心素养.

通过学生的观察、讨论,直观猜想出等腰三角形的性质“等边对等角”后,就需要把这个命题需要进行演绎推理,这时得到的是一个用文字表示出来的命题,老师需要引导学生用图形语言和几何语言来表述这个命题,这时老师可以设置这样的问题串引导学生：

1.这个命题的题设和结论是什么?

2.根据题意画出图形;

3.写出已知和求证.

学生初学几何,对很多专业术语并不熟悉.例如,他们想表述“等腰三角形”时,用的数学语言常是“等腰△ABC”,老师可以引导他们,用“△ABC中,AB=AC”更合适,因为后一种数学语言可以看出等腰三角形的腰,比前一种表示方法更加准确.最后用规范的几何语言来表述这个数学问题：

已知：如图 1,△ABC中,AB=AC.

求证：∠B=∠C

这样证明了等腰三角形的两个底角相等这个性质.

图1

由于等腰三角形的性质2：“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”具体高度的概括性,例如如何理解“相互重合”?受折纸活动的启发,学生能够说出：如果AD为等腰三角形的顶角的角平分线,那么这条线也是底边上的中线和底边上的高······.学生对这一性质的理解容易出现两个问题：一是不知道或不会将性质2分解为三个命题,二是不能正确理清命题的条件和结论.老师可以设置以下活动,帮助学生图形语言和几何语言来表述这个性质：

1.把“三线合一”分解为三个命题,

2.描述这三个命题的内容,这些命题的题设和结论分别是什么?

3.用数学语言描述这三个命题：分别画图,写出已知、求证.

已知：如图2,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC.

求证：AD⊥BC,BD=CD.

已知：如图 2,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC.求证：AD平分∠BAC,BD=CD.

已知：如图 2,△ABC中,AB=AC,BD=CD.

求证：AD⊥BC,AD平分∠BAC.

图2

八年级是规范学习几何语言、学习几何推理语句的关键时期,过了这一阶段,例如到了九年级,再训练几何推理的规范表达就会为时过晚.

(三)在探究活动中培养学生用数学的思维思考问题的核心素养

探究活动2中,学生在实验操作后的观察发现得到是直观猜想,得出的命题需要走向演绎推理,也就是用数学的思维思考问题,数学原理的验证、推广,这是初中数学和小学数学的重要不同.在这节课中,学生将实验操作中发现的性质进行演绎推理证明,老师可以设置这样的活动：

1.结合所画的图形,你认为证明两个底角相等的思路是什么?

2.如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形?从“折叠”、“剪纸”的过程中你能获得什么启发?

3.和周围的同学交流一下你的证明方法.

最后,和学生一起通过严格的逻辑推论证明等腰三角形的性质.在证明命题的过程中,让学生体会证明方法的多样性.

当完成等腰三角形的性质证明之后,老师可以引导学生回顾反思整个过程,也就是用数学的方法解决问题的核心素养：动手操作得出概念、观察实验得出结论、演绎推理证明性质,这就是研究几何图形的过程：观察、实验、猜想、论证.研究等腰三角形如此,今后研究其他图形也类似,让学生养成反思的好习惯,丰富研究几何图形问题的经验.

在教学实践中,以数学探究活动为抓手,培养学生的核心素养应该成为主旋律之一.教师应该在深入研究2011版课程标准和教材的基础上,以学生的认知发展水平和已有的经验为基础,精心设计问题,引导学生主动进行探究有点,让学生在探究过程中体会用数学的眼光看问题,用数学的语言表达问题,用数学思维思考问题,培养学生的数学核心素养.